Личность и Абсолют

b) Интересен также еще и другой вид представления как предела, а именно—как площади круга с радиусом, равным 1. Как мы знаем из элементарной геометрии, площадь / правильного вписанного в круг 2m–угольника равняется

Отсюда

если есть количество удвоений сторон вписанного w–угольника. Если сторона квадрата равняется r2, т. е., по условию, 2, а, следовательно, площадь его = 2, то отсюда легко вычисляется и само , равное, как известно, 3,14159265…

с) Это представление как площади круга с радиусом, равным единице, подчёркивает в момент выявленности внутреннего содержания, как бы дорастания его до степени явленности, до степени полной и законченной очерченности. Единица в диалектическом смысле есть полагание как таковое. Провести окружность каким бы то ни было радиусом—значит дать некую фигурность, ориентированную на неви–г димый центр, и притом так, что каждый момент этой фйгурности ориентирован совершенно одинаковым образом и фигурность возвращается сама к себе, будучи некоей самодовлеющей явленностью. Провести же окружность радиусом, равным единице, — значит получить фигурность, которая своей внутренней сущностью призвана к тому, Чтобы демонстрировать самодовлеющую явленность энергийной единичности, как бы ее обтекающую выраженную полноту, эманативнофигурную ограниченность и скомпонованность или, если угодно, внешнюю размерность. Число демонстрирует нам то постоянное отношение, которое существует между этой внешне–эманативной размерной полнотой и внутренним содержанием этой полноты. В наивной форме это и понимается в математике как «предел отношения окружности к диаметру».

Позже мы не раз столкнемся именно с такой интуицией, лежащей в основе построения числа.

d) Между прочим, трансцедентность числа , в логическом смысле, яснейшим образом вытекает из понимания его как некоей предельной площади. В последнем из приведенных математических выражений мы, с одной стороны, имеем бесконечный рост количества сторон вписанного многоугольника, с другой стороны—бесконечное нарастание его площади. Эти две бесконечности вплетены одна в другую, и потому их результат есть становление становления в пределе, т. е. число трансцедентное.

§ 112. Трансцедентное число (в связи с трансцедентными функциями).

1. Линдеман обобщил бывшую до него теорему о невозможности для числа е быть корнем уравнения, в котором коэффициенты и показатели являются целыми рациональными числами. А именно, он доказал, что в этом случае коэффициенты могут быть любыми, а показатели — различными между собою алгебраическими числами. Частным случаем этой теоремы Линдемана оказывается то, что в уравнении

е ^х= а

числа х и а не могут быть одновременно алгебраическими числами (кроме х = 0, т. е. а= 1). Иначе е в алгебраической степени было бы алгебраическим числом, что после теоремы исключается. Значит, если мы имеем показательную функцию от алгебраического аргумента, то она оказывается числом трансцедентным. Точно так же натуральный логарифм алгебраического числа обязательно есть тоже трансцедентное число. Кроме того, А. Гельфонд доказывает, что ¹, где —алгебраическое число, тоже трансцедентно [899] . Но из соотношения 1+ e ⁿⁱ= 0 следует, что (—1)' = е ^–n. Следовательно, по Гельфонду, е ^–птоже трансцедентно. Но тогда трансцедентно и е ^п.

899

A. Gelfond. Jor. les nombres transcendentes. Contes Renel. 1929, T. 189, p. 1224. Ср. также — Естеств. и марке. 1930, 1/5, 52 сл.

2. Все эти заключения (и подобные им) таят под собою ряд неосознанных интуиций, без вскрытия которых невозможно философское понимание предмета.

а) Прежде всего зададим себе вопрос: что значит вообще степень Трансцедентного числа? Как будет особо разъяснено ниже, в § 118, возведение числа в степень есть его алогический органический рост. Возвести число в степень—это значит повторить его как именно его самого в каждом его отдельном моменте, воспроизвести его самого в каждом отдельном моменте. Органический рост, это и есть возведение в степень. Но как же это возможно в отношении трансцедентного числа? Ведь трансцедентное число уже вмещает в себе все свое инобытие, т. е. все свои возможные инобытийные самовоспроизведения. О каком же еще воспроизведении может идти речь?

