По следам сенсаций

Сегодня атомистические представления отвергнуты математикой. И хотя приведённое геометрическое истолкование широко практикуется в преподавании, уже почти никто не объясняет ΔS/Δt по Лейбницу — как отношение бесконечно умаляющихся «дельта эс» и «дельта тэ». Ибо можно обойтись вообще без геометрических построений. Можно просто исключить «дельта тэ» из знаменателя путём чисто формальной процедуры.

«Чисто формальной» — значит не прибегающей к интуитивным представлениям. В нашем случае к зримым моделям — чертежам.

Надо сказать, что все графические построения геометрии опираются именно на интуицию, на чувственный опыт. В том числе и наша картинка с трассой стрелы, с треугольничком, с тангенсом угла наклона касательной, с Аполлоном, Пифоном и прочими образами «живописного искусства» геометрии. (Куда завело Лейбница чрезмерное доверие к подобным геометрическим аналогиям, мы уже знаем). Но в том-то и дело, что математический анализ вовсе не обязан исходить из графических построений! Оперируя собственным набором правил и символов, он в состоянии формулировать свои выводы совершенно независимо от геометрии, хотя, впрочем, многие утверждают, что без интуитивных представлений математике всё равно не обойтись. Как бы там ни было, графики играют лишь вспомогательную роль: они наглядно истолковывают сложные понятия, а это всегда облегчает восприятие. К сожалению, не все понятия доступны нашей интуиции. Формально описывать их мы можем, а вот зримо вообразить себе — увы… Так ведь это-то противоречие и подметил Зенон! Конечно, представить себе Диогена, дефилирующего перед носом искусителя, — дело пустячное. Можно даже нарисовать траекторию этой самоуверенной демонстрации здравого смысла — скорей всего она будет прямолинейной. Увы, чересчур прямолинейной. Ибо нарисовать и «обсчитать» её по всем правилам формальных процедур мало. Элеаты ждали ответа на вопрос: как из неуловимых моментов покоя складывается движение?.. А из непротяженных точек протяжённый отрезок — трасса той же стрелы? Дискретно или непрерывно пространство? Как представить себе структуру подобных совокупностей точек?

Правда, нельзя отказать опровергателю Зенона в остроумии. Но и в наивности тоже: неужто он всерьёз полагал, будто молчаливая апелляция к житейскому опыту обезоружит элейских «нигилистов»? Она ещё в древности считалась неубедительной: дело-то шло о математической сущности движения, а не о его физической видимости. Впрочем, только ли в древности?

«Движение есть сущность времени и пространства, — говорил Ленин. — Два основных понятия выражают эту сущность: (бесконечная) непрерывность и «пунктуальность» (= отрицание непрерывности, прерывность). Движение есть единство непрерывности (времени и пространства) и прерывности (времени и пространства). Движение есть противоречие, есть единство противоречий».

«Ещё со времён Зенона и его парадоксов, — продолжают Р. Курант и Г. Роббинс, — все попытки дать точную математическую формулировку интуитивному физическому или метафизическому понятию непрерывного движения были безуспешными. Нет затруднений в продвижении, шаг за шагом по дискретной последовательности значений а₁ а₂, а₃… Но когда приходится иметь дело с непрерывной переменной х, пробегающей целый интервал значений на числовой оси, то описание того, как х «приближается» к заданному значению xi, затруднено тем, что принимаемые значения из интервала не могут быть указаны последовательно в порядке их возрастания. В самом деле, точки прямой представляют везде плотное множество, и не существует точки, «следующей» за данной. Остаётся неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать её основные линии в научных, логических терминах, Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие».

Парадоксально, но факт налицо: понятие «дифференциал» и тесно связанное с ним понятие «интеграл», взращённые на атомистической почве, противоречат всему строю нынешней математики, пронизанной идеей непрерывности! Как же быть?

Вот прогноз профессора Лурье: «Несомненно, что в будущем математика, если она будет построена на принципе непрерывного, либо откажется от этой почтенной реликвии и научится обходиться исключительно лишь ясными и отчётливыми понятиями производной, первообразной функции и предела суммы (эту попытку сделал ещё Лагранж), либо лучше приспособит отжившие понятия «дифференциал» и «интеграл» к современным математическим взглядам, покончив с последними следами атомистических представлений».

Хотелось бы обратить внимание читателя на одну лишь, мысль этого интереснейшего пророчества: вместо бяки интеграла, этой «почтенной реликвии атомистической эпохи», предлагается обойтись понятием предела суммы. Но так ли уж оно отчётливо и ясно? И не Зенон ли первый подметил внутреннее противоречие, присущее этому понятию?

«В последнее время, — утверждает профессор С, А. Богомолов в книге «Актуальная бесконечность», — уточняя понятия анализа, мы удалились от Ньютона. Логическое совершенствование способа пределов вновь привело к торжеству Зеноновых апорий, разве что слова «Ахилл не догонит черепаху» на современный язык перевели бы так: переменная не достигает своего предела».

