Моделирование рассуждений. Опыт анализа мыслительных актов

Глава третья. АВТОМАТИЗАЦИЯ ДОСТОВЕРНЫХ РАССУЖДЕНИЙ

Где меч силлогизма горел и сверкал,Проверенный чистым рассудком,И что же? Сражение он проигралВо славу иным прибауткам!Н. Заболоцкий. Битва слонов

Исчисление высказываний

Под высказыванием будем понимать утверждение, относительно которого в любой момент можно сказать, является оно истинным или ложным, или по крайней мере предполагать, что ему может быть приписана такая интерпретация. Например, фразы «Пик Коммунизма есть высочайшая вершина СССР», «Все жители земли имеют рост более двух метров», «В Африке находятся более десяти еще неизвестных захоронений фараонов Египта» являются высказываниями. Первое из них истинно, второе – ложно (легко приводятся конкретные опровергающие примеры), а относительно третьей фразы мы не можем говорить, является она истинной или ложной, так как наши знания о еще не найденных погребениях фараонов пока недостаточны. Но мы вполне можем предполагать, что это высказывание, ибо оно обязательно либо истинно, либо ложно.

Не всякие фразы на естественном языке могут быть высказываниями. Например, утверждение «Девушка была очень красивой» таковым не является. Одни мужчины могут согласиться с мнением, высказанным в этой фразе, т.е. посчитать, что это утверждение истинно, но другие могут и не принять данной точки зрения, т.е. посчитать утверждение ложным. Такого рода утверждения в рамках формальной системы, называемой исчислением высказываний, не рассматриваются.

О формальной системе речь шла во второй главе, и читатели, наверное, помнят, что такие системы задаются как четверки, состоящие из множества базовых элементов Т, множества синтаксических правил L, множества аксиом Q и множества правил вывода R. Поэтому, если мы хотим рассматривать исчисление высказываний как формальную систему, то должны задать указанные четыре множества.

В качестве элементов множества Т будут выступать элементарные высказывания, обозначаемые малыми латинскими буквами. Считать или не считать некоторое высказывание элементарным, зависит от нашей воли. Как станет ясно из дальнейшего, этот вопрос не имеет принципиального значения в рамках той дедуктивной системы, которую мы строим. Для описания процедур построения производных высказываний из элементарных, т.е. синтаксических, правил надо предварительно ввести знаки логических связок. В качестве таких связок будут выступать уже известные по первой главе конъюнкция, дизъюнкция и отрицание, которые будем обозначать &,

и

(иногда заменяя, как и ранее, этот последний знак чертой сверху буквы, соответствующей элементарному высказыванию), а также новая связка, называемая импликацией, которую будем обозначать

.

Сформулируем теперь совокупность синтаксических правил для исчисления высказываний.

1. Всякое элементарное высказывание является правильной совокупностью (будем говорить далее правильной формулой).

2. Если и являются правильными формулами, то правильными формулами являются также

, (&), (

) и (

).

3. Других правильных формул в исчислении высказываний нет.

Между знаками логических связок

, &,

и

и конструкциями естественного языка существует некоторая связь, которую проиллюстрируем на примерах. Воспользуемся стихотворением Давида Самойлова «Пестель, поэт и Анна». Вот его начало:Там Анна пела с самого утраИ что-то шила или вышивала.И песня, долетая со двора,Ему невольно сердце волновала.

В этом четверостишии можно выделить четыре элементарных высказывания: a – «Там Анна пела с самого утра», b – «Что-то (Анна) шила», с – «Что-то (Анна) вышивала», d – «Песня, долетая со двора, ему невольно сердце волновала». В скобках мы ввели субъект, отсутствующий во второй строке приведенного отрывка. Общая логическая структура всего четверостишия может быть описана следующим образом: (а И (b ИЛИ c) И d). Большими буквами мы выделили союзы, которые в явной форме присутствуют в тексте Д. Самойлова. Можно ли от этой записи перейти к логическим связкам?

