Математика для любознательных

(Решение см. на стр. 231 .)

Задача № 29

Чему равно число «123», если считать его написанным во всех системах счисления до девятиричной включительно? Возможно ли, что оно написано по двоичной системе? А по троичной? Если оно написано по пятиричной системе, то можете ли вы узнать, не переписывая его по десятичной системе, делится ли оно без остатка на два? Если оно написано по семиричной системе, то делится ли оно без остатка на шесть? Если оно написано по девятиричной системе, то делится ли оно без остатка на четыре?

(Решение см. на стр. 256 .)

Глава V Галерея числовых диковинок

Арифметическая кунсткамера

В мире чисел, как и в мире живых существ, встречаются подлинные диковинки, редкие экземпляры, обладающие исключительными свойствами. Из таких необыкновенных чисел можно было бы составить своего рода музей числовых редкостей, настоящую «арифметическую кунсткамеру». В ее витринах нашли бы себе место не только числовые исполины, о которых мы побеседуем еще в особой главе, но и числа сравнительно небольшие, зато выделяющиеся из ряда других какими-либо необычайными свойствами. Некоторые из них уже по внешности привлекают к себе внимание; другие открывают свои диковинные особенности лишь при более близком знакомстве.

Приглашаю читателя пройтись со мною по галерее таких числовых диковинок и познакомиться с некоторыми из них.

Пройдем, не останавливаясь, мимо первых витрин, заключающих числа, свойства которых нам уже знакомы. Мы знаем уже, почему попало в галерею диковинок число 2: не потому, что оно первое четное число, а потому, что оно - основание самой удобной системы счисления (см. стр. 191 ).

Не удивимся мы, встретив тут 5 - одно из наших любимейших чисел, играющее важную роль при всяких «округлениях», в том числе и при округлении цен, которое обходится нам так дорого (см. стр. 154 ). Не будет неожиданностью для нас найти здесь и число 9, - конечно, не как «символ постоянства» [64] , а как число, облегчающее нам поверку всех арифметических действий (см. стр. 174 ). Но вот витрина, за стеклом которой мы видим -

64

Древние (последователи Пифагора) считали 9 символом постоянства, так как все числа, кратные 9, имеют сумму цифр, кратную 9-ти.

Число 12

Чем оно замечательно? Конечно, это число месяцев в году и число единиц в дюжине. Но что, в сущности, особенного в дюжине? Немногим известно, что 12 - старинный и едва не победивший соперник числа 10 в борьбе за почетный пост основания системы счисления. Культурнейший народ древнего Востока - вавилоняне и их предшественники, еще более древние жители Двуречья - вели счет в 12-ричной системе счисления. И если бы не пересилившее влияние Индии, подарившей нам 10-тичную систему, мы, весьма вероятно, унаследовали бы от Вавилона 12-ричную систему. Кое в чем мы и до сих пор платим дань этой системе, несмотря на победу 10-тичной. Наше пристрастие к дюжинам и гроссам, наше деление суток на две дюжины часов, деление часа - на 5 дюжин минут, деление минуты - на столько же секунд, деление круга на 30 дюжин градусов, наконец, деление фута на 12 дюймов - разве не свидетельствует все это о том, как велико еще влияние этой древней системы?

Хорошо ли, что в борьбе между дюжиной и десяткой победила последняя? Конечно, сильными союзницами десятки были и остаются наши собственные руки с десятью пальцами, - живые счетные машины. Но если бы не это, то следовало бы безусловно отдать предпочтение 12-ти перед 10. Гораздо удобнее производить расчеты по 12-ричной системе, нежели по 10-тичной. Причина та, что число 10 делится без остатка только на 2 и на 5, между тем как 12 делится и на 2, и на 3, и на 4, и на 6. У 10 всего два делителя, у 12 - четыре. Преимущества 12-ричной системы станут вам яснее, если вы примете в соображение, что в 12-ричной системе число, оканчивающееся нулем, кратно и 2, и 3, и 4, и 6; подумайте, как удобно дробить число, когда и ¹/₂, и ¹/₃, и 1 ¹/₄ и ¹/₆ его должны быть целыми числами! А если выраженное в 12-ричной системе число оканчивается двумя нулями, то оно должно делиться без остатка на 144, а следовательно, и на все множители 144-х, т. е. на следующий длинный ряд чисел:

2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144.

