Математические головоломки и развлечения

На рис. 77 изображена одна из таких конфигураций.

Рис. 77 Игра на шахматной доске фигурами пентамино.

Эта задача натолкнула Голомба на мысль играть на шахматной доске картонными пентамино, вырезанными точно по размерам квадратов доски. (Мы рекомендуем читателю изготовить такой набор пентамино, ибо он годен не только для игры, но и для того, чтобы решать и придумывать задачи.)

Двое или более игроков по очереди выбирают любое но и закрывают им любые клетки доски. У фигур нет «верхней» и «нижней» стороны. Как и во всех других задачах этой главы, пентамино могут быть асимметричными. Проигрывает тот, кто не сможет поставить свое пентамино.

Голомб пишет:

«Игра продолжается не менее пяти и не более двенадцати ходов, никогда не заканчивается вничью, в начале партии отличается большим разнообразием, чем шахматы, и наверняка увлечет людей самого различного возраста. Давать советы относительно стратегии игры трудно, но два важных принципа все же можно указать:

1. Старайтесь играть так, чтобы всегда оставалось место для четного числа «костей» (если вы играете вдвоем).

2. Если вы затрудняетесь проанализировать создавшуюся позицию, постарайтесь по возможности усложнить ее, чтобы противник оказался в еще более затруднительном положении, чем вы».

Поскольку 35 костей гексамино покрывают площадь в 210 квадратиков, невольно возникает мысль: а нельзя ли сложить из них прямоугольники размером 3 х 70, 5 х 42, 6 х 35, 7 х 30, 10 х 21 или 14 х 15? Я всерьез подумывал о том, чтобы назначить премию в 1000 долларов тому из читателей, кто сумеет построить один из этих шести прямоугольников, но мысль о тех долгих часах, которые ему придется затратить понапрасну, чтобы отыскать решение, вынудила меня отказаться от моего намерения. Дело в том, что все подобные попытки, как доказал Голомб, заранее обречены на провал. Его доказательство может служить прекрасным примером использования методов комбинаторной геометрии — мало известной отрасли математики, выводы которой широко используются в технике при отыскании оптимальных способов подгонки стандартных деталей. Для нас особый интерес представляют два примера:

а) раскраска частей интересующей нас фигуры в различные цвета для большей наглядности;

б) принцип «проверки на четность», основанный на использовании комбинаторных свойств четных и нечетных чисел.

Прежде всего раскрасим наши прямоугольники подобно шахматной доске в черные и белые квадраты. И тех и других должно быть нечетное число: 105 черных квадратов и 105 белых.

Перебрав 35 фигур гексамино, мы обнаружим, что 24 из них всегда покрывают три черных и три белых квадрата, то есть нечетное число квадратов каждого цвета. Число таких «нечетных гексамино» четно, а поскольку произведение четного числа на нечетное четно, мы можем утверждать, что все вместе 24 «четных» гексамино покроют четное число квадратов каждого цвета.

Остающиеся 11 гексамино имеют такую форму, что каждым из них можно накрыть четыре квадрата одного цвета и два другого, то есть четное число квадратов того и другого цвета. Число таких «четных гексамино» нечетно, но опять же. поскольку произведение четного числа на нечетное есть число четное, мы можем с уверенностью утверждать, что эти 11 фигур накрывают четное число квадратов каждого цвета. (На рис. 78 и 79 разбиты на группы 35 гексамино четных и нечетных фигур.)

Рис. 78 Двадцать четыре «нечетных» гексамино.

Рис. 79 Одиннадцать «четных» гексамино.

Наконец, поскольку сумма четных чисел четна, мы заключаем, что с помощью 35 гексамино можно накрыть четное число белых квадратов и четное число черных. К сожалению, каждый прямоугольник состоит из 105 квадратов каждого цвета. Это число нечетно, поэтому прямоугольника, который можно было покрыть 35 фигурами гексамино, не существует.

