Пока алгебра не разлучит нас. Теория групп и ее применение

Вскоре мы забросили формализованную математику, но во всех работах неизменно оставляли своего рода путеводные знаки, чтобы при необходимости вернуться к ней. Следует понимать, насколько мы были увлечены строгими обозначениями, не оставлявшими места риторике. В нашем линейном повествовании запрещались любые отсылки к другим источникам, и в результате вещественные числа впервые объяснялись на трехтысячной странице.

ЛЕВИ-СТРОСС: Не противоречат ли этому исторические заметки, согласно которым Бурбаки имел обыкновение начинать каждую книгу «с чистого листа»?

ВЕЙЛЬ: Это другое. Обратите внимание, что название нашего трактата, «Начала математики», было выбрано не случайно. С одной стороны, мы понимаем математику как единое целое, с другой — сложно не заметить отсылку к «Началам» Евклида. Мы, подобно Евклиду, хотели создать труд, который не потерял бы актуальность на протяжении двух тысяч лет, а достичь этой цели можно было только при одном условии — обеспечив абсолютную полноту книги. Представьте, что люди будущего обнаружат одну из математических статей. В ней будет множество отсылок к другим текстам, многие из которых, скорее всего, окажутся утерянными, и сколь бы интересной ни была наша статья, в конечном итоге она оказалась бы бесполезной. «Начать с чистого листа» не означает отрицать существование математики до нас, ведь геометрия существовала и до Евклида. Напротив: наш трактат, подобно труду Евклида, должен был содержать все знания, известные на тот момент.

Но при упорядочении старых материалов часто обнаруживаются другие, новые.

Должен признаться, что добавить исторические заметки в конец каждого тома предложил я. Позвольте рассказать, почему я принял такое решение. Когда я поступил в Нормальную школу, оказалось, что научная библиотека работала по очень неудобному расписанию. Директор, устав выслушивать мои жалобы, назначил меня помощником библиотекаря. Я мог работать в библиотеке в любое время суток — от меня требовалось лишь минимальное присутствие на рабочем месте. Именно в библиотеке Нормальной школы я прочел труд Бернхарда Римана — в свое время я выучил немецкий, чтобы понимать, о чем говорят родители, когда хотят сохранить что-то в секрете от меня с сестрой. Прочтя труд Римана, я еще больше укрепился в мысли, которая пришла мне в голову после знакомства с трудами древних греков: во всей истории человечества важны лишь гении, а единственный способ познакомиться с ними — это прочесть их произведения. С тех пор я неизменно считал, что при изучении истории математики основное место следует отводить прочтению классических трудов, а не запоминанию никому не интересных дат.

ЛЕВИ-СТРОСС: Раз мы заговорили о великих математиках прошлого, я не могу не спросить вот о чем: вас не беспокоило, что их труды отличались меньшей строгостью и четкостью, чем ваши?

ВЕЙЛЬ: Вы правы, это была одна из самых больших опасностей. Допускаю, что мы не всегда умели держать дистанцию. Мне повезло: историю математики мне преподавал Макс Деи, один из двух человек в моей жизни, кто заставил меня думать о Сократе. Этот удивительный преподаватель считал, что математика — лишь одно из множества зеркал, в которых отражается истина (возможно, четче, чем в остальных). Он организовал во Франкфуртском университете семинар, где планировал читать великие труды с точки зрения их авторов, не требуя от математиков прошлого того, чего позволял достичь лишь современный формализм. Этим же путем я проследовал при работе над книгой об истории теории чисел: я изобразил математиков за работой, чтобы читатель смог понять, как мыслили мудрецы разных эпох, начиная от вавилонян эпохи Хаммурапи, записавших пифагоровы тройки на табличке Плимптон, и заканчивая Лежандром и его «Опытом теории чисел».

ЛЕВИ-СТРОСС: Это та книга, которая начинается с китайской каллиграммы?

ВЕЙЛЬ: Она самая! Я попросил моего коллегу, математика Шиинг-Шена Черна написать его прекрасным каллиграфическим стилем китайскую пословицу «Старый конь знает дорогу». Поэтому на следующей странице приведена фотография барельефа с гробницы императора Тай-цзуна с изображением коня. Я счел, что эта пословица прекрасно отражает мое решение заняться историей математики, так как с возрастом мне все сложнее было вести активную исследовательскую работу. Вы не представляете, сколько математиков в последние годы жизни пали духом из-за того, что утратили прежнюю остроту ума. Я не хотел разделить их участь и стал историком. Ну вот, я заговорил о старости. Миф, связывающий математику с юностью, правдив лишь отчасти: в самом деле, некоторые математики, прожив очень короткую жизнь, навсегда оставили след в истории, однако нельзя в точности сказать, в каком возрасте угасают творческие способности. Харди в своей «Апологии математика» называет возраст в 35 лет — не потому ли, что в этом возрасте он счел,

21

Китайская пословица «Старый конь знает дорогу».

