Мир математики. т.4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

есть число, которое не может быть выражено в виде дроби».

Для установления истинности таких отношений геометры древности разработали и довели до совершенства особую систему доказательств, которая стала основным методом математики. Система греческих геометров состояла в выводе важнейших результатов (теорем) из набора основополагающих аксиом с помощью «длинных цепочек рассуждений», как называл доказательства Декарт в своем трактате «Рассуждение о методе». Этот практически творческий подход является характерной чертой евклидовой геометрии.

«Начала» Евклида и пятый постулат

Как и в случае со многими другими выдающимися деятелями далекого прошлого, сведения о Евклиде крайне скудны. Ни дата, ни город его рождения точно не известны. Все имеющиеся сведения содержатся в толкованиях древних документов, упоминающих геометрию. Оттуда известно, что он жил до Архимеда, ок. 325–265 гг. до н. э., и был почти современником Птолемея (367–283 гг. до н. э.). Стиль его рассуждений указывает на то, что он учился в Афинах с другими учениками Платона. Достоверно известно, что Евклид жил в Александрии, где преподавал математику на протяжении более чем 20 лет. Именно там он основал знаменитую школу, с которой и связан расцвет его научной деятельности.

Около 300 г. до н. э. Евклид написал свой магнум опус, великий труд «Начала», содержащий практически все известные в то время математические сведения. Эта книга является, по-видимому, наиболее читаемой после Библии. В самом деле, она использовалась в качестве учебного пособия в течение почти 2000 лет и считалась нерушимой основой не только геометрии, но даже здравого смысла. Первая печатная версия «Начал» появилась в Венеции в 1482 г. Это был перевод с арабского языка на латинский. Первая версия прямого перевода с греческого на латынь была опубликована в 1303 г.

Страница из первой книги «Начал» Евклида. Издание Леонардо де Базилея и Гчльермо де Павия, 1491 г.

«Начала геометрии» (или «Начала») состоят из 13 книг, содержащих 463 утверждений, 372 теоремы и 93 задачи. Они не содержат обычного набора рутинных расчетов, которыми нагружают учеников в школе, а представляют собой логичный и структурированный свод современных знаний в стиле Платона. В соответствии со своими научными идеалами Платон говорил, что геометрия — это наука, которой занимаются ради познания. В седьмой книге диалога «Государство» он так объясняет свои представления об этой науке:

«Как если бы они были заняты практическим делом, геометры употребляют выражения «построим» четырехугольник, «проведем» линию, «произведем наложение» и так далее. А между тем, все это наука, которой занимаются ради познания».

В «Началах» все предложения доказываются шаг за шагом. Первые четыре книги называют пифагорейскими, так как они содержат главным образом материал, который изучали Пифагор и его последователи. Эти книги посвящены геометрии на плоскости: теореме Пифагора, свойствам треугольников, параллелограммов, кругов, многоугольников и так далее.

Следующие две книги излагают понятия пропорциональности и подобия многоугольников и содержат первое упоминание о золотой пропорции (в терминах «крайнего и среднего отношения»).

Книги с седьмой по девятую посвящены арифметике и рассматривают задачи, связанные с теорией чисел: делимость, простые числа, совершенные числа и так далее. Здесь определяется евклидово понятие числа. Евклид рассматривал все числа как геометрические отрезки, что соответствует современному понятию измеряемых величин.

Десятая книга дает классификацию чисел, называемых иррациональными, то есть таких чисел, которые не могут быть выражены в виде дроби. Последние три книги посвящены стереометрии (многогранникам, сферам и так далее). Здесь также рассматриваются пять правильных многогранников, так называемых «Платоновых тел», все грани которых равны и при этом являются правильными многоугольниками.

Евклид начинает изложение с простых, очевидных утверждений, которые могут быть легко и интуитивно поняты и не подлежат сомнению. Он называет их определениями, постулатами и аксиомами, и из них он выводит свои предложения, которые доказываются с помощью цепочек рассуждений. Основы учения Евклида сформулированы в первой книге «Начал», которая содержит 23 определения, 5 постулатов и 48 предложений.

* * *

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Существует только пять правильных выпуклых многогранников. Возможно, именно поэтому греки уделяли им особое значение, соотнося их с четырьмя стихиями: тетраэдр (огонь), куб (земля), октаэдр (воздух), икосаэдр (вода); а додекаэдр олицетворял Вселенную. Правильные многогранники также известны как пять «Платоновых тел».

ТЕРМИНОЛОГИЯ ЕВКЛИДА

Предложение — истинное утверждение, которое уже доказано или должно быть доказано.

Теорема — предложение, которое может быть логически выведено из аксиом или из других ранее доказанных теорем с помощью принятых правил доказательства.

Постулат— предложение, истинность которого принимается без доказательства и лежит в основе дальнейших рассуждений; другими словами, допущение, лежащее в основе доказательства.

Аксиома — предложение, настолько ясное и очевидное, что оно не требует доказательств. Аксиомы более очевидны, чем постулаты.

* * *

Первоначальные определения из первой книги даются для точки, прямой линии, прямого угла и параллельных линий и лежат в основе евклидовой геометрии и других геометрий.

Определение 1. Точка есть то, что не имеет частей.

Определение 2. Линия — это длина без ширины.

[…]

Определение 4. Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней.

[…]

Определение 10. Когда же прямая, восставленная на другой прямой, образует смежные углы, равные между собой, то каждый из углов есть прямой, а восставленная прямая называется перпендикуляром к той, на которой она восставлена.

[…]

Определение 23. Параллельные — суть прямые, которые, находясь в одной плоскости и будучи продолжены в обе стороны неограниченно, ни с той, ни с другой стороны между собой не встречаются.

Затем формулируются следующие аксиомы.

1. Равные одному и тому же равны и между собой.

2. Если к равным прибавляются равные, то и целые будут равны.

3. Если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.

4. Совмещающиеся друг с другом равны между собой.

3. Целое больше части.

В отношении фигур Евклид не говорит об их равенстве, а старается использовать слово «конгруэнтность». В общем случае под конгруэнтностью геометрических фигур понимается тот факт, что при наложении друг на друга они совпадают.

Далее Евклид формулирует пять знаменитых постулатов.

I. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.

II. Любой отрезок можно непрерывно продолжать по прямой линии.

III. Имея любой отрезок, можно описать круг с радиусом, равным длине этого отрезка, и с центром в одном из концов этого отрезка.