Математика. Поиск истины.

Поиск априорного (предшествующего нашему знанию) пространства привел Римана к исследованию локального поведения пространства, ибо свойства последнего могут изменяться от точки к точке. Такой подход получил название дифференциальной геометриив отличие от геометрии пространства в целом, которой занимался Евклид, а в неевклидовой геометрии — Гаусс, Бойаи и Лобачевский.

Следуя локальному подходу к геометрии, Риман столкнулся с необходимостью определить расстояния между двумя типичными, или характерными, точками, координаты которых отличаются на бесконечно малые величины. Расстояние между такими бесконечно близкими точками Риман обозначил ds. Он предположил, что квадрат этого расстояния в трехмерном пространстве (в действительности Риман рассматривал общий случай n-мерного пространства) можно представить в виде

ds ²= g ₁₁ dx ₁ ²+ g ₁₂ dx ₁ dx ₂+ g ₁₃ dx ₁ dx ₃ + g ₂₁ dx ₁ dx ₂+ g ₂₂ dx ₂ ²+ g ₂₃ dx ₂ dx ₃+ g ₃₁ dx ₁ dx ₃+ g ₃₂ dx ₂ dx ₃+ g ₃₃ dx ₃ ²,

где g _ij—функции координат x ₁, x ₂и x ₃; g _ij= g _jiи правая часть положительна при всех значениях g _ij. Выражение для dsпредставляет собой обобщение формулы Евклида

ds ²= dx ₁ ²+ dx ₂ ²+ dx ₃ ²,

которую в свою очередь можно рассматривать как один из вариантов теоремы Пифагора. Допуская зависимость коэффициентов g _ijот координат, Риман тем самым учитывал, что природа пространства может изменяться от точки к точке. Из формулы для ds ²стандартными методами математического анализа можно извлечь множество фактов о длинах, площадях, объемах и других характеристиках геометрических фигур и тел.

В той же лекции Риман сделал немало важных замечаний. В частности, он сказал: «Остается еще выяснить, обеспечиваются ли опытной проверкой эти простые соотношения [которыми определяется метрика пространства] и если обеспечиваются, то в какой степени и в каком объеме?» ([23], с. 322). Свойства физического пространства по Риману надлежало определять только опытным путем. Например, он считал, что аксиомы евклидовой геометрии лишь приближенно истинны применительно к физическому пространству. Свою лекцию Риман закончил следующими пророческими словами:

Или то реальное, что создает идею пространства, образует дискретное многообразие, или же нужно пытаться объяснить возникновение метрических отношений чем-то внешним — силами связи, действующими на это реальное… Здесь мы стоим на пороге области, принадлежащей другой науке — физике, и переступать его нам не дает повода сегодняшний день.

([23], с. 324.)

Здесь Риман высказал предположение, что природа физического пространства должна каким-то образом отражать происходящие в нем физические явления. Риман, несомненно, развил бы эту глубокую идею, если бы не его преждевременная кончина (он умер в возрасте сорока лет).

Идею Римана удалось несколько развить математику Уильяму Кингдону Клиффорду (1854-1879). По мнению Клиффорда, некоторые физические явления обусловлены изменениями кривизны пространства. Кривизна пространства меняется не только от точки к точке, но и (вследствие движения материи) со временем. Физическое пространство в какой-то мере подобно холмистой поверхности, и законы евклидовой геометрии перестают действовать в таком пространстве. Более точное исследование физических законов не позволяет игнорировать существование «неровностей» в пространстве.

Вот что писал Клиффорд в 1870 г.:

Я считаю несомненным следующее. (1). Малые части пространства по своей природе аналогичны небольшим неровностям иа поверхности, в среднем плоской. (2) Свойство быть искривленным или деформированным непрерывно переходит от одной части пространства к другой наподобие волны. (3) Эта вариация кривизны пространства отражает то, что действительно происходит при явлении, которое мы называем движением материи, эфирной или телесной. (4) В реальном физическом мире не происходит ничего, кроме этих вариаций, вероятно, удовлетворяющих закону непрерывности.

