Математические чудеса и тайны

Объяснение. В результате описанной процедуры выбранная карта всегда оказывается на девятнадцатом месте сверху. Поэтому любая девятнадцатибуквенная фраза, например «П-о-р-а-з-и-т-е-л-ь-н-ы-е ф-о-к-у-с-ы», приводит к нужной карте [8] ).

Сколько переложено карт?

Пачку в 13 карт снимают несколько раз и передают зрителю. Показывающий поворачивается к зрителям спиной и просит переложить по одной любое число карт — от одной до тридцати включительно — снизу пачки наверх.

8

Для любого числа между 20 и 29 разность между этим числом и суммой его цифр всегда равна 18. Чтобы фокус удался, нужно, чтобы часть колоды, «снятая» зрителем, насчитывала не менее 20 и не более 29 карт.

Показывающий поворачивается лицом к зрителям, берет пачку, развертывает ее веером лицевой стороной вниз и, не задумываясь, вытаскивает карту. Карта открывается, и все видят, что ее числовое значение равно числу переложенных карт. Этот фокус можно повторять сколько угодно раз.

Объяснение. Для демонстрации этого фокуса специально выбирают 13 карт так, чтобы на каждое целое число от 1 до 13 приходилась одна карта с соответствующим числовым значением. Их располагают в порядке убывания числовой величины, начиная с короля и кончая тузом. Показывающий снимает пачку несколько раз и передает ее зрителю, незаметно посмотрев на нижнюю карту. Допустим, это была четверка. После того как карты будут переложены, показывающнй отсчитывает сверху четыре карты и последнюю из них открывает. Ее числовое значение укажет число переложенных карт. [9]

9

После ряда снятий расположение карт в тринадцатикарточной колоде с первоначальным расположением (верх) 13, 12, 11…. 3, 2, 1 (низ) заменится следующим: (верх) k — 1, k — 2…. 2, 1, 13, 12…. k (низ), где 1 <= k <= 13. Выше карты 13 лежит k — 1 карт, и сама карта 13 является k– й картой сверху.

Затем в результате перевода одной карты снизу колоды наверх на k-м месте сверху будет лежать карта 1, в результате перевода двух карт — карта 2 и т. д.; таким образом, если в результате снятия перенесено снизу вверх, положим, m карт, то на k– м месте сверху будет лежать карта m, что и требуется.

Фокус с нахождением карты

Колода карт тасуется. Показывающий бегло ее просматривает, кладет лицевой стороной вниз и называет одну карту. Допустим, это двойка червей. Теперь кто-нибудь называет число от 1 до 26. Показывающий отсчитывает по одной это число карт на стол и открывает верхнюю карту положенной им кучки. Но это не двойка червей!

Показывающий принимает озадаченный вид и высказывает предположение, что карта, может быть, осталась в нижней половине колоды. Неверная карта поворачивается лицевой стороной вниз и кладется на эту полуколоду, а сверху помещаются остальные карты из кучки, оставшейся на столе. Зрителя просят назвать еще одно число, на этот раз от 26 до 52. Это число карт снова сдается на стол. И опять-таки оказывается, что верхняя карта в кучке — не двойка червей.

Показывающий принимает озадаченный вид и высказывает предположение, что карта, может быть, осталась в нижней половине колоды. Неверная карта поворачивается лицевой стороной вниз и кладется на эту полуколоду, а сверху помещаются остальные карты из кучки, оставшейся на столе. Зрителя просят назвать еще одно число, на этот раз от 26 до 52. Это число карт снова сдается на стол. И опять-таки оказывается, что верхняя карта в кучке — не двойка червей.

Опять неверная карта переворачивается и кладется на нижнюю часть колоды, а карты, взятые со стола, помещают сверху. Теперь показывающий высказывает предположение, что двойка червей найдется, если от второго числа отнять первое. Производится вычитание, и отсчитывается число карт, равное разности, следующая карта открывается, и на этот раз она оказывается двойкой червей!

Объяснение. Бегло просмотрев карты, показывающий просто называет верхнюю карту колоды. После двух отсчетов карта автоматически оказывается в положении, следующем за указываемым разностью двух чисел, названных зрителем [10] ).

Глава вторая. ФОКУСЫ С МЕЛКИМИ ПРЕДМЕТАМИ

Пожалуй, почти каждый мелкий предмет, так или иначе связанный с числами или счетом, использовался для показа фокусов математического характера или для математических головоломок и задач. Самая большая группа таких фокусов — фокусы с игральными картами — была нами рассмотрена выше. В настоящей и последующих главах мы рассмотрим математические фокусы с другими мелкими предметами.