Вспомним, что такое конъюнкция и дизъюнкция. Во второй главе, определяя эти связки, мы говорили, что & является истинным, если истинны оба утверждения и , а

является истинным, если истинно хотя бы одно из утверждений или . Такое определение связок позволяет перейти от структуры, в которой используются союзы И и ИЛИ, к записи ((a&(b

c))&d), которая согласно синтаксическим правилам исчисления высказываний является правильной формулой этого исчисления. Правда, внимательные читатели могут усмотреть в этом переходе некоторую некорректность. Дело в том, что выражение

является истинным и тогда, когда одновременно и истинны. Но подобный случай в нашем примере невозможен. Анна либо шила, либо вышивала. Одновременно делать то и другое она не могла. Другими словами, одновременная истинность и должна была бы давать сигнал о ложности такого утверждения, а дизъюнкция утверждает, что оно истинно. Эту ситуацию можно исправить, введя связку, называемую разделительной дизъюнкцией. Но мы этого делать не будем, так как такая связка есть комбинация более простых связок, которые мы уже ввели: (

&)

(&

).

Проверим, достигаем ли мы нужной цели с помощью данной комбинации. Если и ложны, то ложны правильные формулы (

&) и (&

) и, следовательно, по свойству дизъюнкции ложна и вся большая формула. Если же и одновременно истинны, то опять обе конъюнкции ложны, так как в них входят ложные высказывания, получающиеся из истинных путем отрицания, и, следовательно, вся дизъюнкция опять является ложной. И лишь тогда, когда из двух высказываний и одно истинно, а другое ложно, мы получаем истинность всего высказывания. После этого уточнения правильная формула исчисления высказываний, соответствующая нашему примеру, примет вид ((а&((

b&c)

(b&

c)))&d).

Рассмотрим еще одну цитату из того же стихотворения: «…Если трон находится в стране в руках деспота, тогда дворянства первая забота сменить основы власти и закон». Введем два элементарных высказывания: g – «Трон находится в стране в руках деспота» и h – «Дворянства первая забота сменить основы власти и закон». Тогда логическая структура всего высказывания может быть представлена в виде (ЕСЛИ g ТОГДА h). Для перехода к правильной формуле исчисления высказываний воспользуемся импликацией. Раньше она не встречалась. По определению выражение

истинно во всех случаях, кроме того, когда истинно, а ложно. Другими словами, из истинности в импликации, которая является истинной, всегда следует истинность .

Исследуем запись (g

h). Если g истинно, то h должно быть истинно, если фраза, которая вложена Д. Самойловым в уста Пестеля, является истинной. Это хорошо, но что будет в случае, когда утверждение g ложно? Для импликации это означает, что как при истинности h, так и при его ложности вся фраза в целом остается истинной. Другими словами, если неверно, что «Трон находится в стране в руках деспота», то дворянство может менять основы власти и закона, а может этого и не делать. Всё равно сложное высказывание будет сохранять свою истинность. Если же мы потребуем, чтобы при ложности g всегда было бы ложным и все высказывание целиком, сохраняя остальные свойства импликации, то мы опять вернемся к конъюнкции.

Наверное, самым разумным с точки зрения здравого смысла было бы вообще отказаться от определения истинности или ложности выражения (ЕСЛИ ТОГДА ), когда является ложным. Ибо для выводов в этом случае нет никакой информации. Во второй главе мы использовали знак выводимости

. Вот с его-то помощью и можно формализовать случай, когда в записи g

h из истинности g всегда следует истинность h, а при ложности g ничего сказать нельзя. Но знак выводимости не является логической связкой и не входит в синтаксис исчисления высказываний. Поэтому, оставаясь в рамках этого исчисления, мы вынуждены пользоваться импликацией.

И еще одно замечание, касающееся импликации. Эта связка, как и разделительная дизъюнкция, может быть сведена к комбинации других связок, имеющихся в исчислении. Читатели легко могут убедиться в справедливости замены

на

. Однако по ряду причин в исчислении высказываний в его классической форме импликация сохраняется как самостоятельная связка [5] .

Не нужно думать, что переход от фраз на естественном языке к соответствующим им правильным формулам исчисления высказываний столь прост. На этом пути стоит немало трудностей, И прежде всего потому, что частицы и союзы языка типа НЕ, И, ИЛИ, ТО, ЕСЛИ и т.п. не являются однозначными свидетельствами наличия похожих на них связок. Цитата из стихотворения «Смерть поэта» Д. Самойлова иллюстрирует это положение:

5

Легко также проверить, что из трех связок , & и можно оставить только две, так как & заменяется на (), а на (&).