Лестница Шильда
Шрифт:
Отец запустил глобус планеты и поместил перед ним. Светящаяся модель отгоняла серые тени, заполонившие комнату.
– Где ты находишься? Прямо сейчас?
Чикайя жестом покрутил глобус и указал на их город — Бааке. [106]
– Вот тебе загадка, — сказал отец. — Представь, что я рисую перед тобой стрелку и говорю: вот самое для тебя в жизни важное. — Он начертил ее на глобусе, пока говорил. — Куда бы ты ни пойдешь, куда ни отправишься, тебе надо так или иначе держаться ее.
106
Город
Это было очень легко.
– Я воспользуюсь компасом, — сказал Чикайя. — А если не будет компаса, стану ориентироваться по звездам. Куда бы я ни пошел, у меня найдется способ указать себе нужное направление.
– Ты думаешь, что это наилучший способ всегда держаться одного и того же направления? Выверять его по компасу?
– Да.
Отец начертил на глобусе маленькую стрелку недалеко от северного полюса. Она указывала на север. Потом он нарисовал другую стрелку, с противоположной стороны от полюса, и она тоже указывала на север. Две стрелки указывали тот же азимут по компасу — и при этом смотрели в противоположных направлениях.
Чикайя нахмурился и решил было заявить, что это всего лишь надуманное, извращенное исключение из разумного правила, но он не был так уж уверен в этом.
– Забудь про юг и север, — сказал отец. — Забудь про звезды. Стрелка — это единственный твой компас. Ничем иным ты не вправе пользоваться. Ты должен взять ее с собой. А теперь скажи мне, как это сделать.
Чикайя смотрел на глобус. Мысленно он начертил путь, ведущий от Бааке. Как можно сдублировать стрелку?
– Я буду рисовать каждый раз новую стрелку. Такую же, как эта. На каждом шаге.
Отец улыбнулся.
– Отлично. А как ты узнаешь, что стрелка каждый раз в точности такая же?
– Я начерчу стрелку той же длины. И проведу ее параллельно старой.
– Как ты это сделаешь? — не отступал отец. — Откуда тебе знать, что новая стрелка параллельна старой?
Чикайя колебался, не зная, как ответить. Глобус искривлен, его геометрия такая мудреная… Может, лучше начать с плоскости и потом перейти к более сложным случаям? Он вызвал полупрозрачную плоскость и начертил на ней черную стрелку. По его команде Посредник мог бы скопировать стрелку и воспроизвести ее с идеальной точностью в любом месте на этой плоскости. Но ему надо было понять эти правила самому.
Он нарисовал вторую стрелку и показал, как она соотносится с первой.
– Они параллельны. Если соединить их основаниями и остриями, получится параллелограмм.
– Да. Но откуда ты знаешь, что это именно параллелограмм?
Отец протянул руку и, коснувшись второй стрелки, искривил ее.
– Просто взглянув, ты теперь можешь сказать, что я его испортил. Но на что ты смотришь, когда понимаешь это?
– Расстояния больше не одинаковы, — Чикайя проследил их пальцем. — От основания к основанию и от острия к острию — они не совпадают. А чтобы сделать вторую стрелку копией первой, я должен увериться, что она той же длины, и что ее острие отстоит от острия первой стрелки на то же расстояние, каким разделены основания.
– Да, ты прав, — согласился отец. — А теперь усложним задачу. Пускай у тебя нет ни рулетки, ни линейки. И тебе нечем измерить расстояние вдоль одной линии и отложить равное ему расстояние вдоль другой.
Чикайя рассмеялся.
– Это слишком сложно! Да нет, невозможно!
– Погоди. Ты это можешь. Ты можешь сравнить отрезки, отложенные вдоль одной и той же линии. Если ты идешь из пункта А в пункт Б и дальше в пункт В, ты можешь узнать, в точности ли половина пути преодолена в пункте Б.
Чикайя поглядел на стрелки. Там не было половины пути. Не было в параллелограмме линии, которая была бы рассечена надвое.
– Посмотри внимательнее, — настаивал отец. — Посмотри на то, что ты еще не нарисовал.
Он понял.
– Диагонали?
— Да.
Диагонали параллелограмма проходили от основания первой стрелки к острию второй и наоборот. И каждая диагональ разделяла другую точно пополам.
Они работали над построением вместе, выявляя детали и уточняя их. Можно скопировать стрелку, начертив линию от ее острия к основанию будущей второй стрелки, разделив эту линию надвое, нарисовав линию от основания первой стрелки через середину предыдущей линии и продлив ее на равное расстояние. Дальний конец второй диагонали и будет острием копии.
Чикайя с гордостью осматривал чертеж.
Отец сказал:
– А как выполнить аналогичное построение для сферы?
Он толкнул глобус к Чикайе.
– Все в точности повторить. Нарисовать те же линии.
– Прямые или кривые?
– Прямые. — Чикайя запнулся; прямые линии на глобусе? — Большие круги. Дуги больших кругов. — Для двух любых точек на сферической поверхности можно построить проходящую через них и через центр сферы плоскость. Дуга этого экваториального круга отсекается плоскостью от поверхности сферы, это и будет кратчайшее расстояние между точками.
– Да.
Отец указал на путь, который начертил Чикайя от их родного города.
– Попробуй. Увидишь, что получится.
Чикайя скопировал стрелку один раз, перенеся ее на небольшое расстояние вдоль пути. Для этого он использовал ранее найденное построение параллелограмма с арками больших кругов вместо диагоналей. После этого он отдал команду Посреднику повторять построение автоматически до тех пор, пока не будет достигнут конец пути.
– Вот он. — восхитился Чикайя. — Мы это сделали!
Диагональная сетка вела вдоль пути, отмечая направление перемещения стрелки. Ни компаса, ни путеводных звезд — и все же им удалось безошибочно скопировать стрелку от исходной точки к пункту назначения столько раз, сколько было нужно.
– Красиво, не так ли? — сказал отец. — Это построение называется лестницей Шильда. В геометрии и физике эта идея всплывает вновь и вновь. В тысяче обличий. Как перенести что-нибудь отсюда сюда, оставив его неизменным? Шаг за шагом. Сохраняя параллельность. Это единственный разумный способ. Восхождение по лестнице Шильда.