Тут мы должны вспомнить, что трансцедентное число вовсе не есть застывшая в себе данность, хотя бы эта данность и была полной. Трансцедентное число есть переполнение числа своим инобытием, излияние числа в инобытие, выразительная эманация числа. Отсюда— степень трансцедентного числа только и можно понимать как результат его эманации в инобытии, т. е. как установление какого–нибудь нового числа, инобытийного в отношении данной трансцедентности.

b) Рассуждая таким образом, мы можем получить—в качестве результата эманации трансцедентного, — во–первых, опять все такое же трансцедентное число. Что это значит? Это значит, что из данной трансцедентности эманировало бытие, которое, ставши таковым (т. е. инобытием в отношении данной трансцедентности), само возымело в свою очередь трансцедентные особенности и само стало способным к порождению эманаций. Результатом эманации может быть, во–вторых, и алгебраическое число. Когда трансцедентное число возводится в трансцедентную степень, мы получаем алгебраическое число. Повидимому, тут происходит двойная эманация: с одной стороны, эманирует из данной трансцедентности новая, инобытийная, а с другой— поскольку первоначальная трансцедентность возводилась в трансцедентную же степень, то данной эманации хватило не только на продуцирование новой трансцедентности, но и на дальнейшее продуцирование еще алгебраического числа из этой новой трансцедентности. Наконец, результатом эманации может быть и комплексное число. Здесь мы, кажется, тоже имеем дело с двойной эманацией, когда эманированный продукт не только есть инобытие, трансцедентное или алгебраическое, но это инобытие еще и приняло новую форму, именно комплексную.

Итак, та или иная степень трансцедентного числа е есть не что иное, как тот или иной результат эманации числовой трансцедентности.

Изучим некоторые явления из этой области.

3. а) Число е, возведенное в вещественную степень и легко представляемое в виде бесконечного ряда типа Маклорена, для нас менее интересно. Гораздо интереснее здесь мнимые степени. Возводя трансцедентное число в мнимую степень, мы не получаем никакой несуразности и никакого бесполезного нагромождения схоластических терминов, как это всегда кажется неискушенным в диалектике мыслителям. Тут на помощь приходит сама математика, давая замечательные построения в виде Эйлерового представления тригонометрических функций с мощью мнимых степеней е. Схоластика оборачивается рядом самых обыкновенных и даже самых элементарных математических построений.

b) Именно, если мы возьмем e ^xi, разложим его в ряд, отделим вещественные и мнимые члены, то вещественная часть окажется не чем иным, как разложением cosx, а коэффициент при мнимой части—не чем иным, как разложением sin*; и мы, таким образом, получаем:

e ^xi=cos x + I sin x.

Уже это одно замечательное построение способно вызвать у философствующего некоторый восторг ума. В самом деле, ведь мы же только возводили е в мнимую степень. Откуда же это вдруг всплыли тригонометрические функции?

Прежде всего формулируем, что такое мнимая степень трансцедентности, — независимо ни от каких формул Эйлера.

Мы уже знаем (§ 111а), что степень указывает на органический рост возводимого в степень. Стало быть, трансцедентное должно органически расти и самовоспроизводиться. В какую же сторону оно должно расти? Об этом говорит мнимый показатель степени. Но что такое мнимость? Мнимость есть чисто смысловое оформление вещи (§ 104). Значит, трансцедентность должна расти в сторону своего чисто смыслового оформления; трансцедснтнос испускает из себя эманацию чисто смыслового оформления и воспроизводит себя в нем, как бы покрывает себя прочной броней оформления, облекается в некое внешнее одеяние, облекается выразительным и твердо ощутимым телом. Выразительнотелесная форма как результат эманации трансцедентного—вот что такое мнимая степень трансцедентного.

Что же теперь дает тут математика?

с) Аналитический вывод связи тригонометрических функций с мнимой степенью е указан выше, и он не только внешне элементарен, но он в такой же степени и загадочен и требует какого–нибудь осмысленного уразумения. Нужно сознаться, что математическая схоластика и формализм в данном вопросе особенно постарались сделать свой предмет непонятным, в результате чего формулы Эйлера, можно сказать, просто никто из математиков не понимает, хотя вывести их доступно школьнику.