Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности

В наше время для успеха масштабного проекта нужны «спецы», умеющие решать проблемы по ходу дела, – именно такие, каким стал повзрослевший Гарри Поттер. Возможно, именно поэтому его история могла возникнуть лишь в наши дни. Думаю, Роулинг изначально знала, что ее книги, помимо всех их великих приключений, рассказывают именно об этом – и, разумеется, о чуде любви.

Можно спросить: останется ли место для чудес, когда их у нас на глазах теснит наука, раскрывая суть все новых явлений, некогда казавшихся непостижимыми? Да, возможно, когда-нибудь она опишет нам все мысли Эрнё Рубика, всю отвагу Эллен Макартур или замечательный и неожиданный успех «Гарри Поттера». Пока что она явно на это не способна. Но может, уже сейчас она даст нам метод анализа этих необъяснимых, однократных, неповторимых чудес?

2 Мир тихий и мир дикий

У одного Эйнштейна нет стандартного отклонения.

Альберт Эйнштейн распорядился в завещании, чтобы его мозг после смерти был передан исследователям, но изучение его анатомии не дало почти никаких интересных результатов [19] . Хотя мозг Эйнштейна во многих отношениях отличался от всех других, исследованных до этого, было невозможно выделить конкретные характеристики, сочетание которых сделало его гениальным. Для этого потребовалось бы изучение большого числа эйнштейнов, чтобы исследователи могли охарактеризовать типичный эйнштейновский мозг и выявить его отличия от столь же типичного мозга неэйнштейновского. Но Эйнштейн был только один, и его мозг оказался в точности таким же уникальным, как мозг любого другого человека.

19

См., например,htm или.

Мы обычно считаем, что «средний» означает «типичный», а упоминания или изучения заслуживают отклонения от среднего. Однако очень часто это не так. По любому конкретному параметру – объему, весу, числу и глубине складок или любой другой характеристике – наш мозг так же отличается от среднего, как наш рост. Средний рост венгра – метр семьдесят пять, но мужчин именно этого роста мало. Почти все они слегка выше или ниже.

В связи с такими отклонениями от среднего статистики определяют не только среднее значение величины, которую исследуют, но и среднее отклонение от нее. На профессиональном языке статистиков этот параметр называется «стандартным отклонением». Например, рост типичного мужчины «ниже среднего» – на одно стандартное отклонение меньший среднего роста – равен 1 м 67 см, а рост типичного мужчины «выше среднего» – метр восемьдесят три. В этом смысле можно сказать, что мужчина ростом 167 см – такой же «средний», как и мужчина ростом 183 см; рост обоих отличается от среднего на одно стандартное отклонение. Строго говоря, то, что я тут описываю, не вполне точно соответствует стандартному отклонению; математики предпочитают использовать чуть более сложную формулу [20] .

20

Более точную формулу стандартного отклонения и основополагающие концепции математической статистики см., например, в Schervish (1998) и Shao (2008).

Из психологических исследований нам известно, что мы воспринимаем мир сквозь призму языка. Мы не считаем человека ростом 183 см поразительно высоким, как и человека ростом 167 см – удивительно низким. То, что большинство из нас считает примечательным, начинается где-то в паре стандартных отклонений от среднего. Так, рост 191 см мы считаем высоким, а уж когда со стула встанет человек, рост которого отличается от среднего на три стандартных отклонения – то есть равен 199 см, – он, несомненно, привлечет наше внимание. Но это все еще не чудо. А вот человек пятиметрового роста считался бы явлением чудесным. Его рост отличался бы от среднего более чем на сорок стандартных отклонений. Но на самом деле людей пятиметрового – и даже трехметрового – роста не существует.

Если кто-то говорит о среднем, не называя стандартного отклонения, к его словам всегда следует относиться с некоторым подозрением [21] . Такой человек вовсе не обязательно пытается нас обмануть; вполне возможно, что он говорит по незнанию. Но следует помнить, что средняя величина без стандартного отклонения дает мало информации. Взять, например, тот факт, что типичный ребенок начинает говорить в полтора года. Следует ли нам беспокоиться об умственном развитии нашей маленькой Моники, если ей уже исполнилось два года, а она все еще не научилась говорить? Если бы стандартное отклонение для возраста освоения речи равнялось паре месяцев, тогда у нас был бы повод для беспокойства. На самом деле оно составляет около полугода, так что запаздывание речевого развития Моники – вполне нормальное. Когда мама привела меня по этому же поводу к врачу, он сказал ей: «Не беспокойтесь, моя милая; он скоро наверстает упущенное».

21

У любого распределения есть и другие характеристики помимо математического ожидания и стандартного отклонения. Например, стандартное отклонение ничего не говорит о наличии двойного «пика» у бимодального распределения. Но эти параметры не столь часто бывают по-настоящему важны, в то время как стандартное отклонение всегда имеет фундаментальное значение.

Гений как чудо

У одного Эйнштейна нет стандартного отклонения. Он – уникальное явление, которое невозможно объяснить методами статистики. Эта же уникальность так сильно затрудняет точное определение концепции гениальности. Многие скажут, что гений – это человек с необыкновенным талантом, но талант – это другая концепция.

