Математика для любознательных

Такие феномены, как Арраго или - на Западе - Иноди, Диаманди, Рюкле, встречаются единицами. Но наряду с ними подвизаются и эстрадные математики иного рода, основывающие свое искусство на тех или иных арифметических трюках. Вам, быть может, приходилось слышать или даже присутствовать самим на сеансах «гениальных математиков», вычислявших в уме с поразительной быстротой, сколько вам недель, дней, минут, секунд, в какой день недели вы родились, какой день будет такого-то числа такого-то года, и т. п. Чтобы выполнить большую часть этих вычислений, вовсе не нужно, однако, обладать необычайными математическими способностями. То же самое может после недолгого упражнения проделать и каждый из нас. Нужно только знать кое-какие секреты этих фокусов, - разоблачением которых мы сейчас и займемся.

«Сколько мне недель?»

Чтобы научиться по числу лет быстро определять число заключающихся в них недель, нужно только уметь ускоренно множить на 52, т. е. на число недель в году.

Задача № 53

Пусть дано перемножить 36 x 52. «Счетчик» сразу же, без заминки, говорит вам результат: 1872. Как он его получил?

Решение

Довольно просто: 52 состоит из 50 и 2; 36 умножается на 5 через деление пополам; получается 18 - это две первые цифры результата; далее умножение 36 на 2 делается как обыкновенно; получают 72, которые и приписываются к прежним 18-ти: 1872.

Легко видеть, почему это так. Умножить на 52 - значит умножить на 50 и на 2; но вместо того, чтобы умножить на 50, можно половину умножить на 100 - отсюда понятно деление пополам; умножение же на 100достигается припиской 72-х (36 x 2), отчего каждая цифра увеличивается в 100раз (передвигается на два разряда влево).

Теперь понятно, почему «гениальный» счетчик так быстро отвечает на вопрос «мне столько-то лет; сколько мне недель?». Умножив число лет на 52, ему остается только прибавить еще к произведению седьмую часть числа лет, потому что в году 365 дней, т. е. 52 недели и 1 день: каждые 7 лет из этих избыточных дней накопляется лишняя неделя [73] .

73

Нетрудно ввести поправку и на високосные годы.

«Сколько мне дней?»

Если спрашивают не о числе недель, а о числе дней, то прибегают к такому приему: половину числа лет множат на 73 и приписывают нуль - результат и будет искомым числом. Эта формула станет понятна, если заметить, что 730 = 365 x 2. Если мне 24 года, то число дней получим, умножив 12 x 73 = 876 и приписав нуль - 8760. Самое умножение на 73 также производится сокращенным образом, о чем речь впереди ( стр. 261 ).

Поправка в несколько дней, происходящая от високосных лет, обыкновенно в расчет не принимается, хотя ее легко ввести, прибавив к результату четверть числа лет, - в нашем примере 24:4 = 6; общий результат, следовательно, 8766 [74] .

Прием для вычисления числа минут читатель, после сказанного в следующей статье, не затруднится найти самостоятельно.

«Сколько мне секунд?»

Задача № 54

74

Указанными далее приемами ускоренного умножения эти операции облегчаются до чрезвычайности, и миллионный результат получается очень быстро. Советую читателю попробовать произвести то же вычисление и обыкновенным путем, чтобы на деле убедиться, какая экономия во времени получается при пользовании указанной формулой и нижеприведенными приемами.

На этот вопрос также можно довольно быстро ответить, пользуясь следующим приемом: половину числа лет умножают на 63; затем ту же половину множат на 72, результат ставят рядом с первым и приписывают три нуля. Если, например, число лет 24, то для определения числа секунд поступают так:

63 x 12 = 756; 72 x 12 = 864; результат 756.864.000.

Как и в предыдущем примере, здесь не приняты в расчет високосные годы - ошибка, которой никто не поставит вычислителю в упрек, когда приходится иметь дело с сотнями миллионов.

На чем же основан указанный здесь прием?

