Камень, ножницы, теорема. Фон Нейман. Теория игр

Менгер, на чью философию сильно повлиял Витгенштейн, представлял моральный кодекс как правила игры, которые поддерживают, упорядочивают и структурируют человеческие взаимоотношения в определенной группе, составляющей общество. Таким образом, будет столько разных моралей, сколько групп будет взято в расчет. Для анализа этих общественных кодексов Менгер предлагал использовать логику и комбинаторику, отбрасывая математический анализ, модный в то время, но дававший ничтожные результаты применительно к экономической теории. Именно в таком подходе Менгер видел большие возможности для улучшения работы с экономической теорией, что и было частично реализовано с появлением теории игр и, главным образом, теоремы о минимаксе, примененной к анализу рыночного равновесия.

Австрийский экономист Карл Менгер был отцом известного во всем мире математика, также Карла Менгера.

ТЕОРИЯ ИГР И ЭКОНОМИКА

В 1934 году в Принстоне фон Нейман познакомился с Оскаром Моргенштерном (1902-1977), немецким экономистом, чье имя уже имело некоторую известность в Венском кружке. Моргенштерн явно предпочитал общаться с математиками, нежели с экономистами, и сразу же заинтересовался подходом фон Неймана. Они оба критически относились к тому, как до этого рассматривалась экономическая теория, и стали работать над текстом, который должен был быть первым в ряду лекций фон Неймана в Принстоне. Однако для начала Моргенштерну требовалось усовершенствовать свои математические знания до уровня, необходимого для этой работы. Фон Нейман посоветовал ему несколько книг. Надо отдать должное таланту и усердию Моргенштерна, ведь достичь необходимого уровня для того, чтобы на равных работать с фон Нейманом, было нелегкой задачей.

Текст, который должен был стать обычным вступлением к серии лекций, является одной из важнейших работ по экономической теории, написанных по сегодняшний день. Он также послужил основой не только для последующего ее развития, но и для только что появившейся теории игр. Книга, написанная фон Нейманом и Моргенштерном, была опубликована в 1944 году под названием Theory of Games and Economic Behavior («Теория игр и экономическое поведение») и считается одной из главных работ венгерского ученого. В ней теория игр предстала как полная, завершенная теория, которая могла стать основой новой ветви математической науки.

Авторы доказали, что любая игра с количеством игроков n и ненулевой суммой может быть сведена к игре с количеством игроков n + 1 и нулевой суммой. То, что в теории игр главным образом рассматриваются игры с двумя игроками и нулевой суммой, объясняется тем, что, во-первых, их проще анализировать, а во-вторых, они в каком-то смысле являются общим случаем для n + 1 числа игроков в игре с нулевой суммой.

Разумеется, сложность анализа возрастает с увеличением числа игроков. Чтобы решить эту проблему, фон Нейман и Моргенштерн использовали матрицы с n измерениями и функции с n переменными. Применение теории игр к поведению экономических агентов произошло естественным путем — их стали рассматривать как субъекты антагонистической игры, чьей целью было получить выигрыш, снизив риски. В таких играх, разумеется, участники могли создавать коалиции.

Главное свойство математики, по моему мнению, — это ее особенная связь с естественными науками, или, обобщая, со всеми науками, интерпретирующими опыт на более высоком уровне, нежели чисто описательный.

Джон фон Нейман

Может показаться парадоксальным, но часто книги, оказавшие наибольшее влияние на развитие определенной науки, читают меньше всего. В этом можно найти некую логику, если вспомнить, что для их чтения необходимо обладать очень глубокими знаниями, следовательно, они могут быть интересны только узкому кругу специалистов. С другой стороны, эти специалисты обычно обладают признанным авторитетом, который может сделать книгу известной и вне сугубо профессионального круга, причем настолько, что она вызовет интерес средств массовой информации и даже станет модной. Нечто подобное произошло с «Теорией игр и экономическим поведением» — книгой, полной формул и тяжелой для чтения, явно адресованной только специалистам. Газета «Нью-Йорк Таймс» посвятила ей длинную статью, в которой объяснялись революционные последствия нового подхода. Вскоре все специалисты (и, как часто бывает в таких случаях, многие, кто таковыми не являлся) заявили, что появление этой книги ознаменовало новую эпоху в развитии экономической теории. И все же за пять лет было продано всего около 4000 экземпляров. Многие покупатели были не математиками и не экономистами, а профессиональными игроками.

