Хаос и структура
Шрифт:
II. Аналитическая бесконечность.
Наконец, можно выдвигать в общем понятии бесконечности оба этих момента вместе — раздельную счетность и неразличимое становление (невозможность счета). Тогда первый момент воплотится на втором, как всякая отвлеченная идея воплощается на безразличном материале. Идея — раздельность, логическая последовательность, форма и система; становление безраздельно, алогично и бесформенно. Объединение их дает фигурную бесконечность, определенным образом оформленную, «упорядоченную», ту, которая является предметом особой математической науки, — учения о множествах. Ей можно дать тоже свое название.
III. Аритмологическая бесконечность.
Арифметическая, аналитическая и аритмологическая бесконечности суть три наиболее ярко отличающиеся друг от друга типа бесконечности. Немудрено, что ими занимаются три столь различные математические науки.
Нас в дальнейшем будет интересовать, конечно, только второй тип бесконечности — аналитический.
4. Непрерывность (постоянная и переменная величина), прерывность и предел. Однако прежде чем войти в рассмотрение самого математического анализа, необходимо определить еще ряд категорий, которые так же основоположены
Ряд категорий, которые требуют нашего рассмотрения, отличаются одним общим признаком. Число есть непосредственное бытие; в нем нет еще различия между самим числом и его значением. До сих пор мы имели число само по себе. Целое, дробное и бесконечное число есть значения числа в смысле его внутреннего строения. Чтобы узнать, является ли данное число целым или дробным, необходимо всмотреться в само число непосредственно, не обращая никакого специального внимания на фон, его окружающий. Это касается и не только числа. Чтобы судить, является ли данная вещь цельной, надо, очевидно, рассмотреть строение самой вещи, как оно дано в контурах, внутри контуров данной вещи. Когда сосуд, напр., имеет трещину или дыру, то для констатирования этого достаточно только изучить сосуд в тех границах, которые даны очертанием этого сосуда. И мы вполне будем в состоянии определить, является ли данная ваза целой, или она разбита. Однако о значении числа или вещи можно говорить и с точки зрения их внешней судьбы. Можно представить себе, что вещь мыслится совершенно неизменной сама по себе, но что она погружена или вовлечена в какое–нибудь изменение, оставаясь сама по себе целой. Можно иметь одно и то же число или комбинацию чисел и, оставляя их в одном и том же виде, придавать им те или иные внешние значения. Тут не будет ни просто числа, взятого в его непосредственности, вне каких бы то ни было количественных значений, ни числа, в котором имеются в виду только изменения во внутренней структуре. Тут число вступит в новые значения при полном сохранении внутренних структур или, вернее, независимо ни от каких внутренних структур.
Прежде всего величина с этой внешней точки зрения может никак не меняться; она может иметь, так сказать, нуль изменения. Такую величину называют постоянной величиной. Антитезой к этой постоянной величине является, очевидно, переменная величина.
Что такое постоянная величина и что такое переменная величина, это известно уже из элементарной математики. В анализе эта пара понятий играет, однако, гораздо большую роль. Возьмем, напр., площадь треугольника. Из элементарной геометрии известно, что эта площадь равняется половине произведения основания на высоту. Эта формула — «половина произведения основания на высоту» — нисколько не зависит от величины самого основания и самой высоты. Самая эта связь основания и высоты для выражения площади вполне постоянна. Еще ярче, однако, антитеза постоянной и переменной величин в случае, когда выставляется теорема: «сумма углов треугольника равняется двум прямым». Сколько бы ни увеличивать и ни уменьшать отдельные углы треугольника, сумма их все равно остается равной двум прямым. Ясно, что величины отдельных углов треугольника суть переменные величины и сумма всех трех сторон треугольника есть величина постоянная. В физике устанавливается закон о том, что произведение давления газа на его объем есть величина постоянная. Следовательно, если меняется давление, то соответствующе меняется объем газа, произведение же обеих величин никогда не меняется. Ясно, что объемы и давления суть в этом законе переменные величины, их же произведение—постоянная величина.
