Наука логики

{304}

Лагранж, как известно, снова возвратился к первоначальному методу Ньютона, к методу рядов, дабы быть свободным от трудностей, которые влечет за собою представление о бесконечно-малом, равно как и метод первых и последних отношений и пределов. Относительно его исчисления функций, прочие преимущества которого в отношении точности, абстрактности и всеобщности достаточно невесты, мы должны отметить как касающееся занимающего нас вопроса лишь, то, что оно покоится на той основной теореме, что разность, не превращаясь в нуль, может быть принята столь малой, чтобы каждый член ряда превосходил по своей величине сумму всех следующих за ним членов. — При этом методе также начинают с категорий приращения и разности (по сравнению с первоначальной функцией) той функции, переменная величина которой получает приращение, что и вызывает появление скучного ряда; равно как в дальнейшем члены ряда, которые должны быть отброшены, принимаются в соображение лишь с той стороны, что они составляют некоторую сумму, и основанием, почему они отбрасываются, полагается относительность их определенного количества. Отбрасывание, следовательно, и здесь не сводится) в общем виде к той точке зрения, которая отчасти встречается в некоторых приложениях, в которых, как мы упомянули раньше, члены ряда должны иметь определенное качественное значение и оставляются без внимания не потому, что они незначительны по величине, а потому, что они незначительны по качеству; отчасти же само отбрасывание отпадает в той существенной точке зрения, которая определенно выступает относительно так называемых диференциальных коэфициентов лишь в так называемом приложении диференциального исчисления у Лагран- жа, что мы разъясним подробнее в следующем примечании.

Качественный характер вообще, свойственный (как мы здесь доказали, трактуя о той форме величины, о которой идет речь) тому, что при этом называется бесконечно «малым, обнаруживается непосредственнее всего в той категории предела отношения, которая приведена выше и проведение которой в диференциальном исчислении рассматри-

{305}

валось как некоторый особого рода метод. Из соображений в суждении Лагранжа об этом методе, что ему недостает легкости применения и что выражение «предел» не дает определенной идеи, мы остановимся на втором и рассмотрим ближе аналитическое значение этого» метода. В представлении о пределе именно и содержится вышеуказанная истинная категория качественного определения отношения между переменными величинами; ибо те их формы, которые появляются в нем, dx и dy, должны быть взяты здесь просто лишь как моменты выражения?^ и само? — должно рассматриваться как единый неделимый знак. Что при этом для механизма исчисления, особенно в его приложении, утрачивается преимущество, которое он извлекает го того обстоятельства, что члены диференциального коэфициента отделяются друг от друга, — это следует здесь оставить в стороне. Этот предел должен быть теперь пределом некоторой данной функции; он должен указать известное значение в связи с нею, определяемое способом вывода. Но с голой категорией предела мы не подвинулись бы дальше, чем с тем, о чем дело шло в этом примечании, имеющем целью показать, что· бесконечно-малое, выступающее в диференциальном исчислении как dx и dy, имеет не только отрицательный, пустой смысл некоторой не-конечной, не-данной величины, как это имеет место, например, в тех случаях, когда говорится: «бесконечное множество», «и т. д. до бесконечности» и т. п., а определенный смысл качественной определенности количественного, момента отношения как такового. Однако эта категория, взятая в таком смысле, еще не имеет отношения к тому, что есть некоторая данная функция, еще не влияет сама по себе на трактовку этой функции и не приводит к такому употреблению указанного определения, которое должно было бы иметь место в последней; таким образом, и представление предела, если этому представлению не дозволяют итти дальше такой доказанной относительно него определенности, также ни к чему не привело бы. Но выражение «предел» уже само по себе подразумевает, что он есть предел чего-то, 20 Гегель, том У, Наука логики

{306}

т. е. выражает известное значение, определяемое функцией переменной величины; и мы должны посмотреть, каков характер этого конкретного оперирования им.

