Невероятно – не факт

Третьим параметром является ширина колокола, равная в этом случае 15 сантиметрам. Знание ширины кривой позволяет сразу же оценить, с какими отклонениями от среднего мы можем встретиться.

Нормальная кривая универсальна и относится к любым событиям, поэтому, смотря все на тот же рисунок, мы можем делать общие заключения, справедливые для любых нормальных кривых. Скажем, отклонения больше трех полуширин практически не встречаются. Так обстоит дело всегда, вне зависимости от того, о чём идёт речь.

Для характеристики вероятности отклонения от среднего значения в технике и статистике существуют ещё среднее отклонение по абсолютной величине, среднее квадратичное отклонение, вероятное отклонение, мера точности. Все эти величины связаны между собой и с полушириной гауссовой кривой числовыми множителями, близкими к единице.

Вообще говоря, каких-либо доводов в пользу того, чтобы те или иные статистические сведения ложились на гауссову кривую, нет. Правда, кое-что мы чуть позже увидим. Сейчас же надо подчеркнуть, что точные представления о нормальном распределении случайных событий показывает кривая числа комбинаций «красного» и «чёрного». И к идеалу, с точки зрения математической, эта кривая приближается тем лучше, чем большее число испытаний проводится. Если число событий, которые мы обрабатываем статистически, исчисляется десятками, то ординаты кривой будут отличаться от идеальных на десятые доли процента; при сотнях испытаний разница уменьшится до сотых долей процента. Во всяком случае, на рисунке размером в страницу мы не отличим кривую распределения, построенную для тридцати событий, от гауссовой кривой идеальной.

Без преувеличения можно сказать, что закон Гаусса является важнейшим оружием в технике, в физике, в медицине – в любой науке.

Знание среднего значения случайной величины и ширины кривой нормального распределения позволяет уверенно судить о возможном и невозможном.

В технике беспорядочные колебания случайной величины около её среднего значения называют шумом. Такой шум вы слышите, когда снимаете телефонную трубку. Шумом называют обыкновенный белый свет. Шумит молния, излучая весь спектр электромагнитных колебаний. Если шум изображать на телевизионном экране (осциллографе), то будет видна беспорядочная зигзагообразная кривая.

Шум нетрудно ограничить двумя горизонтальными линиями; так сказать, вписать его между нулём и некоторым максимумом. Что можно сказать об этом максимуме, о верхнем пределе шума?

В зависимости от природы, источника, от излучателя, шум может быть как угодно большим. По-одному шумит громкоговоритель в квартире, по-другому – на маленьком полустанке и совсем иной шум громкоговорителей, работающих на улицах Москвы во время парада на Красной площади. Разница основательная. Но если построить графики этих трех шумов, то одну общую черту, продиктованную законом Гаусса, мы обнаружили бы без труда: верхний предел шума превышает средний шум примерно в четыре раза. То есть колокол гауссовой кривой весьма крутой и обрывается исключительно резко, несмотря на то, что с точки зрения формальной математики крылья кривой продолжаются в бесконечность. Из этого графика мы бы увидели, какое маловероятное событие становится практически невозможным. Ещё одно замечание: всякое заметное превышение шума над граничной горизонталью, дающее более чем пятикратное отклонение от среднего шума, называется уже не шумом, а сигналом.

Кривая гауссова распределения показывает, на что надо, а на что не надо обращать внимания, когда речь идёт о случайной величине. Физические измерения, как и математический анализ, показывают, что отклонения, не превышающие четырехкратного значения среднего отклонения, являются нормой и поэтому не заслуживают ни особого внимания, ни объяснения. Скажем, известно, что физики могут измерять расстояния между атомами с точностью до 0,01 ангстрема. Некто Иванов публично заявил, что его измерения на 0,03 ангстрема отличаются от ранее полученных результатов, и пытается доказать, что его результат лучше имеющегося. Не стоило ему так поступать: не спорить ему надо, а сообщить учёному миру, что он лишь подтвердил ранее достигнутый физиками результат. Вот если бы его измерения отличались на 0,06 ангстрема, тогда другое дело; тогда можно было бы говорить, что какая-то из двух величин неверна и некто Петров был бы прав с точки зрения научной этики, приступив к измерению того же межатомного расстояния третий раз.