Решение

Правильность нашей формулы выясняется очень просто. Чтобы определить число секунд, заключающихся в данном числе лет, нужно лета (в нашем примере 24) умножить на число секунд в году, т. е. на 365 x 24 x 60 x 60 = 31536000. Мы делаем то же самое, но только большой множитель 31536 разбиваем на две части (приписка нулей сама собой понятна). Вместо того, чтобы умножать 24 x 31536, умножают 24 на 31500 и на 36, но и эти действия мы для удобства вычислений заменяем другими, как видно из следующей схемы:

Остается лишь приписать три нуля - и мы имеем искомый результат: 756.864.000.

Приемы ускоренного умножения

Мы упоминали раньше, что для выполнения тех отдельных действий умножения, на которые распадается каждый из указанных выше приемов, существуют также удобные способы. Некоторые из них весьма несложны и удобоприменимы; они настолько облегчают вычисления, что мы советуем читателю вообще запомнить их, чтобы пользоваться при обычных расчетах. Таков, например, прием перекрестного умножения, весьма удобный при действии с двузначными числами. Способ этот не нов; он восходит к грекам и индусам и в старину назывался «способом молнии», или «умножением крестиком». Теперь он хорошо забыт, и о нем не мешает напомнить [75] .

75

Впрочем, в последние годы способ этот снова стал входить в употребление, - главным образом, благодаря деятельной пропаганде замечательного германского счетчика, инженера Ф. Ферроля. В Америке выдающиеся педагоги высказывались за введение его в школе взамен нынешнего, довольно медленного способа.

Пусть дано перемножить 24 x 32. Мысленно располагаем числа по следующей схеме, одно под другим:

Теперь последовательно производим следующие действия:

1) 4 x 2 = 8- это последняя цифра результата.

2) 2 x 2 = 4; 4 x 3 = 12; 4 + 12 = 16; 6- предпоследняя цифра результата; 1 запоминаем.

3) 2 x 3 = 6, да еще удержанная в уме 1-ца, имеем 7 - это первая цифра результата.

Получаем все цифры произведения: 7, 6, 8 - 768. После непродолжительного упражнения прием этот усваивается очень легко.

Другой способ, состоящий в употреблении так называемых «дополнений», удобно применяется в тех случаях, когда перемножаемые числа близки к 100.

Предположим, что требуется перемножить 92 x 96. «Дополнение» для 92 до 100 будет 8; для 96-ти - 4. Действие производят по следующей схеме:

множители: 92 и 96

дополнения: 8 и 4.

Первые две цифры результата получаются простым вычитанием из множителя «дополнения» множимого или наоборот; т. е. из 92-х вычитают 4, или из 96-ти - 8. В том и другом случае имеем 88; к этому числу приписывают произведение «дополнений»: 8 x 4 = 32. Получаем результат 8832.

Что полученный результат должен быть верен, наглядно видно из следующих преобразований:

Какой день недели?

Умение быстро определять день недели, на какой приходится та или иная дата (например, 17 января 1893 г., 4 сентября 1943 г. и т. п.), основано на знании особенностей нашего календаря, которые мы сейчас и изложим.

1-е января 1-го года нашей эры приходилось (это установлено расчетом) на субботу. Так как в каждом простом году 365 дней, или 52 полных недели и 1 день, то год должен кончаться тем же днем недели, каким начался; поэтому последующий год начинается одним днем недели позже, чем предыдущий. Если 1 января 1-го года была суббота, то 1января 2-го года было днем позже, т. е. воскресенье, 3-го года - на 2 дня позже; а 1 января, например, 1923-го года было бы на 1922 дня (1923-1) после субботы, - если бы не было ни одного високосного года. Число високосных лет мы найдем, разделив 1923 на 4 = 480; но отсюда, для нового стиля [76] , надо исключить календарную разницу в 13 дней: 480-13 = 467. К полученному числу надо прибавить число дней, протекших после 1 января 1923-го года до определяемой даты - скажем для примера, до 14 декабря: это составит 347 дней.

76

Старый стиль - летоисчисление по юлианскому календарю, новый стиль - по григорианскому календарю.
– Прим. изд.