«Рассмотренные задачи, — резюмирует Голомб, — заставляют сделать вывод, который относится ко всем правдоподобным рассуждениям вообще. Взяв те или иные начальные данные, мы долго и упорно пытаемся подогнать их под некоторую схему. Если это нам удается, мы считаем, что только такая схема и «соответствует фактам». В действительности же те данные, которыми мы располагаем, отражают лишь отдельные стороны прекрасного и всеобъемлющего целого. Такого рода рассуждения неоднократно встречаются в религии, политике и даже в науке. Пентамино служит примером того, как одни и те же данные с одинаковым успехом удовлетворяют многим различным схемам. Схема, на которой мы в конце концов останавливаем свой выбор, определяется не столько имеющимися в нашем распоряжении данными, сколько тем, к чему мы стремимся.

Вполне возможно, что при некоторых данных (как это было в задаче о прямоугольниках, составленных из гексамино) схемы, которую мы так стремимся отыскать, вообще не существует».

* * *

Читателям, которые захотят попробовать свои силы в складывании фигур из гексамино, можно предложить еще два примера (рис. 80 и 81), заимствованных из журнала «Небывалые шахматы».

Рис. 80 Фигура I для складывания из гексамино.

Рис. 81 Фигура II для складывания из гексамино.

Каждая из фигур составлена из полного набора C5 костей) гексамино. Построить же фигуры из полного набора гексамино можно лишь в том случае, если разность между числом квадратов одного и другого цвета равна 2, 6, 10, 14, 18 и 22.

Глава 13. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СОФИЗМЫ

Математический парадокс можно определить как истину, настолько противоречащую нашему опыту, интуиции и здравому смыслу, что в нее трудно поверить даже после того, как мы шаг за шагом проследим все ее доказательство. Математическим софизмом принято называть не менее удивительные утверждения, в доказательствах которых в отличие от доказательства парадоксов кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. В любой области математики — от простой арифметики до современной теоретико-множественной топологии — есть свои псевдодоказательства, свои софизмы. В лучших из них рассуждения с тщательно замаскированной ошибкой позволяют приходить к самым невероятным заключениям. Ошибкам в геометрических доказательствах Евклид посвятил целую книгу, но до наших дней она не дошла, и нам остается лишь гадать о том, какую невосполнимую утрату понесла из-за этого элементарная математика.

Семь математических софизмов, о которых пойдет речь в этой главе, выбраны из разных областей математики, каждый из них по-своему интересен. Объяснять, в чем состоит ошибочность рассуждения в каждом софизме, мы не будем, чтобы не лишать читателя удовольствия самостоятельно найти ее.

Наш первый софизм чрезвычайно элементарен. Мы предпошлем ему занимательный парадокс, на примере которого великий немецкий математик Давид Гильберт любил объяснять необычные свойства наименьшего из трансфинитных чисел «алеф-нуль». Как-то раз хозяину одной великолепной гостиницы с бесконечным, но счетным числом номеров, ни один из которых не был свободен, нужно было принять нового гостя. Хозяин вышел из положения очень просто: каждого из своих постояльцев он переселил в комнату, номер которой был на единицу больше номера прежней комнаты, в результате чего обитатель n-й комнаты переехал в (n + 1) — ю и освободил для нового гостя самую первую комнату. Как может поступить хозяин, если прибудет бесконечное множество новых гостей?

Ничуть не смущаясь, хозяин переселяет всех своих прежних постояльцев в комнаты с вдвое большими номерами (гость из комнаты 1 переезжает в комнату 2, гость из комнаты 2 — в комнату 4, гость из комнаты 3 —в комнату 6, гость из комнаты 4 — в комнату 8 и т. д.) и размещает вновь прибывших в освободившихся комнатах с нечетными номерами.

Но так ли необходимо хозяину иметь счетное число комнат для того, чтобы разместить новых гостей? В приведенных ниже стишках, взятых из одного английского журнала, выходившего в прошлом веке, рассказывается о хитром хозяине гостиницы, сумевшем разместить в девяти номерах десять гостей так, что каждому из них досталось по отдельной комнате.