Открытие без границ. Бесконечность в математике

Проанализируем эту статью не с лингвистической, а с математической точки зрения и постараемся как можно ближе подойти к истинному значению этого слова.

Первое определение гласит, что бесконечность — это нечто, не имеющее конца, пределов. Сделаем несколько замечаний. Во-первых, обратим внимание на тонкое различие: когда мы говорим, что бесконечность не имеет конца, то мы утверждаем, что она существует и у неё отсутствует конец. Когда мы говорим, что бесконечность не может иметь конца, то утверждаем, что если она существует, то её предел недостижим. Вам может показаться, что это различие несколько натянуто, однако в нём проявляется разница между потенциальной и актуальной бесконечностью — двумя понятиями, о которых мы подробнее поговорим чуть позже.

Во втором определении речь идёт скорее о чувствах и ощущениях. Третье определение ближе всего к строгому математическому определению бесконечности. Обратите внимание на знак бесконечности, об истории возникновения которого мы поговорим далее.

Когда мы говорим «вечная любовь», то имеем в виду временной аспект бесконечности. Если же мы скажем, что Вселенная бесконечна, то речь идёт о её пространственном аспекте. Это определение по-прежнему расплывчато и по ощущениям напоминает вид звёздного неба в безлунную ночь: его чернота кажется нам беспредельной. Поэтому очевидно, что если мы хотим говорить о бесконечности, то первое, что мы должны сделать, — это выбрать в качестве отправной точки некий конкретный объект, и, хотя это может показаться парадоксальным, поскольку математика носит абстрактный характер, лучшей отправной точкой станет ряд натуральных чисел.

Как известно, нет ничего более «натурального», чем натуральное число, и в любой развитой культуре известен ряд чисел 1, 2, 3, … Когда заканчивается этот ряд? Разумеется, никогда. Но почему? Потому что мы всегда можем прибавить к последнему числу единицу и получить следующее число. Как вы увидите чуть позже, за этим ответом скрывается достаточно точное определение понятия «бесконечность». Как бы то ни было, ответ «никогда» имеет в том числе временной аспект.

Точно так же можно сказать, что мы «всегда» сможем добавить к этому ряду ещё одно число. Если мы будем приписывать к натуральному ряду числа, держа в руке часы, то увидим, что не только этот ряд, но и время, затраченное на его написание, будут бесконечно большими, что часто становилось причиной серьёзных неудобств при изучении бесконечности.

* * *

ЗНАК БЕСКОНЕЧНОСТИ

Круг, изображаемый на иконах над головами святых, символизирует вечность. Латинское слово caelum означает и «небосвод», и «круг». Эта бесконечная кривая, которую можно обойти бесконечное число раз за бесконечное время, символизирует вечность. Аналогично в некоторых языческих верованиях в качестве символа святости вместо круга использовался знак бесконечности. В большинстве версий карт Таро на первой карте над головой Мага изображён знак бесконечности. Этот символ, который многие ошибочно называют «перевёрнутой восьмёркой», представляет собой так называемую «лемнискату Бернулли». Он был введён британским математиком Джоном Валлисом (1616–1703). Согласно другой версии, этот знак происходит от буквы М (обозначавшей тысячу), написанной курсивом, и Валлис, который также был филологом, начал использовать этот знак для обозначения очень больших чисел.

На карте Таро над головой Мага изображён знак бесконечности.

Очень большое и очень малое

Проведём небольшой мысленный эксперимент. Предположим, что у нас есть мяч, который обладает следующими свойствами: всякий раз, когда он падает на пол, он отскакивает на высоту, в два раза меньшую, чем высота, с которой он упал. Если, например, мяч упал с высоты двух метров, он отскочит от пола на метр, затем на 50 см и т. д. Допустим, что нам нужно решить следующую задачу. Мы бросаем мяч с высоты 10 м. Какое расстояние пройдёт мяч к тому моменту, когда он остановится? Нельзя сказать, что эту задачу невозможно решить, ведь мы понимаем, что в определённый момент мяч перестанет подпрыгивать — он не может подскакивать вечно. С другой стороны, можно предположить, что пройденный им путь будет бесконечно большим, так как делить пополам можно бесконечно, и всякий раз результатом деления будет всё меньшая и меньшая величина. Это типичный парадокс, связанный с бесконечностью (далее мы рассмотрим его подробнее), в котором фигурирует новое для нас понятие бесконечно малой величины.