Четырнадцать делителей - вместо тех восьми, которые имеют числа, написанные в 10-тичной системе, если оканчиваются двумя нулями (2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 и 100). В нашей системе только дроби вида ¹/₂, ¹/₄, ¹/₅, ¹/₂₀ и т. д. превращаются в конечные десятичные; в 12-ричной же системе можно написать без знаменателя гораздо более разнообразные дроби, и прежде всего дроби:

¹/₂, ¹/₃, ¹/₄, ¹/₆, ¹/₈, ¹/₉, ¹/₁₂, ¹/₁₆, ¹/₁₈, ¹/₂₄, ¹/₃₆, ¹/₄₈, ¹/₇₂, ¹/₁₄₄,

которые соответственно изобразятся так:

0,6; 0,4; 0,3; 0,2; 0,16; 0,14; 0,1; 0,09; 0,08; 0,06; 0,04; 0,03; 0,02; 0,01.

Было бы, однако, большим заблуждением думать, что делимость числа может зависеть от того, в какой системе счисления оно изображено. Если орехи, заключающиеся в данном мешке, могут быть разложены в 5 одинаковых кучек, то это свойство их, конечно, не изменится оттого, будет, ли наше число орехов выражено в той или иной системе счисления, или отложено на счетах, или написано прописью, или, наконец, изображено каким-либо иным способом. Если число, написанное в 12-ричной системе, делится на 6 или на 72, то, будучи выражено в другой системе счисления, например в 10-тичной, оно должно иметь тех же делителей. Разница лишь в том, что в 12-ричной системе делимость на 6 или на 72 легче обнаружить (число оканчивается одним или двумя нулями). Когда говорят о преимуществах 12-тиричной системы в смысле делимости на большое число делителей, то имеют в виду, что благодаря склонности нашей «к круглым» числам на практике будут чаще встречаться числа, оканчивающиеся, в 12-ричной системе, нулями.

При таких преимуществах 12-ричной системы неудивительно, что среди математиков раздавались голоса за полный переход на эту систему. Однако мы уже чересчур тесно сжились с 10-тичной системой, чтобы решаться на такую реформу.

Вы видите, следовательно, что дюжина имеет за собою длинную историю и что число 12 не без основания очутилось в галлерее числовых диковинок. Зато его соседка - «чертова дюжина», 13, фигурирует здесь не потому, что чем-либо замечательна, а скорее именно потому, что ничем не замечательна, хотя и пользуется такой мрачной славой: разве не удивительно в самом деле, что ровно ничем не выделяющееся число могло стать столь «страшным» для суеверных людей? [65]

65

Как распространено это суеверие даже и в нашу эпоху, видно из того, что при устройстве электрического трамвая в Ленинграде (тогда Петербурге) первое время не решались вводить маршрута № 13, а пропустив его, сразу перешли к № 14: опасались, что публика побоится ездить в вагонах с таким «роковым» номером. Любопытно то, что в Ленинграде есть немало домов, где 13-й номер квартиры пропущен… В гостиницах также нередко отсутствует комната № 13. Для борьбы с этим ничем не обоснованным числовым суеверием на Западе (в Англии) учреждены даже особые «клубы числа 13».

В следующей витрине арифметической кунсткамеры перед нами

Число 365

Оно замечательно прежде всего тем, что определяет число дней в году. Далее, при делении на 7 оно дает в остатке 1: эта несущественная, казалось бы, особенность числа 365 имеет большое значение для календаря. От нее зависит то, что каждый простой (не високосный) год кончается тем днем недели, каким он начался; если, например, день нового года был понедельник, то и последний день года будет понедельник, а следующий год начнется со вторника. По той же причине - благодаря остатку 1 от деления 365 на 7 - было бы нетрудно так изменить наш календарь, чтобы определенная календарная дата всегда приходилась на один и тот же день недели, - например, чтобы 1-го мая каждый год было воскресенье. Для этого достаточно было бы лишь первый день года вовсе не вводить в счет числа дней, называя его не «1 января», а просто «день нового года»; 1-м января будет следующий день. Тогда остальное число дней года, 364, будет заключать целое число недель; следовательно, весь ряд дальнейших лет будет начинаться тем же днем недели, и все даты из года в год будут повторяться в одни и те же дни. В годы високосные, заключающие 366 дней, надо будет уже первые два дня года оставить вне счета, «новогодние».

Любопытна и другая особенность числа 365, не связанная с календарем:

365 = 10 x 10 + 11 x 11 + 12 x 12,

то есть 365 равно сумме квадратов трех последовательных чисел, начиная с 10-ти:

10² + 11² + 12² = 100 + 121 + 144 = 365.

Но и это еще не все: тому же равна сумма квадратов двух следующих чисел - 13 и 14:

13² + 14² = 169 + 196 = 365.

Таких чисел не много наберется в нашей галлерее арифметических диковинок.