Паскаль

10

Известно, что де Мере предлагал Блезу другие вопросы — связанные с «умом математическим» и менее «высоким» знанием. Кавалер, как и его друг Миттон, был большим любителем азартных игр и знакомил Паскаля с проблемами, возникавшими в различных игровых ситуациях. А между тем большинство задач, оказавших существенное влияние на зарождение и первоначальное развитие теории вероятностей, связано преимущественно с азартными играми, которые давали удобные схемы для описания вероятностных явлений. Самыми распространенными азартными играми в то время были игры в кости в виде кубов с точками (от одной до шести) на каждой грани. Подсчетом количества благоприятных шансов и неблагоприятных исходов при бросании нескольких игральных костей занимались в XVI веке известные итальянские математики Кардано, Тарталья и некоторые другие ученые. Однако их вычисления не были построены на точных умозаключениях. Более полный и строгий анализ этой задачи сделал Галилей в «Рассуждении об игре в кости», в котором, в частности, решал задачу, почему при бросании трех костей в длинной серии проб цифра 11 выпала 108 раз, а цифра 12 — только 100 (по условию выигрывает тот, у кого общее количество очков превышает десять). Галилей показал, что те шесть способов, которые дают и одиннадцать и двенадцать очков, на самом деле неравноценны, так как, например, сочетание с тремя одинаковыми очками (4+4+4) встречается гораздо реже сочетания с двумя одинаковыми очками (5 + 5 + 2) и т. п. На основе более строгого учета сочетаний Галилей определил 27 вариантов выпадения цифры 11 и 25 — цифры 12, что пропорционально результатам серии. Время создания «Рассуждения...» не установлено, а опубликовано оно было лишь в XVIII веке, поэтому считается, что работа Галилея никак не повлияла на основателей теории вероятностей Паскаля и Ферма. «Наука о вероятности родилась, — пишет известный математик Пойа, — когда Паскаль и Ферма начали изучать азартные игры».

Во времена Людовика XIII азартные игры стали подлинной общественной страстью, которая заставляла скучающих аристократов и богатеющих буржуа проигрывать целые состояния. Появлялись даже подпольные игорные дома, эти «новые публичные академии, где в подражание знати говорят лишь об игре на пистоли» и где, «кроме разорения множества семейств, совершаются бесконечные злодеяния». Несмотря на королевские указы и большие штрафы (около десяти тысяч ливров), подобные дома продолжали процветать.

В этих домах и аристократических особняках возникали одинаковые затруднения, вызывавшие бурные споры. Среди них встречались и две задачи, предложенные Блезу кавалером де Мере.

Первая задача довольно проста, и ее решили одновременно Паскаль, Ферма, Роберваль и сам де Мере. Она заключалась в следующем: сколько раз надо бросать две игральные кости, чтобы шансы «прозвонить» («Звоните, дьявол умер!» — вскрикивали игроки при выигрыше), то есть в данном случае выбросить сразу две шестерки, превысили вероятность обратного результата. Различные сочетания шести граней двух костей дают в общей сложности 36 цифровых комбинаций, но только одна из них может дать двойную шестерку. Следовательно, при единократном бросании имеется один шанс «умертвить дьявола» против 35. При увеличении числа бросков в два раза соответственно увеличивается количество возможных комбинаций (362) и неблагоприятных результатов (352). Вычитая число неблагоприятных исходов из числа всех возможных комбинаций, получаем число благоприятных результатов (36n—35n). И количество бросков должно увеличиваться до тех пор, пока эта разница не превысит числа неблагоприятных результатов, что обнаруживается начиная с n = 25. Таков был результат, найденный одновременно несколькими исследователями.

Другая задача, предложенная де Мере Паскалю, гораздо сложнее. Необходимо найти справедливое распределение ставок между игроками, если игра, состоящая из ряда партий, прервана. Еще в конце XV века ее рассматривал итальянский математик Лука Пачоли, считавший, что ставки должны быть разделены пропорционально числам партий, выигранных каждым к моменту прекращения игры. Кардано справедливо возражал, что в таком случае не учитываются шансы, связанные с общим количеством партий, которые по предварительному условию необходимо было выиграть, но верного решения не дал. Блез познакомил с этой задачей Ферма и Роберваля. Последний, по словам Лейбница, не мог или не хотел понимать вероятностную проблематику и не справился с задачей, а Паскаль и Ферма нашли верный результат в своей переписке, составившей еще одну любопытную эпистолярную главу математики. 29 июля 1654 года Блез отвечает на письмо тулузца с изложением метода Ферма, переданное через Каркави (оно утеряно).

Благодаря своего корреспондента и высоко отзываясь о его методе, Блез предлагает собственный. Сначала он приводит конкретный пример, когда два игрока ставят по 32 пистоли на следующих условиях: кто первым выиграет три партии, берет обе ставки. Если предположить, что первый игрок уже выиграл две партии, а второй — одну и что играется четвертая партия, то в таком случае возможны следующие варианты: выигрыш первого игрока приносит ему 64 пистоли, а второму — ничего; выигрыш второго дает каждому по 32 пистоли (при прекращении игры). Но если они решили не проводить четвертую партию, то как разделить ставки? Первый игрок, пишет Блез, учитывая возможные результаты четвертой партии, должен сказать: «32 пистоли мне обеспечены, ибо даже в случае проигрыша я их получил бы, но остальные 32 с равными шансами могу иметь и я, и вы; таким образом, разделите их пополам и дайте мне, кроме того, еще верные 32 пистоли». Следовательно, первому игроку достанется 3/4ставки (48 пистолей), а второму — 1/4(16 пистолей). (Сравним с рассуждением Пачоли, согласно которому первый получил бы 2/3 ставки, а второй — 1/3.)