Остановится мяч или же он будет бесконечно долго подпрыгивать на бесконечно малую высоту?

Следовательно, мы можем представить себе бесконечность не только как нечто необъятное, но и как нечто бесконечно малое. Представьте себе отрезок, разделённый на две части. Каждую из них, в свою очередь, можно разделить ещё на две части и т. д. По крайней мере теоретически мы можем делить отрезок бесконечное число раз и всякий раз будем получать всё более и более мелкие отрезки. Есть ли этому предел? Нет, ведь подобно тому, как мы всегда можем добавить ещё одно число к натуральному ряду, так и в этом примере мы всегда можем разделить полученный отрезок ещё раз. Таким образом, «бесконечность» может относиться как к чему-то бесконечно большому, так и к бесконечно малому.

Апейрон

Первые рассуждения или размышления о бесконечности, как и о других важнейших понятиях философии, берут начало в древнегреческой культуре. Как известно, одной из многих заслуг греческих философов было создание собственного философского языка. Они обозначали идеи конкретными словами, сформировав философскую терминологию, такую же точную, как научная терминология (или даже более точную), так как в конечном итоге последняя произошла от первой. В нашем случае ключевым понятием является «апейрон» — слово, происходящее от греческого , что означает «предел». Следовательно, нечто, не имеющее , называется апейрон — «бесконечное, беспредельное».

В греческой философии это «беспредельное» приобрело особое значение: под ним понималось не столько нечто неограниченное, как в наши дни, а источник всего сущего. За этим понятием скрывалась следующая идея: всё сущее определяют прежде всего его пределы. Эта идея распространялась как на живые, так и на неживые объекты. Если мы представим себе произвольный объект, например стол, то первое, на что мы обратим внимание, — это не его назначение, а границы, которые отделяют его от всего остального. Живая клетка существует потому, что у неё есть мембрана, отделяющая её от окружающей среды. Таким образом, можно утверждать: всё на свете существует в своих пределах и благодаря им. Апейрон подобен некой неопределённой субстанции, в которой зародилось всё сущее, когда в этой субстанции возникли границы, или пределы. Как следствие, причина существования апейрона — скорее присутствие чего-то неопределённого, нежели безграничного.

Поэтому неудивительно, что апейрон считался не только источником живительной силы — ему также приписывалась способность наделять вещи определёнными свойствами. Так апейрон и, как следствие, представление о бесконечности в различных религиозных учениях стали связывать с Богом.

Возникла некоторая неоднозначность и даже противоречие: апейрон как основа всего сущего связан с первородным хаосом, то есть с чем-то плохим, нежелательным, чем-то, что не является частью нашего существования. Отсюда и неоднозначность понятия «бесконечность»: его можно связывать как с чем-то божественным и недостижимым, так и с чем-то беспорядочным, хаотичным — чистым злом.

Об этой негативной трактовке бесконечности, сохранившейся в нашей культуре, Хорхе Луис Борхес писал:

«Существует понятие, искажающее и обесценивающее другие понятия. Речь идёт не о Зле, чьи владения ограничены этикой; речь идёт о бесконечности».

Другая трактовка понятия «апейрон», которая ближе к примитивной трактовке бесконечности, связана с евклидовым пространством, то есть с безграничным геометрическим пространством. Следуя логике Платона, Аристотель не верил в существование бесконечного пространства. Он считал, что пространство — это место, которое может быть занято предметом, вне зависимости от того, находится в нём сейчас какой-либо предмет или нет. Следовательно, бесконечное пространство может быть занято бесконечно большим предметом, что невозможно.

В рамках этой логики считалось, что звёзды и планеты движутся по идеальным окружностям, так как их движение непрерывно, и если бы их траектории были прямолинейными, то они были бы бесконечно протяжёнными. Это представление о мире впоследствии перенял Коперник и даже сам Кеплер, которые разделяли эту точку зрения на пространство и бесконечность.

В Элейской школе, к которой принадлежали Парменид (530–460 гг. до н. э.) и Зенон (490–430 гг. до н. э.), реальность, Вселенная не могли иметь начала, а следовательно, и конца. Об этом Парменид писал: «…Всё едино, недвижимо и бесконечно, так как по другую сторону его предела находилась бы пустота». Это заводит нас в тупик, поскольку пугающая бесконечность в этом случае сменяется столь же пугающей пустотой.