Методы определения производных функций и нейросети.Выполнение экзаменационных заданий.
Шрифт:
Эти пределы образуют основу для более сложных концепций в математическом анализе и применяются в различных областях науки и техники.
GPTutor
В теории пределов существует несколько замечательных пределов, которые часто используются для упрощения вычислений и анализа функций. Вот некоторые из них:
1.Предел суммы:
Limn->??k=1n1kp=?(p),
где (\zeta(p)) – функция Римана, для (p > 1).
2.Предел геометрической прогрессии:
limn->?(1+xn)n=ex,
где (e) –
3.Предел функции к самой себе:
limx->0sinxx=1.
4.Предел экспоненты в комплексной плоскости:
limx->0(1+ixn)n=eix.
Эти пределы играют ключевую роль в анализе и математических приложениях, обеспечивая базовую основу для понимания поведения функций и последовательностей.
Такое название получили следующие 5 пределов:
1) замечательный тригонометрический (первый замечательный) предел;
2) замечательный показательно-степенной (второй замечательный) предел;
3) замечательный логарифмический предел;
4) замечательный показательный предел;
5) замечательный степенной предел.
ChatGPTOnline – AIChatGPT
В теории пределов математики существует несколько замечательных пределов, которые часто используются для упрощения вычислений и анализа функций. Вот некоторые из них:
1. Предел постоянной функции:
limx->ac=c
где ( c ) – константа, а ( a ) – точка, к которой стремится переменная ( x ).
2. Предел линейной функции:
limx->a(mx+b)=ma+b
где ( m ) и ( b ) – коэффициенты линейной функции.
3. Предел степенной функции:
limx->axn=an
для любого целого ( n \geq 0 ).
4. Предел рациональной функции:
limx->aP(x)Q(x)=P(a)Q(a)
при условии, что знаменатель ( Q(a) \neq 0 ).
5. Предел экспоненциальной функции:
limx->aex=ea
6. Предел логарифмической функции:
для limx->aln(x)=ln(a),для a>0
7. Предел синуса и косинуса:
limx->0sin(x)x=1limx->0tan(x)x=1limx->01–cos(x)x2=12.
Эти замечательные пределы являются основой для более сложных вычислений и асимптотического анализа функций в математическом анализе.
В настоящем разделе в качестве замечательных пределов выбраны пять. Они были особенно популярны при решении математических задач и примеров в ходе занятий по высшей математике со студентами СПбГУКИ.
I. lim (n -> r бесконечности)(1 +1/n)^n = e, или lim (x -> r бесконечности) (1 +1/x)^x = e, или или lim (у -> 0) (1 +y)^(1/y) = e.
II. lim (x -> 0) sinx/x = 1.
III. lim (x -> 0) ln(1 +x)/x = 1.
IV. lim (x -> 0) (a^x – 1)/x = lna или, при a = e, lim (x -> 0) (e^x – 1)/x =1.
V. lim (x -> 0) ((1+x)^k – 1/x)/x = k, где k – любое вещественное число.
Кроме того, в этом разделе помещен справочный материал, без которого
даже стоять на пороге математического анализа просто не рекомендуется.Алгебра.
1. Формулы сокращенного умножения и разложения на множители:
(a + b)^2 = a^2 +2ab +b^2
(a – b)^2 = a^2 – 2ab +b^2
(a + b)^3 = a^3 +3a^2b +3ab^2 +b^3
(a – b)^3 = a^3 – 3a^2b +3ab^2 – b^3
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab +b^2)
a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 – ab +b^2)
ax^2 + bx + c =a(x – x1)(x – x2), где x1 и x2 – корни уравнения ax^2 + bx + c.
2. Степени и корни.
Для любых натуральных p и q;
(a^p)*(a^q) = a^(p+q); a^p/a^q = a^(p – q) a =/ 0;
(a^p)^q = a^(pq); a^p/b^p = (a/b)^p b =/ 0;
(a^p)*(a^p) = (ab)^p; a^0 = 1 a =/ 0;
a^(– p) = 1/a^p a =/ 0; a^(1/p) = корень степени р от a;
(a^p)^(1/q) = a^(p/q); [a^(1/q)]^(1/p) = a^(1/pq);
(ab)^1/p = (a^1/p)* (b^1/p); (a/b)^1/p = (a^1/p)/(b^1/p) b =/ 0.
3. Квадратные уравнения.
ax^2 + bx + c, a =/ 0, где x1 и x2 – корни этого уравнения, могут быть определены с помощью:
x1, 2 = (– b + – D^1/2)/2a, где D = b^2- 4ac;
если D > 0, то x1=/x2;
если D = 0, то x1=x2;
если D < 0, то корней нет.
Теорема Виета:
x1+ x2 = – b/a; x1*x2 = c/a
Приведенное квадратное уравнение:
x^2 + px + q = 0
x1+ x2 = – p; x1*x2 = q
Если p =2k (p – четное), то x1, 2 = – k +– (k*2 – q)^1/2
4. Логарифмы.
Если log a от (x) =b, то a^b = x (a>0, a =/ 1,x>0);
a^(log a от (x)) = x; log a от (a) = 1; log a от (1) = 0;
log a от (b) =1/ log b от (a);
log a от (x*y) = log a от (x) + log a от (y);
log a от (x/y) = log a от (x) – log a от (y);
log a от (x^k) = klog a от (x);
log a^k от (x) =(1/k) log a от (x)
Замена основания:
log a от (x) = log c от (x)/ log c от (a) , c > 0 и c=/1
5. Прогрессии.
Арифметическая
a(от n членов прогрессии) = a(n – 1) +d; 2a(n) = a(n – 1)+ a(n – 2); a(n) = a1 +d(n – 1);
Cумма n членов арифметической прогрессии:
S(n) = n/2*(a1 + an)
Геометрическая
b(n) (n – 1)*q, q=/1; b(n) = b1*q^(n – 1);
[b(n)]^2 = b(n – 1)* b(n + 1)
Cумма n членов геометрической прогрессии:
S(n) = b1*(1 – q^n)/(1 – q)
Cумма членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
S = b1/(1 – q)
6.Тригонометрия.
Основные тригонометрические тождества:
(sin B)^2 + (cos B)^2 = 1
tg B = sin B/ cos B; ctg B = cos B/ sin B;
sec B =1/ cos B; cosec B =1/ sin B;
tg B*ctg B = 1; 1 + (tg B)^2 = 1/(cos B)^2;