Искатели необычайных автографов или Странствия, приключения и беседы двух филоматиков
Шрифт:
Бес дурашливо раскланивается.
— Мсье, вы мне льстите! Однако программа наша еще не окончена. Оркестр, туш! Ваш выход, мсье Мате! Да, да, не смотрите на меня такими удивленными глазами. Надо же мне познакомиться с вашими собственными числовыми изысканиями!
— Полно, — смущается тот. — После Паскаля, Лейбница и Ньютона…
— Не боги горшки обжигают, мсье, — подбадривает черт. — Думаете, я не знаю, что один из ваших арифметических треугольников пригодился для решения некоего дифференциального уравнения, а другой — для расчета авиационного вала?
— Дела давно минувших дней. Знали бы вы, что я придумал месяц назад! Однажды я заинтересовался изосуммарными числами…
— Чем-чем? — переспрашивает Фило.
Оказывается, Мате изобрел это название сам. Приставка «изо» означает «равные». Следственно, изосуммарные числа — такие, у которых сумма цифр одинакова. Вот, например: 6, 15, 24, 33, 105, 204, 600. Сумма цифр у каждого из этих чисел равна 6. И значит, все они изосуммарные.
Для краткости Мате назвал
— Перед вами таблица распределения изосуммарных чисел, — продолжает Мате, раскрывая блокнот. — Здесь буква «k» — значность чисел. Она у меня помещается в левом столбце. Буква «i» — индекс числа. Индексы я отложил на верхней горизонтали. Как видите, индекс не превышает девяти, в то время как значность может быть любая, до бесконечности.
| k\i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 3 | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | 28 | 36 | 45 |
| 4 | 1 | 4 | 10 | 20 | 35 | 56 | 84 | 120 | 165 |
| 5 | 1 | 5 | 15 | 35 | 70 | 126 | 210 | 330 | 495 |
| 6 | 1 | 6 | 21 | 56 | 126 | 252 | 462 | 792 | 1287 |
| 7 | 1 | 7 | 28 | 84 | 210 | 462 | 924 | 1716 | 3003 |
| 8 | 1 | 8 | 36 | 120 | 330 | 792 | 1716 | 3432 | 6435 |
| 9 | 1 | 9 | 45 | 165 | 495 | 1287 | 3003 | 6435 | 12870 |
| 10 | 1 | 10 | 55 | 220 | 715 | 2002 | 5005 | 11440 | 24310 |
— А почему индекс, то есть сумма цифр, тоже не может возрастать до бесконечности? — сейчас же прилипает Фило.
— Все в свое время! Итак, вы видите, что количество изосуммарных чисел с индексом 1 всегда равно единице для любой значности.
— Стойте, — перебивает Фило. — Ваша таблица — это же числа треугольника Паскаля!
— Молодец, что заметили. У меня и в самом деле получился треугольник Паскаля, хотя и в форме прямоугольника, то есть в том виде, как его изображал Тарталья.
— Значит, — размышляет Фило, — по этой таблице можно заранее узнать, сколько существует, скажем, четырехзначных чисел, сумма цифр которых равна, допустим, пяти.
— Конечно. Надо только найти в ней число, стоящее в четвертой строке и в пятом столбце. Это — 35. Само собой, число это всегда можно выразить через формулу сочетаний.
— Каким образом?
— Подумайте сами. А я хочу сказать о другом. Если вы помните особенности Паскалева треугольника, то легко ответите на такой вопрос: как, НЕ ВЫСЧИТЫВАЯ,
сразу определить по таблице, сколько всего изосуммарных чисел с каким-либо индексом (разумеется, не превышающим девяти) есть среди чисел всех значностей, начиная с однозначных и кончая любой заданной?С ответом, однако, никто не торопится, и потому Мате делает это сам. Оказывается, вопрос действительно несложный. Вот, например, мы хотим узнать количество изосуммарных чисел с индексом 5, начиная с единицы по семизначные числа. Для этого, казалось бы, следует сложить все числа пятого столбца, начиная с 1 по число 210, которое стоит в седьмой строке. Но обнаруживается, что узнать это число можно и не прибегая к сложению, ибо сумма этих чисел находится в соседнем, шестом столбце, все в той же седьмой строке. Это 462. Вот сколько изосуммарных чисел с индексом 5 есть среди всех чисел от единицы до десяти миллионов.