ГЁДЕЛЬ И КОНСТИТУЦИЯ

Однажды вечером Оскару Моргенштерну позвонил Курт Гёдель и сказал, что нашел противоречия в Конституции США. При этом на следующий день Гёдель должен был предстать перед судьей Филипом Форманом для заключительной процедуры принятия американского гражданства, которая носила исключительно формальный характер. Разумеется, математик досконально изучил Конституцию и не намерен был молчать об обнаруженных противоречиях. Тогда Моргенштерн решил позвонить Эйнштейну (который тогда был уже очень известен) и попросить его пойти к судье вместе с ними. На следующий день они предстали перед судьей втроем. Как и следовало ожидать, Гёдель завел речь о формулировке пятой статьи, которая ставила под вопрос устойчивость всей системы. К счастью, Моргенштерну и Эйнштейну удалось убедить судью в благих намерениях Гёделя, и тот смог поклясться на Конституции без каких-либо проблем. Ему очень повезло и со спутниками, и с судьей.

Эйнштейн любил проводить время в обществе Гёделя. Вдвоем они совершали долгие прогулки по кампусу Принстонского университета.

Вероятно, они были очень расстроены, открыв книгу и обнаружив 165 страниц, заполненных математическими формулами.

Фон Нейман и Моргенштерн сравнивали уровень, на котором тогда находилась экономическая теория, с уровнем физики до появления теорий Ньютона и Кеплера. Они считали неприемлемым интуитивный подход, лишенный серьезной теоретической базы, при котором объяснение основывалось на туманной терминологии без четких определений. Ученые прекрасно отдавали себе отчет в том, что развитие экономики требует создания новой математики, которой на тот момент не существовало.

ГЛАВА 4

США: прикладная математика

До 1940 года Нейман в основном занимался исследованиями в области чистой науки. Но начиная с этого момента большая часть его работ была посвящена прикладной математике. Многие идеи ученого, учитывая трагические события тех лет, были применены в военных целях, а остальные, например разработка новой архитектуры компьютеров, стали важными инструментами восстановления общества после войны.

В конце XIX века уровень преподавания математики в США был гораздо ниже, чем в Европе. То, что в Америке учили на первых курсах университета, в Германии входило в программу средней общеобразовательной школы. Это касалось не только математики, но и всех технических дисциплин, для изучения которых она была необходима. Помимо этого, в большинстве университетов США платили за преподавание, а не за исследовательскую работу, поэтому тем, кто хотел такой работой заниматься, надо было самостоятельно искать себе спонсоров.

Необходима была глобальная реформа, в рамках которой появились бы специализированные журналы и математические ассоциации, оказывавшие информационную поддержку для получения финансирования и исследовательских стипендий. Первым центром, сделавшим шаги в этом направлении, был университет Джона Хопкинса в Балтиморе. В нем были созданы постдипломные курсы, а также, в 1878 году, начал выходить журнал American Journal of Mathematics, первый математический журнал в США, стимулировавший исследования в этой науке. Десять лет спустя было создано общество American Society of New York, в которое принимали не только преподавателей математики, но и инженеров, студентов и всех, кто интересовался этой дисциплиной. Число членов общества быстро росло, оно стало известным во всей стране, и в 1894 году было решено переименовать его в American Mathematic Society («Американское математическое общество»), более известное под аббревиатурой AMS.

В 1861 году появился Massachusetts Institute of Technology (сокращенно MIT, Массачусетский технологический институт), быстро ставший одним из крупных образовательных центров США. Однако, как это видно из его названия, институт был создан с целью дать студентам скорее технические, нежели научные знания. В то время приоритетом образовательной политики оставалась прикладная сторона обучения, а фундаментальная исследовательская деятельность стояла на втором месте. Тем не менее растущая потребность в глубоких знаниях по физике и математике именно для развития техники, а также новые сведения в области только что появившейся квантовой механики, приходящие из Европы, сделали для многих ученых очевидной важность создания факультетов, где преподавались бы такие новые дисциплины, как теоретическая физика.