Он должен быть пределом отношения друг к другу тех двух приращений, на которые по сделанному допущению увеличиваются две переменные величины, соединенные в одном уравнении, из коих одна рассматривается как функция другой; приращение берется здесь вообще неопределенным, и постольку о бесконечно-малом нет еще и речи. Но прежде всего путь, которым отыскивается этот предел, приводит к тем же непоследовательностям, которые имеются в других методах. Этот путь именно таков. Если y = fx, то при переходе у в y-\-k fx должна переходить в fx — \- ph — f- qh2 — \- r№ и т. д. Следовательно, k = = ph-\-qh2 и т. д., и — ^ =p-\-qh-{- rh2 и т. д. Если теперь k и h исчезадют, то исчезает и второй член ряда кроме /? каковое? и оказывается пределом отношения этих двух приращений. Отсюда видно, что h как определенное коли- чество полагается = 0, но что вследствие этого — ^ еще не обращается вместе с тем в — j, а остается некоторым отношением. И вот представление предела должно доставить ту выгоду, что оно устранит заключающуюся в этом непоследовательность;? должно вместо с тем быть не действительным отношением, которое было бы= — ^, а лишь тем определенным значением, к которому отношение может приближаться бесконечно, т. е. так, чтобы разность могла стать меньше всякой данной разности. Более определенный смысл приближения касательно того, что собственно должно сближаться между собою, будет рассмотрен ниже. — Но что количественное различие, определяемое не только как могущее, но и как долженствующее быть менее всякой данной величины, уже больше не есть количественное различие, это само собою ясно; это так же очевидно, как только что-нибудь может быть очевидным в математике; но этим мы не пошли дальше? — =-» — Напротив,

{307}

если· ^ = Р, т. е. принимается за некоторое определенное количественное отношение, как это и есть на самом деле, то, наоборот, получается затруднение для предположения,

что h = о, предположения, единственно путем которого и по- k k лучается — ^ — р- Если же согласиться, что ^=0 —и в самом деле, раз й = 0, то само собою k также делается =0, ибо приращение k к у имеет место лишь при условии существования приращения? — то надо было бы спросить, что представляет собою /? которое есть некоторое совершенно определенное количественное значение. На этот вопрос сразу же получается простой, сухой ответ, гласящий, что оно есть коэфициент, и нам указывают, путем какого вывода он возникает, — известным определенным образом выведенная первая производная функция некоторой первоначальной функции. Если удовольствоваться этим ответом, как и в самом деле Лагранж по существу дела удовольствовался им, то общая теория науки диференциального исчисления и непосредственно сама та одна форма, которая называется теорией пределов, освободилась бы от приращений, а затем и от их бесконечной или какой угодно малости, от трудности, состоящей в том, что кроме первого члена или, вернее, лишь коэфициента первого члена, все остальные члены ряда, которые неминуемо появляются благодаря введению этих приращений, снова устраняются; да помимо этого она очистилась бы также и от всего связанного с этим дальнейшего, от формальных категорий прежде всего бесконечного, бесконечного приближения, а затем и от дальнейших здесь столь же пустых категорий непрерывной величины* и всех еще других, которые считается нужным * Категория непрерывной или текучей величины появляется вместе с рассмотрением внешнего и эмпирического изменения величин, приведенных некоторым уравнением в такую связь, что одна есть функция другой; но так как научным предметом диференциального исчисления служит известное (обыкновенно выражаемое через диференциальный коэфи- циент) отношение, каковая определенность может быть названа также и законом, то для этой специфической определенности простая непрерывность есть отчасти чужеродный аспект, отчасти же во всяком случае абстрактная, а здесь— пустая категория, так как ею ничего не выражается 20*

{308}

ввести, как например, стремление, становление, повод к изменению. Но в таком случае требовалось бы показать, какое еще значение и ценность, т. е. какую связь и какое употребление для дальнейших математических целей имеет? помимо того·, для теории совершенно достаточного сухого определения, что оно есть не что иное, как полученная путем разложения бинома производная функция; об этом будет сказано во втором примечании. — Здесь же мы ближайшим образом дадим разбор той путаницы, которую вышеприведенное столь обычное в изложениях употребление представления о приближении внесло в понимание собственной, качественной определенности того отношения, в котором было ближайшим образом все дело.

Мы показали, что так называемые бесконечно малые разности выражают собою исчезание членов отношения как определенных количеств и что то, что после этого остается, есть их количественное отношение, исключительно лишь поскольку оно определено качественным образом; качественное отношение здесь настолько не теряется, что оно скорее есть именно то, что получается благодаря превращению конечных величин в бесконечные. В этом, как мы видели, состоит вся суть дела. — Так например, в последнем отношении исчезает определенные количества абсциссы и ординаты. Но члены этого отношения остаются по существу один — элементом ординаты, а другой — элементом абсциссы.

