Математические головоломки и развлечения

Именно на этом этапе исследования мать Брукса и сделала открытие, которое послужило ключом к решению всей задачи. Она долго билась над разгадкой придуманной Бруксом головоломки, и в конце концов ей удалось сложить квадраты так, что они образовали прямоугольник. Но это был совсем не тот квадрируемый прямоугольник, который разрезал Брукс! Брукс поспешил вернуться в Кембридж, чтобы сообщить о существовании двух различных совершенных прямоугольников с одинаковыми приведенными сторонами и одинаковыми приведенными элементами. Перед нами снова была необъяснимая рекуррентная последовательность, да еще какая! «Выдающиеся математики» из Тринити-колледжа собрались на внеочередное заседание.

Нам и раньше приходил в голову вопрос, могут ли различные совершенные прямоугольники иметь одинаковую форму, и хотелось получить два таких прямоугольника, не имеющих общих приведенных элементов, чтобы таким образом построить совершенный квадрат. Идея построения ясна из рис. 165: две заштрихованные области означают два совершенных прямоугольника; добавив к ним два не равных между собой квадрата, мы могли бы получить большой совершенный квадрат. Но прямоугольники одинаковой формы до того времени не появились в нашем каталоге, и ничего не оставалось, как высказать сомнение в возможности их существования.

Рис. 165

Открытие миссис Брукс, несмотря на то что ее прямоугольники имели одинаковые приведенные элементы и были, таким образом, весьма далеки от идеала (прямоугольников одинаковой формы, не имеющих общих приведенных элементов), вновь возродило надежду.

На чрезвычайном заседании было много горячих споров. Однако лишь после того, как «выдающиеся математики» из Тринитиколледжа остыли настолько, что смогли начертить диаграммы Смита для исходного и найденного миссис Брукс прямоугольников, им стала ясна связь между тем и другим прямоугольником.

Второй прямоугольник показан на рис. 166, а его диаграмма Смита — на рис. 167.

Рис. 166

Ясно, что если в цепи, изображенной на рис. 163, отождествить узлы Р и Р', то она перейдет в цепь, которая изображена на рис. 167.

Рис. 167

Поскольку электрический потенциал в точках Р и Р' на рис. 163 одинаков, отождествление точек Р и Р' не вызовет никаких изменений ни в токах, текущих по отдельным ветвям цепи, ни в полном токе, ни в разности потенциалов между полюсами. Так было получено простое электрическое объяснение того факта, что два прямоугольника имеют одинаковые приведенные стороны и одинаковые приведенные элементы.

Почему потенциалы в точках Р и Р' на рис. 163 одинаковы? Ответ на этот вопрос также был найден до закрытия чрезвычайного заседания. Для объяснения равенства потенциалов в точках Р и Р' достаточно заметить, что всю цепь можно разбить на три части, которые пересекаются только в полюсах А₁ и А₂и узле А₃. Одна из этих частей состоит из одного проводника, соединяющего А₂ и А₃. Вторую часть образуют три проводника, сходящиеся в точке Р', а третья состоит из остальных девяти проводников. Третья часть обладает вращательной симметрией: точка Р служит центром симметрии третьего порядка. Кроме того, токи могут входить в эту часть цепи и выходить из нее только через точки А₁, А₂ и А₃, эквивалентные относительно поворотов на 120°. Этого свойства третьей части цепи достаточно, чтобы утверждать, что потенциал в точке Р равен среднему арифметическому потенциалов, приложенных в точках A₁, А₂ и А₃, независимо от конкретных значений этих потенциалов. Проводя аналогичные рассуждения для точки Р', мы заключаем, что потенциал в точке Р' также должен быть равен среднему арифметическому потенциалов, приложенных в точках A₁, А₂ и А₃. Следовательно, потенциалы в Р и Р' равны независимо от того, какие потенциалы приложены в точках А₁, А₂ и А₃.

В частности, они равны и тогда, когда полюсы цепи выбраны в точках А₁ и А₂, а величина потенциала в точке А₃ определяется правилами Кирхгофа.

Следующий шаг был случайно сделан автором этой книги. Как мы только что видели, открытие миссис Брукс полностью объясняется простым свойством симметричных цепей. У меня возникла мысль, что свойствами симметрии можно воспользоваться для построения других примеров пар совершенных прямоугольников с одинаковым набором приведенных элементов. Я не мог объяснить, каким образом это может помочь нам в достижении главной цели или в доказательстве невозможности построения совершенного квадрата, но считал, что от новых идей не следует отказываться, прежде чем мы не выясним связанные с ними возможности.

Первое, что приходит в голову, — это заменить третью составную часть цепи на рис. 163 другой цепью, также обладающей вращательной симметрией третьего порядка относительно центрального узла. Произвести замену можно лишь при соблюдении весьма жестких условий, на объяснении которых необходимо остановиться подробнее.

Можно показать, что диаграмма Смита для квадрируемого прямоугольника всегда будет плоской. Это означает, что ее всегда можно начертить на плоскости так, что никакие два проводника не будут пересекаться нигде, кроме узлов. Кроме того, мы всегда можем добиться, чтобы на чертеже между полюсами не было ни одного замкнутого контура. Справедлива также и обратная теорема.

Она утверждает, что любую электрическую цепь, на схеме которой нет ни пересечений отдельных ветвей, ни замкнутых контуров, разделяющих полюса цепи, можно рассматривать как диаграмму Смита некоторого квадрируемого прямоугольника. Я не буду останавливаться на строгом доказательстве этих теорем. Это заняло бы слишком много места, и, кроме того, у читателя создалось бы неверное представление о том, как был найден совершенный квадрат.

В действительности же мы преспокойно обходились без строгих доказательств и занялись ими, лишь когда настало время подготовки публикации.

Вряд ли можно приветствовать пренебрежение строгостью в математическом исследовании. Например, отказ от строгости в работе, целью которой является доказательство теоремы о четырех красках, привел бы (и уже неоднократно приводил) к самым печальным последствиям. Однако наше исследование в основном было экспериментальным, и его экспериментальными результатами были найденные нами совершенные прямоугольники. Временным обоснованием наших методов до того, как была разработана их точная теория, служили полученные с их помощью прямоугольники.

Однако вернемся к рисунку 163 и замене третьей компоненты цепи новой симметричной цепью с центром в точке Р. Полученная в результате такой замены цепь не только должна быть плоской, но и должна оставаться плоской при совмещении точек Р и Р'.

После нескольких неудачных попыток я нашел две тесно связанные между собой цепи, удовлетворяющие этим условиям. Соответствующие диаграммы Смита показаны на рис. 168 и 169.

< image l:href="#"/>

Рис. 168

Рис. 169

Как и ожидалось, каждая диаграмма допускала отождествление точек РиР'и таким образом приводила к двум квадрируемым прямоугольникам с одинаковыми приведенными элементами. Неожиданным оказалось то, что у всех четырех прямоугольников одинаковые приведенные стороны.

По существу новое открытие означало, что прямоугольники, соответствующие диаграммам на рис. 168 и 169, имеют одинаковую форму, но их приведенные элементы совпадают не полностью.