— Мсье, это изумительно! — стонет бес.
— То ли будет! Вы ведь знаете, что в прямоугольнике Тартальи, как и в треугольнике Паскаля, строки можно заменять столбцами.
— И что из этого следует? — спрашивает Фило.
— А то, что количество изосуммарных чисел от ОДНОЗНАЧНЫХ по, скажем, ЧЕТЫРЕХЗНАЧНЫЕ, у которых сумма цифр, например, ТРИ, соответствует количеству ТРЕХЗНАЧНЫХ изосуммарных чисел с суммой цифр от ЕДИНИЦЫ по ЧЕТВЕРКУ. Вот они:
| k | Изосуммарные числа с постоянным индексом 3 | Количество их |
|---|---|---|
| 1 | 3 | 1 |
| 2 | 12, 21, 30 | 3 |
| 3 | 102, 111, 120, 201, 210, 300 | 6 |
| 4 | 1002, 1020, 1200, 1011, 1101, 1110, 2001, 2010, 2100, 3000 | 10 |
| Всего | 20 |
| i | Изосуммарные числа с постоянным индексом 3 | Количество их |
|---|---|---|
| 1 | 100 | 1 |
| 2 | 101, 110, 200 | 3 |
| 3 | 102, 111, 120, 201, 210, 300 | 6 |
| 4 | 103, 112, 121, 130, 202, 211, 220, 301, 310, 400 | 10 |
| Всего | 20 |
Фило рассматривает новую таблицу с видом важным и недоверчивым. Це дило треба разжуваты, как говорят на Украине! Но, в общем, идея ясна. А теперь интересно бы узнать, почему все-таки таблица ограничивается индексом девять?
— В том-то вся и загвоздка! — оживляется Мате. — При индексе свыше девяти изосуммарные числа уже не укладываются в прямоугольник Тартальи. Для того чтобы вычислить количество изосуммарных чисел разных значностей с индексом больше девяти, надо к соответствующим числам прямоугольника Тартальи (а значит и треугольника Паскаля) прибавлять дополнительные слагаемые.
— И вы их нашли?!
— Представьте себе, нашел. И тем горжусь. Но поговорим об этом как-нибудь в другой раз…
Явно пародируя Мате, Асмодей хлопает себя по лбу.
— Клянусь решетом Эратосфена, никогда себе не прощу, что не включил вашего сообщения в заседание Клуба знаменитых математиков! То-то был бы эффект! Но ничего, все поправимо. Не включил в это — включу в следующее…
— Дорогой Асмодей, — робко обращается к нему Фило. — Давно хочу у вас спросить… Если, конечно, не секрет. Не скажете ли, кто исполнял в вашей передаче роль Паскаля? Случайно, не Юрский? Мне показалось — он. Но, по правде говоря, я не уверен…
Бес поднимает брови и некоторое время рассматривает его с преувеличенным интересом. Затем, не говоря ни слова, поворачивается на своих костылях и… исчезает. Словно его и не было. Фило растерянно хлопает глазами: до чего странный все-таки черт! И что он хотел этим сказать?
ПОСЛЕДНЯЯ ТОЧКА НАД i
Проходит долгая безасмодейная неделя. Все это время филоматики то и дело с тоской поглядывают на книгу Лесажа. Они даже пробуют трясти ее в надежде выманить беса, — напрасный труд! Кроме старой бумажки с рецептом орехового торта, оттуда так ничего и не вытряслось.
Асмодей возвращается только в следующее воскресенье — так же внезапно, как исчез, — и, не отвечая на расспросы, сразу же приступает к делу.
— Есть такое изречение, мсье: ни одно доброе дело не остается безнаказанным. Мне оно не особенно нравится, и я переиначил его на свой лад: ни одно доброе дело не следует оставлять незаконченным. Ко-ко… Это уже гораздо лучше, не правда ли? А посему давайте завершим наше доброе дело и подведем окончательные итоги недавнему путешествию, обсудив ту его часть, которая связана с Паскалем и Мольером. Главным образом, с их борьбой против снисходительной морали и ее авторов — иезуитов.