Вдумываясь в существо этих двух категорий, мы отчетливо видим, что отличие их от величины просто, от величины вообще заключается в том, что тут «величина вообще» содержит в себе еще особый слой, слой внешней характеристики. Постоянная и переменная величина есть, прежде всего, величина просто, а во–вторых, еще утверждается, что эта величина имеет такое–то или такое–то значение. Это значение — чисто внешне в отношении величины, взятой самой по себе. В одном случае угол треугольника равен 30°, другой раз—45°, третий раз — 60° и т. д. и т. д. Эта величина может быть какой угодно (имея в виду общую сумму углов, равную двум прямым). Размеры угла, ясно по самому смыслу, не имеют никакой связи с самим понятием угла. Поэтому размерность есть нечто внешнее в отношении самого понятия угла. И на этом основании мы и говорили, что постоянная и переменная величины есть внешнее инобытие числа и эта внешность, конечно, к тому же вполне отождествлена с непосредственно данным числом, с числом самим по себе.
Но интереснее всего то, что получается от соединения этих двух категорий—постоянной и переменной величин. Диалектический синтез всегда особенно интересен; он часто таит в себе полную неожиданность. Так, из синтезирования целого и дробного получалась (быть может, с первого взгляда довольно неожиданно) категория бесконечности. Что же получится из синтезирования постоянной и переменной величин? Какова та категория, в которой обе эти категории совпадают совершенно, точно сливаясь в полную неразличимость на фоне вполне новой и в них не содержащейся конструкции?
Такой категорией является непрерывность.
Подобно тому как бытие и небытие объединяются в становление, так и постоянная величина с переменной объединяются в непрерывной величине. Непрерывная величина, во–первых, есть нечто постоянное. В самом деле, самый смысл непрерывности заключается в том, что каждый ее момент совершенно одинаков со всяким предыдущим моментом. Непрерывная величина потому и «не прерывается», что она везде одинаковая, что она не меняется, что она всецело постоянная. Таким образом, постоянство, несомненно, входит в категорию непрерывности в качестве конститутивного момента; непрерывность без него немыслима. Однако также ясно, во–вторых, что непрерывность требует для
себя и момента изменения. Это значило бы, что вся непрерывность свернулась бы в одну точку. Допустим, что в непрерывности нет изменения. В то же время, однако, в непрерывности мыслится некий процесс. Непрерывность есть именно процесс, т. е. движение, изменение; но это такой процесс, в котором все моменты процесса сливаются в одно и то же, в один и тот же момент. Если различать в каждом моменте самый факт этого момента, субстанцию, и, с другой стороны, его смысловую, идейную сторону, то необходимо сказать, что по факту, по субстанции, все эти точки абсолютно разделены, внеположены, находятся одна вне другой; с точки же зрения смысла, идеи все они суть нечто одно, совершенно одно, неразличимое тождество и единство. В этом и заключается тайна непрерывности: в ней дано фактическое движение [225] , движение по факту, т. е. разнообразие, бесконечное фактическое разнообразие отдельных точек; и с другой стороны, тут дано полное смысловое идейное отождествление всех бесконечных точек, как бы они ни возникали и сколько бы их ни возникало.225
В рукописи: уменьшение.
Непрерывная величина есть тождество постоянной и переменной величин.
Непрерывность, однако, не может быть утверждаема сама по себе, без другой категории, которая с нею соотносительна. Раз мыслится непрерывность, то тем самым должна мыслиться и прерывность. Одно без другого совершенно немыслимо. Таким образом, достигнутый нами синтез непрерывности в свою очередь переходит в новый антитезис, в прерывную величину, и, следовательно, в свою очередь требует еще нового синтеза.
Синтезом прерывности и непрерывности является предел.