Так как здесь применяют обычный способ представления, состоящий в том, что одна ордината бесконечно приближается к другой, то одна ордината, раньше отличная от о законе непрерывности. — В какие формальные дефиниции при этом кроме того впадают, показывает остроумное общее изложение моим уважаемым коллегой проф. Дирксеном основных определений, употребляемых для вывода диференциального исчисления, изложение, которое он дает в связи с критикой некоторых новых сочинений по этой науке, помещенной в Jahrb. /. wissensch. Kritik, 1827, Nr. 153 и сл. Там на стр. 1251 дается даже такая дефиниция: «Непрерывная величина, континуум, есть всякая величина, которая мыслится нами находящейся в таком состоянии становления, при котором последнее совершается не скачкообразно, а путем непрерываемого движения вперед». Но ведь это тавтология, повторение того, что есть и самое definitum.

{309}

другой ординаты, яереходиг в последнюю, а раньше различная абсцисса переходит в другую абсциссу; но ордината по существу не переходит в абсциссу и абсцисса не переходит в ординату. Оставаясь и далее в рамках этого примера переменных величин, следует сказать, что элемент ординаты должен быть понимаем не как отличие одной ординаты от другой ординаты, а как отличие или качественное определение величины относительно элемента абсциссы; принцип одной переменной величины и принцип другой находятся во взаимном отношении между собой.

Различие, не будучи уже больше различием конечных величин, перестало быть многообразным внутри самого себя, оно сжалось в простую интенсивность, в определенность одного качественного момента отношения относительно другого.

Но эта суть дела затемняется тем обстоятельством, что то, что мы только что назвали элементом, например, ординаты, понимается затем как разность или приращение, в том смысле, что оно будто бы есть лишь различие между определенным количеством одной ординаты и определенным количеством другой. Предел здесь, следовательно, не имеет смысла отношения; он считается лишь тем последним значением, к которому другая величина того же рода постоянно приближается таким образом, что она может сколь угодно мало отличаться от него и что последнее отношение есть отношение равенства. Таким образом, бесконечно малая разность оказывается как бы неустойчивостью различия (das Schweben eines Unterschieds) одного определенного количества от другого и ее качественная природа, по которой dx есть по существу определение отношения не к х, а к dy, отступает в представлении на задний план. В диференциальном исчислении заставляют dx2 исчезнуть относительно dx, но еще больше исчезает dx относительно х, а это поистине означает: dx находится в отношении лишь % dy. — В таких изложениях геометры стараются преимущественно о том, чтобы сделать понятным приближение некоторой величины к ее пределу, и держаться того аспекта различия одного определенного количества от другого, в ко-

{310}

тором оно не есть различие и, однако, все еще есть различие. Но помимо всего прочего приближение есть само по себе ничего не говорящая и ничего не делающая понятным категория; уже dx оставил приближение позади себя, он ни близок ни более близо-к, и бесконечная близость сама есть лишь отрицание близости» и приближения.

Стало быть, поскольку вышло так, что приращения или бесконечно-малые разности рассматриваются лишь со стороны определенного количества, которое в них исчезает, и лишь как его предел, их понимают при этом как безотносительные моменты. Из этого вытекало бы не выдерживающее критики представление, будто в последнем отношении дозволительно приравнивать между собою, например, абсциссу с ординатой, или же синус, косинус, тангенс, sinus versus и что угодно еще. — Может казаться, что такое представление получает силу в том случав, когда дуга рассматривается как касательная; ибо и дуга, конечно, тоже несоизмерима с прямой линией и ее элемент имеет прежде всего другое качество, чем элемент прямой линии.

Может показаться еще более бессмысленным и недозволительным, чем смешение абсциссы, ординаты, sinus versus, косинуса и т. д. принимать круглые квадраты, принимать часть дуги, хотя бы и бесконечно малую, за кусочек касательной и, следовательно, трактовать ее как прямую линию. — Однако такую трактовку следует по существу отличать от вызвавшего порицание смешения; она имеет свое оправдание в том, что в том треугольнике, который имеет своими сторонами элемент некоторой дуги и· элемент ее абсциссы и ординаты, отношение остается тем же самым, как если бы элемент дуги был элементом прямой линии, касательной; углы, составляющие существенное отношение, т. е. то отношение, кото-рое сохраняется в этих элементах:, когда мы абстрагируемся от присущих им конечных величин, суть те же самые. — Можно выразиться об этом? таким образом, что прямые линии как бесконечно малые стали кривыми линиями, и отношение между ними при их бесконечности стало отношением между кривыми. Так как согласно дефиниции прямой линии она есть кратчайшее