Основы логистики

Предположим, что имеется п грузополучателей или клиентов, каждого из которых может обслужить любой из m привлеченных для перевозок автомобилей. Стоимость обслуживания i-го клиента j-м автомобилем с или теневая цена (это цена резервирования провозных возможностей, ее величина отражает максимальную цену, которую можно согласиться заплатить за обслуживание i-го клиента), рассчитывается следующим образом:

где Q_i – вес партии товара, доставленной i-му клиенту (кг); q_j – грузоподъемность j-го автомобиля с учетом класса груза (кг); s_j – затраты на рейс, выполненный j-м автомобилем (руб.).

Необходимо распределить автомобили по клиентам так, чтобы минимизировать суммарные затраты, связанные с выполнением перевозки.

В исследовании операций задача, сформулированная выше, известна как задача о назначениях. Введем переменные х_Р принимающие значение 1 в случае, когда i-го клиента обслуживает j-й автомобиль, и значение 0 во всех остальных случаях.

Тогда ограничение

гарантирует обслуживание i-го клиента лишь одним автомобилем, то есть заказы клиентов разбивать нельзя, а ограничение

гарантирует, что каждый автомобиль будет обслуживать не более b клиентов. Это означает, что мы пытаемся учесть ограничения по времени обслуживания клиентов еще на этапе решения задачи о назначениях.

Поскольку речь идет о формировании развозочных маршрутов, необходимо учесть ограничения по грузоподъемности:

означающие, что фактическая нагрузка подвижного состава не должна превышать его грузоподъемности.

Стоимость решения, то есть сумма теневых цен для обслуженных клиентов, должна быть минимизирована. Таким образом, задачу о назначениях подвижного состава можно записать следующим образом.

Задача о назначениях является частным случаем классической транспортной задачи. При этом условие

х_ij..О{0,1}, i=1, …, m, j=1, …, n

означает выполнение требования двоичности переменных х.., то есть в допустимом целеисчислении значениями переменных могут быть только 0 и 1. Следовательно, для ее решения может быть использован эффективный вычислительный алгоритм симплексного метода, реализованный в средстве «Поиск решения» Microsoft Excel.

Пример решения задачи

Рассмотрим условный пример. Допустим, нам необходимо сформировать развозочные маршруты для обслуживания пяти клиентов, вес партии товара каждого из них колеблется в диапазоне от 0,8 до 1,45 т, а общий вес всех товаров составляет 5,9 т. В нашем распоряжении имеется семь автомобилей: пять автомобилей ГАЗ-3302 «Газель» грузоподъемностью 1,5 т и два автомобиля ГАЗ-53 грузоподъемностью 3 т. Стоимость аренды автомобиля ГАЗ-3302 «Газель» составляет 1 тыс. руб., а автомобиля ГАЗ-53 – 1,5 тыс. руб. Таким образом, имеется избыток грузовых возможностей, следовательно, необходимо определить подвижной состав, использование которого минимизирует транспортные издержки, и закрепить его за клиентами.

Для решения задачи на рабочем листе Excel разработаем модель рассматриваемой задачи. Разрабатываемую модель необходимо представить в виде трех таблиц: матрицы теневых цен с_ij, матрицы переменных х_ij и матрицы произведения с_ij*х_ij. Для решения задачи необходимо связать значения таблиц формулами. Зависимости, связывающие переменные модели, представлены в табл. 6–8.

В табл. 1 мы видим, что теневые цены рассчитываются по формуле (1), для чего в ячейку В6 занесена формула

Таблица 1

Зависимости, связывающие переменные в матрице теневых цен

В6=($16/В$12)xВ$5, которая затем распространяется на весь диапазон ячеек В6:Н10, содержащих теневые цены.

Таблица 2

Зависимости, связывающие переменные в матрице переменных

Таблица 3

Матрица произведения с_ij *х_ij.

Фактическую загрузку подвижного состава рассчитывают по формуле (4), которая занесена в ячейке В11 в виде В11=СУММПРОИЗВ ($16:$110;1_6:1_10). Аналогично данная формула распространяется на весь диапазон ячеек В11:Н11, содержащих значения загрузки.

В табл. 2 мы видим, что в диапазоне L6:R10 содержатся изменяемые ячейки, формулы, занесенные в диапазон S6:S10, суммируют значения изменяемых ячеек по строкам, а занесенные в диапазон L11:R11 – по столбцам. Функция, занесенная в ячейки строки «Выбор», возвращает значение 1, если в ячейках строки «Сумма» находится значение, большее или равное 1, и значение О-в противном случае.

Таблица 4

Параметры надстройки Excel – Поиск решения

Обязательное условие для расчетов: в табл. 2 и 3 нужно установить числовой формат ячейки без знаков после запятой (<Формат> <Ячейки> <Число>, числовые форматы – числовой, число десятичных знаков – 0).

Представленные в табл. 3 формулы служат для вычисления целевой функции, то есть суммы теневых цен для обслуженных клиентов.

В диалоговое окно «Поиск решения» заносятся целевая ячейка, диапазон изменяемых ячеек и ограничения. Свод параметров модели представлен в табл. 4.

В результате использования программы «Поиск решения» (надстройка Excel) осуществляется оптимизация транспортного плана.

При заполнении формы «Поиск решения» получаем следующее:

При введении ограничения двоичности может возникнуть сложность в введении этого параметра. Поэтому необходимо задавать его следующим образом:

Параметры «Поиска решения» приведены на рисунке:

В итоге получается следующий результат (см. рис. на стр. 215).

Задача для самостоятельного решения

Продемонстрируем возможность фактического применения рассмотренного алгоритма на практическом примере. Одна из крупных дистрибьюторских компаний Санкт-Петербурга ООО «Холдинг78», осуществляющая поставку продуктов питания в магазины города и Ленинградской области, использует для перевозки арендованный подвижной состав. Поскольку ежедневно данная компания обслуживает до полутора тысяч клиентов, что вызывает серьезные проблемы при формировании маршрутов, весь город разбит на зоны обслуживания и секторы развозки. Перед диспетчерами, занимающимися формированием маршрутов, ставится задача – обслужить всех клиентов, используя минимальное количество подвижного состава.