10

Пусть m < 26 и n > 26 — числа, названные зрителем. Если первоначальное расположение карт в колоде было (верх) 1, 2, 3…., m — 1, m, m + 1…. n — 1, n, 51, 52 (низ), то после первой процедуры оно становится следующим:

(верх) m — 1, m — 2…. 1; m, m + 1, n — 1, n…, 51, 52, (низ), а после второй процедуры — следующим: (верх) n — 1, n — 2…, m + 1, m, 1, 2…. m — 1; n…. 51, 52 (низ.) Очевидно, если отсчитать сверху n — m карт, следующей будет 1, что и требуется.

Не стараясь сделать изложение исчерпывающим, мы лишь проиллюстрируем различные принципы, на которых они основаны.

Игральные кости

Игральные кости так же стары, как и игральный карты, а история зарождения этой игры так же неясна. И все же с удивлением приходится отметить, что самые ранние из известных игральных костей древней Греции, Египта и Востока имеют точно такой же вид, как и современные, т. е. кубик с цифрами от единицы до шестерки, нанесенными на грани кубика и расположенными таким образом, что сумма их на противоположных гранях равна семи. Однако кубическая форма игральной кости объясняется тем, что только правильный многогранник обеспечивает полное равноправие всех граней, а из пяти существующих в природе правильных многогранников куб обладает, явным преимуществом как атрибут игры: его легче всего изготовить, и, кроме того, он единственный из них, который перекатывается легко, но не слишком (тетраэдр перекатывать труднее, а октаэдр, икосаэдр и додекаэдр настолько близки по своей форме к шару, что быстро укатываются). Поскольку куб имеет шесть граней, то нанесение на них шести первых целых чисел напрашивается само собой, а расположение их с суммой — семеркой — представляется наиболее простым и симметричным. И это является между прочим единственным способом такого их попарно противоположного расположения, чтобы суммы всех пар были одинаковы.

Именно этот «принцип семерки» лежит в основе большинства математических фокусов с игральными костями. В лучших из таких фокусов упомянутый принцип применяется настолько тонко, что о нем никто и не подозревает. В качестве примера рассмотрим один очень старый фокус.

Угадывание суммы

Показывающий поворачивается спиной к зрителям, а в это время кто-нибудь из них бросает на стол три кости. Затем зрителя просят сложить три выпавших числа, взять любую кость и прибавить число на нижней ее грани к только что полученной сумме.

Потом снова бросить эту же кость и выпавшее число опять прибавить к сумме. Показывающий обращает внимание зрителей на то, что ему никоим образом не может быть известно, какую из трех костей бросали дважды, затем собирает кости, встряхивает их в руке и тут же правильно называет конечную сумму.

Объяснение. Прежде чем собрать кости, показывающий складывает числа, обращенные кверху. Добавив к полученной сумме семерку, он находит конечную сумму.

Вот еще один остроумный фокус, основанный на принципе семерки. Показывающий, повернувшись спиной к зрителям, просит нх составить столбиком три игральные кости, затем сложить числа на двух соприкасающихся гранях верхней и средней костей, потом прибавить к полученному результату сумму чисел на соприкасающихся гранях средней и нижней костей, наконец, прибавить к последней сумме еще число на нижней грани нижней кости. В заключение столбик накрывается платком.

Теперь показывающий поворачивается к зрителям и вынимает из кармана горсть спичек, количество которых оказывается равным сумме, найденной зрителем при сложении пяти чисел на гранях кубиков.

Объяснение. Как только зритель сложит свои числа, показывающий на мгновение поворачивает голову через плечо якобы для того, чтобы попросить зрителя накрыть столбик платком. В самом же деле он в это время успевает заметить цифру на верхней грани верхнего кубика. Допустим, это шестерка.

В кармане всегда должна быть 21 спичка. Захватив все свои спички, показывающий, вынимая руку из кармана, роняет шесть из них обратно. Иными словами, он вытаскивает все спички без стольких, какова цифра наверху столбика. Это число спичек и даст сумму цифр на пяти гранях.

То обстоятельство, что зритель складывает числа на соприкасающихся гранях соседних кубиков, а не взаимно противоположные числа одного и того же кубика, служит хорошей маскировкой применения принципа семерки.

Этот фокус можно демонстрировать и без использования принципа семерки. Следует лишь заметить цифры на любых двух гранях каждого из кубиков. Дело в том, что существуют, только два различных способа нумерации костей, причем один из них является зеркальным отображением другого и, более того, все современные игральные кости нумеруются одинаково: если держать кубик так, чтобы была видна тройка 1, 2 и 3, то цифры в ней будут расположены в порядке, обратном движению часовой стрелки (рис. 1).

Рисуя себе мысленно взаимное расположение цифр 1, 2, 3 и вспоминая принцип семерки, чтобы представить себе местонахождение цифр 4, 5, 6, можно, глядя сбоку на столбик (верхнюю грань верхнего кубика предварительно накрывают монетой), правильно назвать число на верхней грани любого кубика. При хорошем пространственном воображении и небольшой практике этот фокус можно показывать с поразительной быстротой.

Отгадывание выпавшего числа очков