Предел немыслим вне понятия процесса. Предел есть то, что достигается в течение того или иного определенного процесса. Какой это процесс? Если это есть именно процесс достижения, то это достижение происходит постоянно, постепенно. Чем больше и дальше двигаемся мы в сфере этого процесса, тем ближе мы к пределу, тем больше мы его достигаем. Итак, предел есть некое движение, изменение и некий процесс.
Спросим теперь себя: какой же именно это процесс? С одной стороны, даже самое понятие предела говорит о некоей определенности и конечности. Движение происходит в определенном направлении, и оно имеет какую–нибудь определенную, конечную цель. Без этой идеи не может существовать никакого предела. Однако, с другой стороны, предел в математике не мыслится просто, как граница и конец. Этот предел в математике всегда мыслится как нечто недостижимое, хотя и конечное, как нечто притягивающее к себе издали приближенную величину, но никогда не совпадающее с этой приближенной величиной. Предел, с одной стороны, конечен, а с другой—эта его конечность никогда не может быть вполне адекватно охвачена. Как это можно совместить?
Совместить это можно только тем обычным диалектическим путем, который от бытия и небытия ведет к становлению. Необходимо, чтобы достижение конечного предела и постоянное его недостижение совместились во взаимном становлении, т. е. так, чтобы достигнутая конечность все время сдвигалась с места и заменялась другой, тоже достигнутой конечностью и чтобы бесконечное, постоянное достижение выражалось, тоже постоянно, в определенных конечных пунктах. В таком становлении мы получаем, следовательно, бесконечный ряд конечных величин, но эти конечные величины, уменьшаясь все больше и больше, приближаются к определенной величине, хотя никогда ее и не могут достигнуть. Становление, как мы видели, всегда алогично: оно неразличимо внутри себя и оно не имеет никаких точных границ и на своей периферии. В данном случае в процессе становления находится прерывность в отношении непрерывности и непрерывность в отношении прерывности. Это значит, что прерывность должна становиться непрерывностью, а непрерывность должна становиться прерывностью. Поскольку становление есть всегда постепенный процесс, постольку прерывность становится непрерывностью постепенно, сплошно, последовательно, равно как и непрерывность — прерывностью. Возможно это только так, что прерывность делается все меньше и меньше прерывистого, т. е. промежутки между прерывными моментами делаются все меньше и меньше и таким образом прерывность все больше и больше превращается в непрерывность. Точно так же и непрерывность по мере своего продвижения все больше и больше покрывается прерывными точками, и эти прерывные точки застилают ее все гуще и гуще — правда, без всякой возможности когда–нибудь достигнуть абсолютного перекрытия непрерывности прерывностью. Заметим, что становление алогично не только в том смысле, что оно неразличимо само в себе, само внутри себя, но и в том, что оно неразличимо и по своей периферии, т. е. не имеет никаких законченных границ и в этом смысле безгранично. Отсюда понятно, почему становление прерывности непрерывностью или непрерывности прерывностью никогда не может быть кончено; по самому смыслу своему оно абсолютно беспрерывно. И значит, предел, диалектически синтезирующий непрерывность и прерывность — по типу категории становления, — есть в одно и то же время и полная недостижимость для числового процесса, и выраженность, достигнутость в каждый отдельный момент этого процесса, причем эта выраженность и достигнутость бесконечно интенсифицируется, возрастает.
Предел—это та категория, которая (правда, в довольно вялом виде) применяется уже и в элементарной математике. Главное ее место, однако, в математическом анализе; и тут на ней, можно сказать, построена целая наука.
Пусть в круг вписан квадрат. Если мы удвоим количество его сторон, то площадь его, конечно, увеличится и периметр его тоже увеличится. Это удвоенное количество сторон может быть удвоено еще раз, еще раз и еще раз. Оно может быть удвоено до бесконечности. Периметр, последовательно меняющий свою форму в зависимости от количества удвоений, будет стремиться, очевидно, к окружности и в пределе совпадет с нею. Окружность, говорят, есть предел вписанных многоугольников при бесконечном увеличении количества сторон, равно как и предел описанных многоугольников при бесконечном увеличении количества сторон.