Зная гауссовы кривые для разных случайных событий, статистики отвергнут газетное сообщение о новорождённом весом в 6 килограммов, о том, что в городе Киеве 12-го числа рождались только мальчики, а 13-го только девочки, о том, что в Москве в мае месяце не было ни одного дня с температурой ниже 30 градусов, о том, что число автомобильных катастроф в декабре было в десять раз больше, чем в январе, что во вторник по всему городу не было продано ни одного куска мыла, а в среду никто не приобрёл в аптеке таблеток пирамидона и т.д.

И право же, такой скептицизм, базирующийся на хорошей статистике и знании закона вероятности, обоснован не хуже, чем расчёты траектории космического корабля. Словом, невероятно – не факт.

Если вероятности невелики…

Во время войны довольно часто стреляли из винтовок по вражеским самолётам. Может показаться, что это безнадёжное дело; о прицельной стрельбе здесь и речи быть не может, поскольку лишь пули, пробивающие бензобак или поражающие лётчика, приносят результат. Было установлено, что вероятность удачного выстрела равнялась 0,001. Действительно мало. Но если стреляет одновременно много бойцов, то картина меняется.

Примеров, в которых нас интересует вероятность многократно осуществлённого события, обладающего малой вероятностью, множество. Например, с задачей попадания в самолёт из винтовки полностью совпадает задача о выигрыше в лотерею по нескольким билетам.

Каждая серия «выстрелов» может быть как неудачной, так и закончиться одной удачей, а то и несколькими. Соответствующее распределение вероятностей было найдено французским математиком Пуассоном.

В любом математическом справочнике вы найдёте формулу Пуассона, а также таблицы, позволяющие найти интересующую вас вероятность без расчёта.

Средняя частота – это результат, идеально совпавший с предсказанием теории вероятностей. Если вероятность выигрыша равняется 0,01, то из ста билетов выиграет 1, а из тысячи – 10. Единица и десять это и есть средние частоты выигрыша для серий в сто и тысячу билетов. Конечно, средняя частота может быть и дробным числом. Так, для серий в десять билетов при том же значении вероятности средняя частота выигрыша равняется 0,1. Это значит, что в среднем одна из десяти серий по десяти билетов будет содержать один выигрыш.

В таблицах Пуассона приводятся цифровые данные для всевозможных значений средних частот. Чтобы было ясно, в каком виде нам сообщаются эти сведения и для общей ориентировки приведём несколько чисел характеризующих распределение вероятности при средней частоте, равной единице. Вот эти числа.

Ста выстрелами при вероятности попадания в 0,01 или тысячью выстрелами при вероятности попадания в 0,001, или миллионом при вероятности в 0,000001, мы поразим цель один раз в 37 процентах случая, 2 раза в 18 процентах, 3 раза в 6 процентах… 8 раз лишь в 0,001 процента. А промахнёмся сколько раз? Промахов точно столько же, сколько одноразовых попаданий, то есть 37 процентов.

Приведённые проценты, как и любые числа вероятностей, работают точно лишь для очень большого числа серий. Если миллион людей приобрёл лотерейные билеты, выигрывающие с вероятностью в 0,01, то 37 процентов из них не выиграют ни разу, а 37 процентов других лиц обязательно выиграют по одному билету и т.д. Если же мы заинтересуемся выигрышами только 100 человек, то должны считаться с вероятными отклонениями от среднего. В «среднем» 37 из них не выиграют ни разу. Отклонения здесь от «среднего» не превысят 6?sqrt(37). А с такими отклонениями, как мы уже знаем, следует считаться и помнить, что число неудачников будет находиться между 31 и 43. Конечно, не исключены и бо?льшие отклонения в обе стороны, но их вероятность совсем уж невелика.