Программирование игр и головоломок

(Это — величины площадей в квадратных метрах, предложенные учениками.) Преподаватель ставит 5 за верный ответ и 0 за неверный ответ. Один-единственный из учеников получил 0. Кто оказался первым? Вне всякого сомнения, вы можете сказать больше. Эта головоломка кажется мне особенно подходящей для ее решения на компьютере…

?? Головоломка 39. Другая головоломка Давида Гриса.

Пусть дан вектор, образованный n целыми числами. Подпоследовательностью этого вектора называется набор элементов, в котором индексы идут подряд. Найти подпоследовательность с максимальной суммой. Если вы предпочитаете другую формулировку, то найдите индексы i, j, для которых величина

a_i + a_i+1 + … + a_{j– 1} + a_j

максимальна. Внимание: время вычисления не должно расти намного быстрее, чем n, когда n увеличивается…

Эта головоломка до некоторой степени напоминает головоломку о возрастающих подпоследовательностях, но она гораздо менее сложна. Подумайте: линейная зависимость от n! Да ведь это, грубо говоря, означает, что каждый элемент вектора рассматривается только один раз. Вам следует составить цикл

 ДЛЯ i := 1 ШАГ 1 ДО n ВЫПОЛНЯТЬ … ВЕРНУТЬСЯ

И никаких циклов в этом цикле! В ответе вы получаете искомые индексы. Озадачивающе, не так ли? Я потерял на это немало времени. И тем не менее, какое простое решение!

Как вы находите?

Часть II. Первая помощь

У вас возникли затруднения, — вы не знаете, как приступить к игре или головоломке. Я не хочу предлагать вам готовое решение, иначе в чем будет удовольствие? Но, вероятно, нижеследующие указания наведут вас на правильный путь. Если бы я мог использовать дискетку вместо книги, я разложил бы эти указания на как можно большее число уровней, чтобы вы были в состоянии брать из них тот строгий минимум, который позволит вам продолжать решение. Но и в книге вы всегда можете прочесть только начало и — как только искра вспыхнет — отложить книгу и завершить решение самостоятельно.

Некоторые упражнения кажутся мне настолько очевидными, что я ничего про них не скажу. Но, конечно, это субъективная точка зрения: они могут не казаться очевидными вам. Может быть, потому, что вы не видите, в чем задача: разберите простые случаи вручную, В любом случае старайтесь сформулировать задачу с максимальной возможной полнотой, Если и после этого вы по- прежнему не видите, как вам ее охватить, поговорите с друзьями или с приятелями, Я умышленно не собираюсь сообщать вам все. Эта книга написана для того, чтобы вы стали программировать. Вам играть…

1. Случайные числа

Упражнение 2.

Нужно изучить поведение дробной части (x + a)⁸, когда x меняется от 0 до 1. Нарисуйте, хотя бы приближенно, кривую, представляющую эту функцию. Рассмотрите интервал на оси x, в котором значение функции меняется от некоторого целого числа до следующего за ним. Отметьте на кривой точку, в которой ордината равна этому целому, увеличенному на 0,5. Она разбивает область изменения x на два интервала. Равны ли между собой эти две половинки? Если одна из них больше другой — и если это одна и та же половинка для всех интервалов — то у вас больше шансов получать числа, меньшие (или большие, вам будет видно самим), чем 0,5.

Но что касается выбора a, то напомним, что следует избегать соотношения

дробная_часть ((x + a)⁸) = x,

иначе вы вместо случайной последовательности получите постоянную последовательность. Проверьте числа x = 0, x = 0,5 и x = 1.

Упражнение 4.

Вы располагаете генератором случайных чисел, дающим число, содержащееся между 0 и 1, и вы хотите получить случайным образом число между 1 и 6, включая границы. Тогда остается сказать, что вам нужно различать 6 случаев и приписать каждому из случаев значение одного из этих целых чисел.

Почему не разделить интервал (0, 1) на 6 частей?

Или еще по-другому: почему бы не умножить выше случайное число на 6. Тогда оно окажется в интервале (0, 6), исключая 6. Если вы возьмете целую часть результата, то вы получите целое число от 0 до 5, включая границы, с равными вероятностями для каждого числа… Завершить следует вам, я уже сказал слишком много!

Игра 1.

Если вы знаете, как сделать предыдущее упражнение, то это для вас уже не задача. Нужно подделать кости, иначе говоря — сделать так, чтобы одна из граней выпадала чаще остальных. Это должно означать, таким образом, что вместо того, чтобы делить интервал (0, 1) на 6 равных Частей, нужно взять 5 частей равных между собой, а шестую побольше. Легко! Наиболее простое решение состоит в умножении случайного числа на целое, большее 6, и в присвоении новых значений грани,_; которую вы решили предпочесть.

Элементарно, мой дорогой Ватсон!

Игра 2.

Х.-К. Байи упростил задачу, указав две возможные стратегии:

— бросать кость до тех пор, пока не будет достигнута некоторая намеченная заранее сумма (по крайней мере если игрок не будет остановлен по дороге выбрасыванием единицы);

— бросать кость определенное число раз, намеченное заранее.

В первом случае предположим, что уже имеющаяся у вас сумма равна n и что вы собираетесь осуществить еще одно бросание. У вас есть один шанс из 6 получить каждое из следующих шести чисел: 0, n + 2, n + 3, n + 4, n + 5, n + 6. Если вероятный выигрыш не увеличивает полного выигрыша (если среднее из этих чисел меньше n), то играть не следует. Вы должны получить n = 20.

Если вы бросаете кость 6 раз, то — поскольку все грани имеют равные шансы выпасть — вы должны проиграть. Это не слишком строгое рассуждение, но короткое… Если единица вам не выпала, то у вас один шанс из пяти получить числа от 2 до 6, что дает в среднем 4. За 5 ходов получаем 20. Это — еще один способ получить оценку для числа ходов.

Но есть и другие возможные стратегии. Вы можете, в частности, решить останавливаться в зависимости от того, какое из двух событий наступает первым: сумма, большая 19, или число ходов, равное 5.

Используйте ваш компьютер, чтобы произвести соответствующие опыты.

Если вы хотите взглянуть на это с точки зрения искусственного интеллекта, то вы можете также снабдить вашу программу механизмом самообучения. Вы помещаете в вашу программу три упомянутые выше стратегии. Розыгрыш определяет случайным образом ту, которая будет использована в каждой из партий. Вначале все три стратегии имеют равные вероятности. Если выбранная стратегия выигрывает, то вероятность ее применения увеличивается. Если она проигрывает, то ее вероятность уменьшается. Чем больше вы играете, тем чаще компьютер должен выигрывать. После очень большого числа партий полученные частоты применения стратегий скажут вам, какая из них является наилучшей.

Головоломка 1.

Это — нетрудная программа, разве что вы не взяли па себя заботу четко сформулировать задачу. Последовательность целых чисел, порождаемая этой программой, является так называемой возвратной последовательностью, каждый член которой полностью определяется значением предыдущего члена:

u_i = f(u_{i– 1}),

Сказать, что последовательность u_i становится периодической — то же, что сказать, что существует некоторое p, для которого

u_i+p = u_i

для достаточно больших i. Но если это выполняется для данного i, то

u_i+p+1 = f(u_i+p) = f(u_i) = u_i+1