Затем Блез разбирает другой вариант раздела ставок, когда первый игрок уже выиграл две партии, а второй не выиграл ни одной. Если бы игралась третья партия, то были бы возможны два исхода: выигрыш первого игрока давал бы ему все 64 пистоли, а выигрыш второго приводил бы раздел ставок к предшествующему случаю (первому — 48, а второму — 16 пистолей). Если же решено прервать игру перед третьей партией, то первый игрок должен сказать: «При выигрыше третьей партии мне достанутся все 64 пистоли, при проигрыше ее мне законно принадлежат 48 пистолей; следовательно, дайте мне эти 48 пистолей, а остальные 16 разделим пополам, ибо у нас равные шансы выиграть их». Таким образом, первому игроку достанется 7/8 ставки (56 пистолей), а второму — 1/8 (8 пистолей).

Наконец, Блез переходит к третьему варианту разделения ставок, когда первый игрок выиграл одну партию, а второй не выиграл ни одной. Розыгрыш следующей партии мог бы дать два результата: победа первого игрока давала бы ему, как в предыдущем случае, 56 пистолей, а победа второго приводила бы к равному распределению ставки (каждому по 32 пистоли). Если же вторая партия не разыгрывается, то первый игрок должен сказать: «Дайте мне 32 уже обеспеченные пистоли, а оставшиеся от 56, то есть 24, разделим пополам. Следовательно, мне принадлежат 32 + 12 = 44 пистоли». Таким образом, первому игроку достанется 11/16 ставки, а второму — 8/16 (20 пистолей).

Паскаль делит ставку пропорционально вероятности выигрыша при различных вариантах продолжения игры и фактически пользуется теоремами сложения и умножения вероятностей, а также понятием математического ожидания. Его метод, пишет Эмиль Пикар, удивительно прост: «Составляя уравнение с конечными остатками, он изобретает один из двух аналитических методов подсчета вероятностей. Другой метод, основанный на комбинаторной теории, был дан одновременно Ферма. Такая любопытная переписка между двумя великими умами делает нас свидетелями зарождения первых принципов исчисления вероятностей».

Комбинаторный метод Ферма, который в письме к Каркави от 9 августа 1654 года выражал бесконечное восхищение талантом молодого Паскаля и считал его способным довести до успешного конца любые начинания, известен из послания Блеза знаменитому тулузцу, датированного 24 августа 1654 года. В нем, в частности, приводится пример решения Ферма третьего варианта Паскалева разделения ставки, когда первый игрок выиграл одну партию, а второй не выиграл ни одной. Тулузец исходит из вероятности выигрыша всей игры: для ее окончания максимально потребовалось бы еще четыре партии, и он рассматривает возможные комбинации (их всего шестнадцать) результатов этих четырех партий, которые можно записать следующим образом (выигранные первым игроком партии обозначаются знаком +, выигранные вторым — знаком —):

Только в пяти последних исходах победителем оказывается второй игрок, одиннадцать же первых благоприятны для выигрыша его соперника. Следовательно, первый игрок должен получить 11/16 ставки, а второй — 5/16.

Полученный разными методами одинаковый результат заставляет Блеза в письме к Ферма высказать свое удо-

вольствие по поводу того, что «истина одна и та же и в Париже и в Тулузе». Хотя в процессе переписки выявились некоторые расхождения, они быстро устранились, и 27 октября 1654 года Паскаль отвечает своему корреспонденту: «Ваше последнее письмо меня полностью удовлетворило. Я восхищаюсь вашим методом раздела ставки, тем более что вполне его понимаю; оп целиком ваш, не имеет ничего общего с моим и легко приводит к той же цели. Итак, наше взаимопонимание восстановлено».

Известный историк математики Цейтен пишет, что задача де Мере позволила Паскалю и Ферма нащупать общие принципы подобного рода исследований. «Найденные дроби 11/16 и 5/16, — отмечает Цейтен, — величины, которые мы теперь называем вероятностями выигрыша А или Б; это частное от деления числа случаев, благоприятных для А или Б, на число всех возможных случаев. Таким образом, этим понятием вероятности пользовались, по существу, уже в то время, хотя ему не дано еще было четкого определения».

Более четкое и общее определение дал Гюйгенс, занявшийся вероятностными проблемами под влиянием сообщений об исследованиях Ферма и Паскаля, который в изданном в 1657 году сочинении «О расчетах в азартных играх» своеобразно (под влиянием коммерческой терминологии) сформулировал и систематически использовал понятие математического ожидания: «Если число случаев, в которых получается сумма а, равно р и число случаев, в которых получается сумма b, равно q и все случаи могут получиться одинаково легко, то стоимость моего ожидания равна (pa+qb)/(p+q)».