Математика для любознательных

2) Десять рублей. 3х + у = 60.

Так как у должно быть кратно 3 (иначе сумма его с 3x не делилась бы без остатка на 3), то примем y = 0, 3, 6… Для случая у = 0 имеем х = 20 и z = 0. Это дает нам уже упомянутое решение: 20 пятаков. Но оно и единственное, потому что для у = 3 имеем х = 19, и х + у превышает высшую сумму 20.

3) Четыре рубля. 3х + у = 20.

Принимая

х = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8…,

получаем, что

y = 20-3x = 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4…

Имеют смысл, очевидно, только первые семь значений. Им соответствуют

z = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12.

Четыре рубля можно, как видим, уплатить 7-ю различными способами, например: 6 полтинниками, 2 двугривенными и 12 пятаками.

4) Семь рублей. 3х + у = 40.

Здесь не приходится рассматривать значения для х от 0 до 9, так как при этом для у получаются числа от 40 до 13, и х + у составляет по меньшей мере 22, что нарушает требование. Остается рассмотреть поэтому лишь случаи:

x = 10, 11, 12, 13,

причем

у = 40-3х = 10, 7, 4, 1,

z = 0, 2, 4, 6.

Остальные случаи исключаются, так как ближайшее у уже отрицательное.

Этим вопрос исчерпывается полностью. Кто хотя немного имел дело с уравнениями, тот заметил, вероятно, что здесь не приходится оперировать так механически, как обычно. Это от того, что мы имеем в нашем случае больше неизвестных, нежели уравнений, а именно - 3 неизвестных при 2 уравнениях. Неизвестное z мы устранили и получили одно уравнение с двумя неизвестными х и у. Поэтому задача становится неопределенной; можно лишь установить взаимную обусловленность чисел х и у, так что для любого х можно найти соответствующее значение у. В сущности, имеется бесконечное множество пар решений задач такого рода. Но число их ограничивается требованием, вытекающим из сущности задачи, а именно: либо чтобы искомые числа были целые (как в нашей задаче, где речь идет о монетах), либо чтобы они не были отрицательные (наш случай), либо чтобы их сумма не превышала определенного числа (у нас - 20-ти), и т. п.

Итак, возвращаясь к первоначальной задаче, скажем: счетчик мог безопасно посулить сколь угодно большую награду - задача неразрешима. Для вас тем самым открывается легкая возможность предлагать своим друзьям крепкие головоломки. Можете обещать им величайшую награду - не попадетесь: как истые математики, вы можете быть твердо уверены в себе. А кто пожелал бы узнать подробнее об уравнениях в роде рассмотренных выше, - пусть спросит своего учителя математики о Диофанте Александрийском.

Примечание редактора

ДИОФАНТ АЛЕКСАНДРИЙСКИЙ

Упомянутый в конце очерка александрийский математик Диофант жил в III веке нашей эры. Им написана была «Арифметика», от которой до нас дошла только первая половина сочинения. В этом труде рассматриваются, между прочим, неопределенные уравнения, которые Диофантом и были впервые введены в математику; поэтому имя его осталось навсегда связанным с этими уравнениями.

О жизни Диофанта известно лишь то, что сообщается в надписи, сохранившейся на его могильном памятнике, - надписи, которая составлена в форме следующей задачи:

Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать Могут, о чудо, сколь долог был век его жизни. Часть шестую его составляло прекрасное детство; Двенадцатая часть протекла еще жизни, - покрылся Пухом тогда подбородок; седьмую в бездетном Браке провел Диофант. Еще пять прошло лет - Был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца-сына, Коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой Дал на земле по сравненью с отцом. В печали глубокой Старец земного удела конец восприял, переживши Года четыре с тех пор, как сына лишился. Скажи, Скольких лет жизни достигнув, смерть восприял Диофант?

Составив уравнение:

узнаем из его решения (x = 84), что Диофант умер 84 лет, женился 21 года, стал отцом на 38 году и потерял сына на 80-м году.

Числовые анекдоты

Барри Пэна [37]

1

–  Еще веревочку?
– спросила мать, вытаскивая руки из лоханки с бельем.
– Можно подумать, что я вся веревочная. Только и слышишь: веревочку да веревочку. Ведь я вчера дала тебе порядочный клубок. На что тебе такая уйма? Куда ты ее девал?

37

Современный английский беллетрист. Английские меры подлинника заменены метрическими, вследствие чего пришлось несколько видоизменить и самые задачи.
– Ред.

–  Куда девал бечевку?
– отвечал мальчуган.
– Во-первых, половину ты сама же взяла обратно…

–  А чем же прикажешь мне обвязывать пакеты с бельем?

–  Половину того, что осталось, взял у меня Том, чтобы удить в канаве колюшек, хотя там и нет никаких колюшек.

–  Старшему брату ты всегда должен уступать.

–  Я и уступил. Осталось совсем немного, да из того еще папа взял половину для починки подтяжек, которые лопнули у него от смеха, когда случилась беда с автомобилем. А после понадобилось еще сестре взять две пятых оставшегося, чтобы завязать свои волосы узлом…

–  Что же ты сделал с остальной бечевкой?

–  С остальной? Остальной-то было всего-навсего 30 сантиметров. Вот и устраивай телефон из такого обрывка!

Какую же длину имела бечевка первоначально?

2

Снимая наколенники, спортсмен спросил веселого малого, считавшего очки:

–  Сколько у меня, Билл?

–  А вот сколько: часы только что пробили по одному разу на каждую пару ваших очков, - затараторил веселый малый.
– А если бы у вас было вдвое более того, что у вас есть, то имелось бы у вас втрое против того, что пробьют часы при следующем бое.

Спрашивается: который был час в начале этого разговора?

3

В воскресенье был устроен в школе детский праздник под открытым небом. Пора было звать ребят к чаю. У палатки, где предполагалось устроить чаепитие, стоял пирожник и заведующий школой. Пирожник был полный мужчина, потому что, по роду своей профессии, питался главным образом остатками пирожных. Заведующий был высок и тонок.

–  Да, - сказал пирожник, - будь у нас еще пяток стульев, я мог бы накормить всю компанию в три очереди, по равному числу ребят в каждой. Надо будет поискать, нельзя ли промыслить здесь пять стульев или табуретов.

–  Не беспокойтесь, - ответил заведующий, - я распределю их на четыре очереди, в каждой поровну.

–  О, тогда на каждую партию придется еще по три лишних стула.

Сколько было детей и сколько стульев?

4

–  Зайдите ко мне завтра днем на чашку чая, - сказал старый доктор своему молодому знакомому.

–  Благодарю вас. Я выйду в три часа. Может, и вы надумаете прогуляться, так выходите в то же время. Встретимся на полпути.

–  Вы забываете, что я старик, шагаю в час всего только 3 километра, а вы, молодой человек, проходите, при самом медленном шаге, 4 километра в час. Не грешно бы дать мне немного вперед.