Клиффорд высказал также предположение, что гравитационные эффекты, возможно, обусловлены кривизной пространства, но низкая точность пространственных измерений в то время не позволила подтвердить его догадку. Сколь ни блестящей была гипотеза Клиффорда, ей оставалось дожидаться своего часа — появления работ Эйнштейна по общей теории относительности.

Суть соображений, высказанных Риманом и Клиффордом, станет понятней, если рассмотреть, скажем, естественную геометрию земной поверхности в горной местности. На столь сильно пересеченной местности прямых может не быть. Какая бы кривая ни была здесь кратчайшим путем между двумя точками, она почти всегда отлична от прямой. Кроме того, кратчайшие пути, или геодезические, не обязательно имеют одинаковую форму. Представим себе, что обитателям такой горной местности понадобилось изучить треугольники. Итак, даны три точки и соединяющие их дуги — геодезические. Какими свойствами обладают такие треугольники? Ясно, что их свойства зависят от формы того участка местности, который заключен внутри геодезических, служащих сторонами треугольников. Сумма внутренних углов одних треугольников гораздо больше 180°, сумма углов других — гораздо меньше 180°. Обитатели нашей горной местности, несомненно, пришли бы к неевклидовой геометрии. Такая геометрия обладала бы одной важной отличительной особенностью: она была бы неоднородна. Свойства фигур в такой геометрии изменялись бы от точки к точке, как меняется рельеф горной местности.

Содержание заметок Гаусса, ставшее известным после его смерти (1855), когда научная репутация великого математика была на недосягаемой высоте, и опубликованная в 1868 г. лекция Римана (прочитанная в 1854 г.) убедили некоторых математиков в том, что неевклидова геометрия вполне может отражать геометрию физического пространства и что нельзя более с уверенностью говорить, какая из геометрий правильная.

Постепенно неевклидова геометрия и вытекающее из нее следствие относительно физической истинности этой геометрии были признаны всеми математиками, но отнюдь не потому, что ее применимость была подтверждена какими-либо новыми данными. Настоящую причину признаний такого рода указал в своей «Научной автобиографии» один из основоположников квантовой механики Макс Планк:

Обычно новые научные истины побеждают не так, что их противников убеждают и они признают свою неправоту, а большей частью так, что противники эти постепенно вымирают, а подрастающее поколение усваивает истину сразу.

([24], с. 22.)

Мы уже говорили о том, что математики начали задумываться о геометрии физического пространства. Физики-теоретики конца XIX в. все более стали интересоваться другой проблемой. Одним из неявных допущений, глубоко укоренившихся в научном мышлении XVIII-XIX вв., была гипотеза о существовании силы тяготения, или гравитации. Согласно первому закону Ньютона, «всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять это состояние» ([19], с. 39). Следовательно, если тело отпустить, то в отсутствие тяготения оно оставалось бы висеть в воздухе. Аналогичным образом, не будь гравитации, планеты разлетелись бы по прямым в космическое пространство. Но ничего такого не происходит. Все объекты во Вселенной ведут себя так, как если быгравитация существовала.

Хотя Ньютон показал, что один и тот же количественный закон охватывает все земные и небесные проявления гравитационного взаимодействия, физическая природа гравитации оставалась непонятной. Каким образом Солнце, находясь на расстоянии около 150 млн. км от Земли, притягивает ее и каким образом Земля притягивает множество различных предметов вблизи ее поверхности? Эти вопросы не находили ответа, тем не менее загадка гравитации не вызывала особого беспокойства у физиков. Понятие гравитации само по себе оказалось полезным, и физики с готовностью приняли ее за реальную физическую силу. Если бы не другие, более насущные проблемы, возникшие в 80-х годах XIX в., то благодушная самоуспокоенность физиков по поводу гравитации вряд ли была бы серьезно поколеблена.