Истина и красота. Всемирная история симметрии.

Кубические корни, корни четвертой, пятой и так далее степеней обозначаются помещением маленького приподнятого числа перед знаком «корень» — таким образом: ³, ⁴, ⁵.

Кубический корень из данного числа — это такое число, куб которого дает исходное, и аналогично для других корней. Таким образом, кубический корень из 8 есть 2, поскольку 2 ³ = 8. Кубический же корень из 2 можно выразить в виде десятичной дроби только приближенно. Он начинается таким образом:

1,2599210498948731648…

и продолжается, если вы запасетесь достаточным терпением, бесконечно.

Именно это число появляется в античной задаче об удвоении куба.

Примерно к 400 г. греческая математика утратила свое место на переднем крае этой науки.

Место действия переместилось на Восток — в Аравию, Индию и Китай. Европа погрузилась в «темные века», и хотя они были не такими уж темными, какими их нередко изображают, но все же темными в достаточной мере. Распространение христианства возымело тот плачевный побочный эффект, что знание и ученость сконцентрировались в церквях и монастырях. Многие монахи переписывали работы великих математиков, таких как Эвклид, но лишь очень немногие из них понимали, чтоони переписывают. Древние греки были в состоянии с двух сторон прорыть туннель через гору так, чтобы обеспечить встречу посередине; способ же, которым ранние англосаксы проводили землемерные работы, состоял в том, чтобы разложить в поле план в масштабе 1:1. Даже понятие изображения, сделанного в определенном масштабе, было утеряно. Если бы англосаксы пожелали создать точное изображение Англии, им пришлось бы сделать его размером с Англию. Их карты обычного размера были крайне неточными.

К концу пятнадцатого столетия фокус математической активности снова сдвинулся в сторону Европы. На Среднем и Дальнем Востоке подошел к концу заряд креативности, а Европа включила второе дыхание, освобождаясь от объятий Римской церкви и ее страха перед всем новым. По иронии судьбы новым центром интеллектуальной активности становится Италия — по мере того как Рим ослаблял хватку в своем собственном тылу.

Это тектоническое изменение в европейской науке и математике началось с публикации в 1202 году книги под названием Liber Abbaci, написанной Леонардо Пизанским, который много позднее получил прозвище Фибоначчи, сына Боначчио, под которым теперь и известен, несмотря на то что имя это придумали в девятнадцатом столетии. Отец Леонардо — Гильельмо — служил на таможне в Буджии (ныне в Алжире) и в своей работе неминуемо сталкивался с людьми самых разных культур. Он обучил своего сына новомодным знакам для чисел, изобретенным индусами и арабами, — предшественникам наших десятичных обозначений от 0 до 9. Леонардо позднее писал, что «мне так нравилось обучение, что я продолжал изучать математику во время поездок по работе в Египет, Сирию, Грецию, Сицилию и Прованс и получал особое удовольствие от дебатов с учеными из тех мест». На первый взгляд заглавие книги Леонардо говорит о том, что это книга — об абаке, т.е. механическом вычислительном приспособлении, состоящем из бусинок, скользящих по проволочкам, или же из галечных камешков, передвигаемых в песчаном желобе. Но как латинское слово calculus, относящееся к этой гальке, позднее приобрело другое, более техническое значение [15] , так и слово abbaco— рамка для счета — стало обозначать искусство вычисления. Liber Abbaciбыла первым арифметическим текстом, в котором индоарабские символика и методы были принесены в Европу. Значительная часть книги отведена новым применениям арифметики к практическим предметам, подобным обмену валют.

15

По-английски «calculus» означает «исчисление», наиболее часто — в значении «дифференциальное и интегральное исчисление». По-русски этот же предмет называется математическим анализом или, когда контекст ясен, просто анализом (откуда производится и прилагательное «аналитический»). (Примеч. перев.)

Одна задача — об идеализированной модели роста популяции кроликов — привела к замечательной числовой последовательности 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 и так далее, где каждое следующее число, начиная с 2, равно сумме двух предыдущих. Эта «последовательность Фибоначчи» более всего прославила Леонардо — не применительно к размножению кроликов, где следствия из нее нулевые, а за то, что она представляет собой замечательный пример математической закономерности и играет ключевую роль в теории иррациональных чисел. Леонардо и представить себе не мог, что этот маленький jeu d'esprit [16] затмит в глазах потомков все остальное, что он сделал в своей жизни.

16

Игра ума. (Примеч. перев.)

Леонардо написал еще несколько книг, и его Practica Qeometriae, появившаяся в 1220 году, содержала значительную часть «Начал» Эвклида, а также кое-что из греческой тригонометрии.

