Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение

128

(1'). Пусть a и b — два элемента С такие, что φ(а) = φ(b). Мы хотим доказать, что а = b. Сначала применим закон сокращения (см. стр. 58) и перепишем равенство в виде φ(а) *φ(b)^{– 1} = е_H. Так как φ — гомоморфизм, ф(b)^{– 1} совпадает с φ(b^{– 1}) и φ(а) · φ(^{– 1}) = φ(а * b^{– 1}). Следовательно, φ(а * b^{– 1}) = e_H и из (1') следует, что а * b^{– 1}= e_G. Умножив обе части на b, получим, что а = b.

В ходе доказательства полезно отметить: чтобы показать, что данный гомоморфизм двух конечных групп одного и того же порядка (то есть для групп с одинаковым числом элементов) — это изоморфизм, достаточно проверить, что выполняется всего одно из двух свойств (инъективность или сюръективность), и второе будет выполняться автоматически (докажите это утверждение самостоятельно).

Также упомянем следующее предложение.

Предложение. Гомоморфизм ф: С → Н является изоморфизмом тогда и только тогда, когда существует другой гомоморфизм ψ: G → Н такой, что результатом последовательного применения φ и ψ является тождественное преобразование на группе G (то есть преобразование, которое оставляет все элементы С неизменными); это же верно для композиции φ и ψ на группе Н.

Для данного φ функция ψ определяется как функция, которая каждому элементу h группы Н ставит в соответствие единственный элемент g группы G такой, что φ(g) = h.

Две группы G и Н называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм (обозначается G ≃ Н).

Теперь мы можем доказать теорему о структуре групп. Пусть G — конечная абелева группа, порожденная двумя элементами. Наша задача — определить изоморфизм между G и циклической группой либо прямым произведением двух циклических групп. Вначале мы покажем: всегда можно выбрать два порождающих элемента так, что порядок одного из них будет делителем порядка другого.

Как выбрать порождающие элементы

Начнем с леммы о циклических группах, порядок которых равен произведению двух взаимно простых чисел. Далее для простоты в нижнем индексе нейтральных элементов мы не будем указывать группу, к которой они принадлежат, а элементы, над которыми выполняется операция *, будем просто записывать рядом друг с другом.

129

Лемма 1. Допустим, что порядок элемента а можно записать как n — mr, где m и r — взаимно простые числа. Тогда группа <а> изоморфна прямому произведению циклических групп <а^m> и <а'>, которые имеют порядок r и m соответственно.

Так как m и r взаимно простые, по соотношению Безу (см. стр. 91) обязательно существуют два целых числа u и v такие, что um + vr = 1. Определим отображение

φ:<a>→ <а^m> × <a'>,

которое ставит в соответствие элементу а группы <а> пару ((a^m)^ui,(a^r)^vi). Так как а имеет порядок n, получим, что аⁱ = а^i+kn для любого целого k. Первое, что нужно доказать — отображения φ для аⁱ и а^i+kn совпадают. Для этого заметим, что

(a^m)^u(i+kn) = (a^m)^ui(aⁿ)^ukm = (a^m)^uie^ukm = (a^m)^ui

так как аⁿ = е. Это же верно и для второй составляющей. Следовательно, можно заключить: φ(аⁱ) = φ(а^i+kn). Отображение определено полностью. Теперь покажем, что это отображение является гомоморфизмом групп. Условие φ(е) = е не представляет никаких затруднений: подставив i = 0 в расчетную формулу φ, получим

φ(e) = φ(a⁰) = ((a^m)⁰, (a^r)⁰) = (e, e) = e.

Рассмотрим второе условие:

φ(aⁱa^j) = φ(a^i+j) = ((a^m)^u(i+j), (a^r)^u(i+j)) = ((a^m)^ui(a^m)^uj, (a^r)^vi(a^r)^vj) = ((a^m)^ui(a^r)^vi, (a^m)^ui(a^r)^vi) = φ(aⁱ) φ(a^j),

так как в прямом произведении двух групп все действия выполняются почленно (см. стр. 70). Это доказывает, что φ — гомоморфизм. Докажем, что φ — изоморфизм.

Для этого заметим, что <а> и <а^m> х <а^r> — группы одного порядка. В самом деле, элементы а^m и а^r имеют порядок r и m соответственно, так как

(а^m)^r = (а^r)^m == a^mr = aⁿ

а элемент а имеет порядок n по условию. Следовательно, порядок <а^m> х <а^r> равен произведению r и m, то есть n, и равен порядку <а>.

130

С учетом этого достаточно доказать, что φ обладает инъективностью, то есть из φ(аⁱ) = е следует аⁱ = е. Если φ(аⁱ) — нейтральный элемент, то а^mui = а^rvi = е. Это означает, что n является делителем mui и rvi, следовательно, n также будет делителем суммы этих чисел. Но по соотношению Безу имеем mui + rvi = (mu + rv)i = i. Следовательно, n является делителем i, что равносильно аⁱ = е, следовательно, отображение φ является инъективным. Лемма доказана.

Обратите внимание, что верно и обратное: если r и m — взаимно простые числа, то прямое произведение двух циклических групп порядка r и m изоморфно циклической группе порядка гш, так как лемма устанавливает изоморфизм между ℤ/r х ℤ/m и ℤ/rm. Теперь посмотрим, как можно использовать эту лемму для выбора порождающих элементов G таким образом, чтобы порядок одного из них был делителем порядка другого. Выберем два порождающих элемента а и b произвольным образом.

Напомним: так как G коммутативная группа, все ее элементы можно представить в виде aⁱbⁱ, где i и j — целые числа, которые удовлетворяют условию 0 < i < порядок (а) и 0< j < порядок (b) (см. стр. 72).

Это же условие можно выразить другим, более сложным способом: функция <а> × <b> → G, которая ставит в соответствие пару (аⁱ, bⁱ) элементу aⁱbⁱ группы G, является сюръективной. Разумеется, основная сложность заключается в том, что нет никакой причины, по которой эта функция также должна быть инъективной.

Следовательно, запись аⁱbⁱ может быть не единственной, и если мы рассмотрим все члены аⁱbⁱ, то некоторые элементы G будут учтены более одного раза. Об этой проблеме мы поговорим чуть позже.