Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании

Рис. 3.3. Гармонический синтез меандра при n = 2, 5 и 30

Читатель, интересующийся вопросами гармонического синтеза сигналов может опробовать в нем свои силы и синтезировать колебания и сигналы других форм. Поскольку при синтезе сигнал получается в виде частотных составляющих (гармоник), то для преобразования такого сигнала можно использовать частотные фильтры.

3.2.9. Обратные тригонометрические функции и их применение

К обратным тригонометрическим функциям относятся: arcsin — арксинус; arccos — арккосинус; arctan — арктангенс; arcsec — арксеканс; arccsc — арккосеканс; arccot — арккотангенс. Примеры вычислений (файл calcfun):

> arcsin(.2);

.2013579208

> arcsin(2.);

1.570796327 - 1.316957897 I

> evalc(arcsin(5));

½π - I ln(5+2√6)

> arccos(1/2);

⅓π

> arctan(1);

¼π

> arccot(0);

½π

К этому классу функций принадлежит еще одна полезная функция:

arctan(y,x) = argument(х+I*у)

Она возвращает угол радиус-вектора в интервале от -Pi до Pi при координатах конца радиус-вектора х и у (см. пример ниже):

> arctan(2., 3);

.5880026035

Графики ряда обратных тригонометрических функций строит документ, имеющийся в файле tfris. Следует отметить, что эти функции не являются периодическими.

3.2.10. Применение гиперболических функций

Гиперболические функции представлены следующим набором: sinh — гиперболический синус; cosh — гиперболический косинус; tanh — гиперболический тангенс; sech — гиперболический секанс; csch — гиперболический косеканс; coth — гиперболический котангенс. Примеры применения гиперболических функций представлены ниже (файл calcfun):

> [sinh(1.), cosh(1.), tanh(1.)];

[1.175201194, 1.543080635, .7615941560]

> [sech(1.), csch(1.), coth(1.)];

[6480542737, .8509181282, 1.313035286]

На рис. 3.4 сверху представлены графики гиперболического синуса, косинуса и тангенса. По ним можно судить о поведении этих функций.

Рис. 3.4. Графики основных гиперболических и обратных гиперболических функций

В отличие от тригонометрических функций, гиперболические функции не являются периодическими. Функция гиперболического тангенса имеет симметричную кривую с характерными ограничениями. Поэтому она широко используется для моделирования передаточных характеристик нелинейных систем с ограничением выходного параметра при больших значениях входного параметра.

С помощью функции преобразования convert(f, ехр) можно перевести гиперболические функции в экспоненциальную форму:

> convert(sinh(х),ехр);

> convert(tan(х),ехр);

3.2.11. Обратные гиперболические функции и их применение

К обратным гиперболическим функциям относятся: arcsinh — гиперболический арксинус; arccosh — гиперболический арккосинус; arctanh — гиперболический арктангенс; arcsech — гиперболический арксеканс: arccsch — гиперболический арккосеканс: arccoth — гиперболический арккотангенс. Примеры применения:

> [arcsinh(1.),arccosh(1.), arctanh(1.)];

[.8813735870, 0., Float(∞) + Float(undefined)I]

Графики обратных гиперболических синуса, косинуса и тангенса представлены на рис. 3.4 снизу. С помощью функции преобразования convert(f, ln) можно перевести гиперболические функции в логарифмическую форму:

> сonvert(arcsin(х), ln);

> convert(arctan(х), ln);

3.2.12. Вычисление степенных и логарифмических функций

К степенным и логарифмическим относятся следующие функции системы Maple: ехр — экспоненциальная функция; ilog10 — целочисленный логарифм по основанию 10 (возвращает целую часть от логарифма по основанию 10); ilog — целочисленный логарифм (библиотечная функция, возвращающая целую часть от натурального логарифма); ln — натуральный логарифм; log — логарифм по заданному основанию (библиотечная функция); log10 — логарифм по основанию 10; sqrt — квадратный корень.

Примеры вычисления этих функций (файл calcfim):

> х:=2;

х:=2

> [ехр(х),ln(х),log(х),log10(х)];

> х:=2.0;

х:= 2.0

> [ехр(х),ln(х),log(х),log10(х)];

[7.389056099,.6931471806,.6931471806,.3010299957]

> ilog[2](100);

6

> readlib(log10);

proc(x) ... end proc

> log10(10000.);

4.000000000

> evalc(sqrt(2+3*I));

> sqrt(99+1);

13

Графики ряда описанных выше функций показаны на рис. 3.5. Они также получены с применением средств Maple 9.5.

Рис. 3.5. Графики ряда степенных и логарифмических функций

На рис. 3.5 показаны также графики синусоиды с экспоненциально падающей и нарастающей амплитудой. Строго говоря, называть представленные функции синусоидами математически не корректно.

Многие функции этой группы обычно определены для положительных значений аргумента. Однако введение комплексных чисел позволяет вычислять такие функции и для отрицательных значений аргумента. Несколько интересных примеров этого представлено ниже (файл calcfun):

> restart:sqrt(-4);

2I

> simplify( sqrt(х^2));

csgn(x)x

> ln( -1 );

πI

> simplify(log(exp(x)));