По счастью, талантливых людей много, так что эту концепцию можно исследовать с использованием статистических методов. Мне нравится следующее определение: иметь талант означает знать или уметь нечто, чему вы никогда не учились. Психологические исследования талантливых людей приходят приблизительно к тому же определению, возможно более профессионально сформулированному. Кого бы мы ни исследовали – лучших учеников старшей школы или золотых медалистов Международной научной олимпиады, – психологические профили талантливых личностей выходят, по сути дела, одинаковыми: чем больше человек знает за пределами того, чему он учился, тем он талантливее.

Умения людей с разными уровнями талантливости различаются словно небо и земля. Например, необычайно талантливый программист может превосходить программиста среднеталантливого на целый порядок по эффективности. Это до некоторой степени удивительно. Ситуация такая же, как если бы человек ростом 190 см оказался в десять раз более эффективным – или в десять раз более каким угодно, – чем человек ростом всего 183 см. По-видимому, разница в росте не имеет столь радикальных последствий даже для баскетболистов, для которых большой рост является преимуществом. Однако уровень таланта оказывается чрезвычайно важен.

Что же нам делать с концепцией гениальности? Возможно, она подойдет для обозначения необычайно высокого уровня талантливости. Когда говорят об «интеллекте уровня гения», этот интеллект определяют по линейной шкале: гениальность подобна обычной разумности, только гораздо больше. Но, возможно, гениальность в чем-то отличается и от разумности, и от талантливости качественно. Может быть, гения точнее определить как человека, способного придумывать такие вещи, о которых никогда не помыслят даже необычайно талантливые люди? Представим себе Ньютона или Эйнштейна, Моцарта или Пикассо.

Хотя представление о сферической Земле существовало еще в Античности, а идея о гравитации как измеримой силе восходит по меньшей мере к Галилею, то есть к концу XVI века, именно Ньютон позволил понять, как именно может быть устроено мироздание с круглой Землей и почему люди, находящиеся на ее «нижней стороне», не падают с нее – или, если они каким-то образом приклеены к поверхности Земли, как они могут жить вверх ногами, а вся их кровь не изливается им в голову. Вопрос о людях, живущих вниз головой, на самом деле был трудной загадкой. Церковь не принимала концепцию круглой Земли, вращающейся вокруг Солнца, не из одного только злобного упрямства. Дело не только в том, что такие идеи противоречили богословским догматам; на научные вопросы, которые следовали из такой космологии, также не было убедительных ответов. Ньютон разрешил это затруднение, предложив закон всемирного тяготения: идею, что одна и та же сила вызывает вращение планет вокруг Солнца и удерживает ноги человека на земле. Для этого требовался гений, способный открыть концепцию, о которой никто до него не мог и помыслить, и дать общее объяснение явлениям, казавшимся до этого и не связанными друг с другом и необъяснимыми.

В этом смысле гений кажется явлением уникальным и неповторимым – то есть, в нашей терминологии, чудом. И потому мы еще раз убеждаемся, что чудеса все же существуют, ведь время от времени, пусть и не слишком часто, рождаются ньютоны или эйнштейны. Это люди не просто необычайно талантливые. Они не только знают гораздо больше, чем выучили; они также знают нечто, чему нельзя научить, нечто выходящее за пределы самого смелого воображения их современников.

Сегодняшняя гениальная идея завтра будет общеизвестной истиной. Теорию, которую мог разработать только гений, через некоторое время будут преподавать тысячи весьма далеких от гениальности учителей. Сначала, когда идеи новы и революционны, понять их и передать новые знания может только великий учитель. Но со временем те, кого интересует эта теория, совершенствуют и упрощают ее и находят новые способы ее объяснения, которые значительно облегчают ее преподавание. В оригинале «Начала» Ньютона очень трудны для понимания. Я читал эту книгу и могу засвидетельствовать, что читать ее невозможно. Но материалы, изложенные в ней, ежегодно преподают тысячам и тысячам старшеклассников и первокурсников. Человек гениальный открывает новую территорию, а люди необычайно талантливые следуют по пути, проложенному гением. Позднее по их следам идут люди, талантливые лишь умеренно.

Я утверждал, что гений есть чудо, но мне по-прежнему нечего ответить моему другу Алексу, убежденному, что никаких чудес не бывает. Алекс сказал бы: «То, что является чудом для тебя, совсем не обязательно будет чудом для человека гораздо более талантливого». Действительно, мне кажется чудом пятиметровый прыжок в длину, но существуют спортсмены, способные прыгнуть дальше чем на восемь метров, так что даже восьмиметровый прыжок чудом не считается [22] .

Было бы полезно попытаться каким-то образом выразить редкость появления чудес в численной форме. Для этого давайте посетим две воображаемых страны, в которых мы сможем узнать о тихих, спокойных средних величинах и диких, буйных крайностях. Назовем их Тихонией и Диконией, миром тихим и миром диким.

22

Сейчас мировой рекорд по прыжкам в длину у мужчин, установленный в 1991 г. Майком Пауэллом, составляет 8 м 95 см.