В Книге X «Начал» Эвклида обсуждаются иррациональные числа, построенные как вложенные друг в друга квадратные корни, типа

. Леонардо доказал, что эти иррациональные числа не подходят для решения кубических уравнений. Отсюда не следует, что корни кубического уравнения нельзя построить при помощи циркуля и линейки, поскольку другие комбинации квадратных корней могут в принципе приводить к решению. Но это был намек на то, что, если пользоваться лишь предлагаемыми Эвклидом инструментами, кубическое уравнение может оказаться неразрешимым.

В 1494 году Лука Пачоли свел вместе значительную часть существовавшего тогда математического знания в книге по арифметике, геометрии и пропорции. Она также включала индо-арабские числа, коммерческую арифметику, выжимки из Эвклида и тригонометрию Птолемея. Сквозной темой был элемент замысла в природе, воплощенный в пропорциях — пропорциях человеческого тела, перспективы в живописи, теории цвета.

Пачоли продолжил традицию «риторической» алгебры, используя слова, а не символы. Неизвестное было «штукой» — итальянское слово cosa,и в течение определенного периода практикующие алгебраисты были известны под именем cossist'ов. Он также использовал ряд стандартных сокращений, продолжая (но не сумев улучшить) подход, впервые намеченный Диофантом. Моррис Клайн в своем монументальном «Математическом мышлении от Античности до современности» констатирует: «Серьезное замечание по поводу математического развития арифметики и алгебры между 1200 и 1500 годами состоит в том, что книга Пачоли едва ли содержит что-либо, выходящее за рамки Liber AbbaciЛеонардо Пизанского. В действительности арифметика и алгебра… основывались на книге Леонардо». В конце своей книги Пачоли замечает, что относительно решения кубического уравнения понимания ничуть не больше, чем относительно квадратуры круга. Но такому положению дел скоро предстояло измениться.

Первое по-настоящему существенное продвижение произошло в городе Болонья примерно в конце первой трети шестнадцатого столетия. Внимания на это событие поначалу не обратили.

Джироламо Кардано был побочным сыном миланского юриста Фацио Кардано и молодой вдовы по имени Кьяра Микериа, у которой было еще трое детей от первого брака. Он родился в 1501 году в Павии — городе, входившем в герцогство Миланское. Когда к Милану подобралась чума, беременную Кьяру убедили уехать в деревню, где и родился Джироламо. Все трое ее старших детей, оставшиеся в городе, умерли от чумы.

Согласно автобиографии Джироламо, «отец мой носил багряную накидку — одеяние, нетипичное для нашего сообщества; его никогда не видели без маленькой черной шапочки… К пятидесяти пяти годам он лишился всех зубов. Он был хорошо знаком с работами Эвклида; надо сказать, что плечи его были сгорблены от усердных занятий… Мать мою легко было вывести из себя; она была скора на память и сообразительность и была тучной и набожной женщиной. Скоропалительность отличала обоих моих родителей».

Хотя Фацио и был юристом по профессии, он был достаточно искушен в математике, чтобы консультировать по геометрии Леонардо да Винчи. Он преподавал геометрию в университете в Павии и в благотворительном учреждении Пьятти в Милане. И еще он учил математике и астрологии своего незаконного сына Джироламо:

В раннем детстве отец обучил меня основам арифметики, и примерно тогда же он приобщил меня к таинствам; откуда он приобрел эти познания, мне неизвестно. Вскоре он обучил меня началам арабской астрологии… А когда мне исполнилось двенадцать, он преподал мне первые шесть книг Эвклида.

У ребенка наблюдались проблемы со здоровьем; попытка вовлечь его в семейное дело успеха не принесла. Джироламо сумел убедить находившегося в сомнениях отца позволить ему изучать медицину в университете Павии, но отец предпочитал право.

В 1494 году Карл VIII Французский вторгся в Италию, и последовавшая война продолжалась, утихая и вновь разгораясь, пятьдесят лет. Обострение военных действий привело к закрытию университета в Павии, и Джироламо перебрался в Падую, чтобы продолжать занятия. Судя по всему, он был одним из лучших студентов, и когда Фацио умер, Джироламо начал кампанию с целью стать ректором университета. Хотя многие не любили его за склонность высказываться без обиняков, он был избран с перевесом в один голос.

Тогда-то он и растратил по мелочам полученное им наследство и обратился к азартным играм, которые превратились в пагубную привычку на всю оставшуюся часть его неспокойной жизни. И не только это:

В очень ранний период моей жизни я начал серьезно посвящать себя занятиям фехтованием всякого рода и путем упорных упражнений достиг некоторых успехов даже среди наиболее дерзких… По ночам, даже в нарушение распоряжений герцога, я вооружался и отправлялся рыскать по городу, в котором жил… Лицо мое скрывал капюшон из черной шерсти, а еще я надевал туфли из овчины… Я часто бродил всю ночь, пока не брезжил рассвет, с меня же капал пот от напряжения, с которым я исполнял серенады на своих музыкальных инструментах.