будто уже никогда не сможет доказать новых теорем? Не будем далеко ходить за примером: я сам создал лучшие из своих трудов после 35.

ЛЕВИ-СТРОСС: Тем не менее «пенсионный возраст» для членов группы Бурбаки был четко определен.

ВЕЙЛЬ: А за тем, чтобы он неукоснительно соблюдался, следил я! Не помню, когда именно мы решили, что возраст членов группы не может превышать 50 лет.

Преемственность поколений стала одной из причин успеха Бурбаки: лучшие студенты из каждого выпуска присоединялись к группе на правах подопытных кроликов,

22

и многие из них позднее становились полноправными членами коллектива. Между ними и нами существовала огромная разница: нас обучали математике по-старому, а они были первыми, кто изучил математику по-новому; они были нашими учениками. Мне кажется, французская математика второй половины XX века не знала бы таких успехов без этой плеяды студентов, работавших над общими темами при подготовке книги.

ЛЕВИ-СТРОСС: Возможно, никто не ожидал, что в 50 лет умрет и сам Бурбаки.

ВЕЙЛЬ: На самом деле это неудивительно. Наше видение математики намного лучше соответствовало дисциплинам, проверенным временем, а не тем, что находились в процессе развития. Я мог бы дать структуре формальное определение, но чтобы вы лучше меня поняли, я воспользуюсь метафорой из мира архитектуры.

Между прочим, одна из самых известных книг Бурбаки носит название «Архитектура математики». Структура — это форма, количество и взаимное положение различных частей здания, связанных между собой соединительными элементами, которые обеспечивают прочность конструкции. Структура есть нечто абстрактное: к примеру, функция арки не зависит от того, из какого материала сделан ее свод.

Структуры в математике позволяют одновременно изучать все объекты с одинаковыми свойствами — структура учитывает не их природу, а отношения между ними.

Два объекта, внешне весьма различные, могут быть воплощениями одного и того же архетипа: если мы отбросим все излишества, останется структура, нечто инертное и неизменное. Мы, члены группы Бурбаки, решили описать все структуры с помощью теории множеств, однако, быть может, настало время переформулировать исходный вопрос, на который мы стремились найти ответ. Быть может, следовало задуматься над вопросом: существует ли математика по-прежнему как единое целое?

23

Глава 2 Элементарные структуры

Подобно математике и музыке, этнография — одно из немногих подлинных занятий. Вы можете открыть ее сами, даже если никто не обучал вас ей.

Леви-Стросс, «Печальные тропики»

ВЕЙЛЬ: Господин Леви-Стросс, должен признаться, меня удивляет, что такой умный человек, как вы, изучал философию.

ЛЕВИ-СТРОСС: Боюсь, то были ошибки молодости. Впрочем, я вскоре оставил философию и занялся этнологией. Вы же с годами стали философом. Или вы уже забыли о своей статье «От метафизики к математике»?

ВЕЙЛЬ: Я бы назвал ее «историей идей». Если бы вы прочли ее, то узнали бы, что математики XVIII века называли метафизикой ряд нечетких аналогий, которые не могли определить точно, но тем не менее применяли в своих исследованиях. Мне не кажется, что это большой комплимент в адрес философии.

ЛЕВИ-СТРОСС: Называйте ее как хотите, господин Вейль. В любом случае, я пришел к философии потому, что с детства был открыт разнообразию мира. Если у всех еврейских семей и есть какая-то отличительная черта (мы оба прекрасно это знаем), то это преклонение перед культурой, активная интеллектуальная деятельность, которая не пропадает даже тогда, когда забыты все религиозные обряды. Евреи не только становились «торговцами или раввинами», как гласит поговорка,— никакой торговец не хотел, чтобы все дети унаследовали его дело и никто из них не проявил себя в учении. Когда мне нужно было определить дальнейший жизненный путь, меня интересовало слишком многое: я разрывался между живописью, музыкой и изучением древностей. Но мой отец был художником, и я на себе ощутил все финансовые трудности, с которыми может быть связано это занятие. А чтобы стать музыкантом, я был недостаточно талантлив, хотя не отказался бы дирижировать оркестром. Я подумал, что если стану изучать философию, а не какую-то другую науку, то не слишком отдалюсь от своих любимых занятий.