Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики

Одна из причин, мешающих людям признать прямое отношение, которое имеет теорема Геделя к нашему математическому мышлению, заключается в том, что в рамках обычной ее формулировки утверждение G ( P ) не представляет интереса с математической точки зрения. Мало того: оно еще и чрезвычайно сложно для понимания в качестве математического выражения. Соответственно, даже математики предпочитают не «связываться» с подобными выражениями. Однако, существует ряд примеров утверждений геделевского типа, которые легко доступны пониманию даже для тех, чье знакомство с математической терминологией и системой записи ограничивается рамками обычной арифметики.

Особенно впечатляющий пример попался мне на глаза уже после того, как была опубликована эта книга (а также « Тени разума»). Это произошло на лекции Дэна Исааксона в 1996 году. Речь шла об известной теореме Гудстейна [14] . Данный пример кажется мне настолько поучительным, что я хотел бы рассмотреть его здесь целиком, дабы читатель имел возможность непосредственно познакомиться с теоремами геделевского типа [15] .

14

Goodstein, R. L., On the restricted ordinal theorem. Journal of Symbolic Logic, 9 (1944), 33–41.

15

См. также Penrose, R., On understanding understanding. International Studies in the Philosophy of Science, 11(1997), 7-20.

Чтобы понять суть этой теоремы, рассмотрим любое целое положительное число, скажем, 581. Для начала мы представим его в виде суммы различных степеней числа 2:

581 = 2 ⁹+ 2 ⁶+ 2 ²+ 1.

(Такая процедура применяется для формирования двоичного представления числа 581, а именно, приведения его к виду 1001000101, где единицы соответствуют тем степеням двойки, которые присутствуют в таком представлении, а нули — тем степеням, которых нет.) Далее можно заметить, что «показатели» в этом выражении — т. е. 9,6 и 2 — могут быть, в свою очередь, представлены аналогичным образом (9 = 2 ³+ 1, 6 = 2 ²+ 2 ¹, 2 = 2 ¹); и тогда мы получим (вспоминая, что 2 ¹= 2)

Здесь все еще есть показатель больший, чем двойка — в данном случае это «3», — для которого тоже можно написать разложение

3 = 2 ¹+ 1, так что в конце концов мы будем иметь

А теперь мы подвергнем это выражение последовательности чередующихся простых операций, которые будут

(а) увеличивать «основание» на единицу,

(б) вычитать единицу.

Под «основанием» здесь понимается просто число «2», фигурирующее в исходном выражении, но мы можем сделать то же самое и с большими основаниями: 3, 4, 5, 6…..

Давайте посмотрим, что произойдет при применении операции (а)к последнему разложению числа 581, в результате которой двойки становятся тройками:

(что дает — если выписать его в обычной форме — сороказначное число, начинающееся с 133027946…). После этого мы применяем (б)и получаем

(т. е. по-прежнему сорокозначное число, начинающееся с 133027946…). Далее мы выполняем (а)еще раз и получаем

(это уже значительно большее число, состоящее из 618 знаков, которое начинается с 12926802…). Следующая операция — вычитание единицы — приводит к выражению

(где тройки получаются по той же причине, что и девятки в обычной десятичной записи, когда мы получаем 9999, вычитая 1 из 10 000). После чего операция (а)дает нам

(число, которое имеет 10923 знака и начинается с 1274…). Обратите внимание, что коэффициенты «3», которые возникают при этом, с необходимостью меньше, чем основание (в данном случае 5), и не изменяются с возрастанием последнего. Применяя (б)вновь, имеем число

над которым мы опять производим последовательно действия (а), (б), (а), (б),… и т. д., насколько возможно. Вполне естественно предположить, что этот процесс никогда не завершится, потому что каждый раз мы будем получать все большие и большие числа. Однако это не так: как следует из поразительной теоремы Гудстейна, независимо от величины исходного числа ( 581в нашем примере), мы в конце концов получим нуль !

Кажется невероятным, но это так. А чтобы в это поверить, я рекомендовал бы читателю самостоятельно проделать вышеописанную процедуру, для начала — с числом «3» (где мы раскладываем тройку как 2 ¹+1, что дает последовательность 4, 3,4, 2, 1, 0); а затем — что более важно — попробовать то же самое с «4» (при этом стартовое разложение в виде 4 = 2 ²приводит к вполне закономерно возрастающему ряду 4, 27, 26, 42, 41, 61, 60, 84…, который доходит до числа из 121210 695-ти знаков, после чего уменьшается вплоть до нуля!).

Но что кажется еще более удивительным: теорема Гудстейна фактически является теоремой Геделядля той самой процедуры, которую мы изучали в школе под названием математической индукции, как было доказано в свое время JI.Кирби и Дж. Парисом [16] . Как вы, должно быть, помните, математическая индукция позволяет установить справедливость некоторого математического утверждения S ( n ) для n = 1, 2, 3, 4, 5… Доказательство проводится в два этапа: сначала нужно проверить справедливость S ( l ), а затем показать, что, если верно S ( n ), то должно выполняться и S ( n + 1 ). Приняв процедуру математической индукции за Р , Кирби и Парис доказали, что тогда G ( P ) может иметь смысл теоремы Гудстейна.

16

Accessible independence results for Peano arithmetic.Bulletin of the London Mathematical Society, 14 A982), 285-93.

Следовательно, если мы считаем процедуру математической индукции достоверной (с чем едва ли можно не согласиться), то мы должны верить и в справедливость теоремы Гудстейна — несмотря на то, что при помощи одной лишь математической индукции доказать ее невозможно.

«Недоказуемость» теоремы Гудстейна, понимаемая в этом смысле, вряд ли может помешать нам убедиться в ее фактической справедливости. Наши интуитивные представления позволяют нам расширитьдействие тех ограниченных приемов «доказательства», которыми мы воспользовались ранее. В действительности сам Гудстейн доказал свою теорему, прибегнув к разновидности метода, который называется «трансфинитной индукцией». В контексте нашего изложения этот метод сводится к систематизации интуитивных ощущений, которые возникают в процессе знакомства с «причиной», по которой теорема Гудстейна и в самом деле верна. Эти ощущения могут родиться практически целиком за счет изучения некоторого числа частных случаев указанной теоремы. И тогда станет видно, как скромная незаметная операция (б)безжалостно «отщипывает» по кусочку от огромной башни «показателей» до тех пор, пока она не начинает постепенно таять и полностью исчезает, — хотя бы на это ушло и невообразимо большое число шагов.

Все это говорит о том, что способность пониматьникоим образом не может сводиться к некоторому набору правил. Более того, понимание является свойством, которое зависит от нашего сознания; и что бы не отвечало в нас за сознательное восприятие — это должно самым непосредственным образом участвовать в процессе «понимания». Тем самым, в формировании нашего сознания с необходимостью есть элементы, которые не могут быть получены из какого бы то ни было набора вычислительных инструкций; что, естественно, дает нам веские основания считать, что сознательное восприятие — процесс существенно «невычислимый».