И далее: «Знаменитые апории Зенона Элейского более 2000 лет привлекают к себе внимание учёных и философов; все снова и снова стараются их опровергнуть… Пройти мимо апорий Зенона, объявив их пустыми софизмами, было бы совершенно неправильно, здесь элейская школа с необыкновенной силой и глубиной критиковала возможность движения, а ведь понятие движения лежит в основе всей нашей техники…

Созданный Ньютоном современный анализ оказался могучим средством и для теоретических и для практических приложений. Между тем аргументы Зенона против основных понятий математики и механики, несмотря на многочисленные попытки их опровергнуть, оставались неопровергнутыми.

Во второй половине XIX столетия, вообще подвергшего основы математики тщательному пересмотру, появились работы немецкого учёного Георга Кантора. Учение Кантора пролило новый свет на апории Зенона и объяснило в них то, что вообще поддаётся объяснению. Но было бы поспешным утверждать, что оно опровергло их до конца…»

Теория множеств Кантора действительно заставила по-новому взглянуть на каверзные апории Зенона. Она выявила качественное различие между бесконечностями. В чём же оно, это различие?

Нанесите на листок миллиметровки две точки. Дистанция между ними, очевидно, конечна. Тем не менее ограниченный ими отрезок прямой вмещает в себе бесконечность. И даже не одну.

Поставьте посередине между двумя точками третью. Точно так же поделите надвое каждую из половинок, затем четвертушек, осьмушек и т. д. Всё плотнее и плотнее будут ложиться точки. Но вам так и не удастся превратить ваше многоточие в сплошную линию, даже если бы вы каким-то чудом обрели вдруг бессмертие. «Татуирование» бумаги будет длиться вечно. Ибо ни одна из ваших точек-середин не станет последней. Всегда можно сделать следующий шаг — поделить пополам только что полученные отрезочки, сколь бы малы они ни были.

Однако предположим, что всё бесчисленное множество наших точек-середин уже имеется «в наличии», так что нам не нужно получать его бесконечным рядом шагов. Получилась вроде бы сплошная линия, без пустых промежутков между точками. Тем не менее мы можем продолжить «иглоукалывание», но уже иным способом: будем делить первоначальный отрезок не пополам, а на три части, затем на девять частей, двадцать семь и так далее. Мы получим новое бесконечное множество, причём для любой точки этого нового множества найдётся место на отрезке, не занятое точками прежнего множества. Такой же результат получится и при делении отрезка на 5 частей, 25, 125 и так далее; на 7, 49 и т. д. Коротенький отрезочек, а способен вместить сколько угодно таких бесконечных множеств!

Пусть теперь нам удалось «вытатуировать» на миллиметровке линию, составленную из всех без исключения рациональных точек. Оно будет, как скажет математик, «всюду плотным». Иначе говоря, на нашем отрезке не найдётся такого места, где бы, мы не встретили какую-нибудь из точек нашего множества. И тем не менее рациональные точки не покрывают всего отрезка целиком! Не верите?

Давайте построим такой квадрат, чтобы его диагональю служил наш отрезок, ограниченный двумя делениями миллиметровки. Возьмём сторону квадрата и уложим её на диагональ, совместив левые концы отрезков. Тогда правый конец стороны квадрата опять-таки придётся аккурат на «вакантное» место! Перед нами иррациональная точка. И таких точек на нашу диагональ можно «перенести» со стороны квадрата сколько угодно. Например, середина стороны квадрата, середины обеих половинок, затем четырёх четвертушек и так далее — всё это иррациональные точки. Совершенно очевидно, что полученное таким путём множество будет бесконечно большим. Точки, полученные делением стороны квадрата на три, на девять, двадцать семь долек и так далее, тоже окажутся иррациональными и тоже дадут бесконечное множество. Аналогичная процедура осуществима и с остатком диагонали, не прикрытым стороной квадрата. И для любой точки каждого из этих новых бесконечных множеств найдётся своё место на отрезке. Место, не занятое рациональными точками! Это выглядит потрясающе: ведь множество рациональных точек всюду плотно — и вдруг содержит «пустоты», уготованные для иррациональных точек! Неспроста, знать, открытие иррациональных точек, сделанное в глубокой древности, привело в замешательство античных геометров. И опять-таки никакая интуиция не поможет нам отличить соседние точки — рациональную и иррациональную — или установить порядок их чередования. Абстрактно мыслить, формально описывать подобное геометрическое сообщество (континуум) мы можем, но представить в зримых образах… Математики уверяют, что это вообще недоступно нашей интуиции. А ведь мы каждый день видим континуум! Перекладинка типографской литеры на этой странице, траектория зеноновской стрелы, маршрут Диогена — словом, любой конечный отрезок или бесконечная линия — всё это континуумы, непрерывные последовательности всех рациональных и иррациональных точек, взятых в их неразрывной совокупности. И одно из кардинальнейших свойств континуума — его несчётность. Это замечательное открытие принадлежит Кантору.