Путешествие от частицы до Вселенной. Математика газовой динамики

Мы хотим узнать, сколько комбинаций частиц дает нам именно это распределение. У нас всего 200 частиц, из которых 50 находятся на первом уровне энергии.

Пронумеруем наши частицы от одного до 200. Сколько существует возможных комбинаций, при которых на этом уровне находятся 20 частиц? Чтобы выяснить это, воспользуемся стратегией, очень похожей на ту, что мы применяли с биномиальным распределением.

Для первой частицы у нас есть 200 возможностей — столько, сколько у нас частиц. Для второй — 199, поскольку первая уже выбрана; для третьей — 198, и так далее. В итоге у нас получится:

200·199·198·197·…·151 возможностей.

Нам нужно разделить общее число возможных комбинаций между 50 частицами, которыми мы располагаем, так же как мы это делали с выпадением орла или решки. Так как у нас 50 частиц, получаем 50·49·…·1 возможностей. Число возможностей равно:

Если мы повторим эту операцию для каждого значения энергии, то получим число конфигураций, совместимых с нашим распределением. Больцман доказал, что это число можно вычислить, пользуясь факториальными функциями:

С этим уравнением очень сложно работать, так как оно содержит факториальные функции, которые, при больших значениях N, дают в результате огромные числа. Однако мы можем примерно понять возможные прогнозы.

У нашего газа есть заданная энергия. Так как она ограничена с внешней стороны, суммарная энергия не может измениться. Если бы у нас было много частиц с очень большой энергией, нам пришлось бы выбрать много частиц с небольшой энергией, чтобы компенсировать это. Поскольку количество энергии ограничено, число частиц с большой энергией также ограничено. Мы можем сделать вывод, что существует мало комбинаций, при которых у большого количества частиц очень большая энергия. Точно так же, если бы у большого количества частиц была очень небольшая энергия, нам пришлось бы выбрать много частиц с большой энергией, чтобы компенсировать это. Это означает, что сокращается число вариантов и, следовательно, существует мало комбинаций со значительным числом частиц с очень большой или очень небольшой энергией.

* * *

ВЫВЕДЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ БОЛЬЦМАНА

Распределение вероятности Больцмана можно получить после серии операций с факториалами. Предположим, что у нас есть N₁ частиц с энергией первого уровня, N₂ — с энергией второго уровня, и так далее. Нас интересует число возможных комбинаций для помещения N₁ частиц в N мест. Для первой частицы у нас есть N вариантов, для второй (N — 1), и так далее до (N — (N₁ — 1)). Это дает нам следующее количество состояний:

Поскольку нам не важен порядок, в котором мы расположим N₁ частиц, мы должны разделить это на все их возможные комбинации, а именно на N₁!. Получаем:

Если мы осуществим ту же операцию для второго уровня, то получим похожую формулу, хотя в этом конкретном случае вместо N начальных возможностей у нас будет только (N — N₁):

Мы можем применить это рассуждение ко всем энергетическим уровням. Общее число комбинаций будет результатом их умножения:

Далее видим, что большинство членов сокращается и остается выражение:

Это распределение вероятностей и вывел Больцман.

* * *

Зато если большинство частиц имеют энергию, приближенную к средней, у нас есть много вариантов для выбора. Следовательно, наиболее вероятная комбинация значений энергии — та, в которой большинство частиц имеет энергию, приближенную к средней, и только энергия некоторых сильно отличается от средней. Поскольку энергия и скорость частицы связаны, мы можем сделать тот же вывод о скоростях.

Из предыдущего рассуждения следует, что распределение скоростей молекул газа имеет форму, похожую на ту, что показана на графике на стр. 57.

Как видно из этого графика, пик скоростей находится вокруг наиболее вероятной скорости, и чем больше мы отдаляемся от него, тем сложнее найти частицу с такой скоростью. Результат совпадает с тем, что нам говорит здравый смысл. Представим себе, что у нас есть частица, которая движется очень быстро; рано или поздно она столкнется с другой и передаст ей часть своей энергии, после чего замедлится. Если частица движется очень медленно, рано или поздно она столкнется с другой, более быстрой, и ее скорость увеличится. А частица, движущаяся со средней скоростью, скорее столкнется с частицами, движущимися с той же скоростью, и, следовательно, она не приобретет и не потеряет энергию.

Хотя распределение скоростей, которое мы видели выше, было предложено Джеймсом Клерком Максвеллом (1831–1879), именно Больцман подвел под его идеи теоретическое обоснование, поэтому его называют распределением Максвелла — Больцмана. В его математическом выражении используется экспоненциальная функция у основанная на числе Эйлера, е. Число е — это иррациональное число, приблизительно равное 2,71828. Вычисляется оно сложением следующего бесконечного ряда:

Точно так же как 2³ — это 2·2·2, е можно возвести в любую степень: е³  = = е·е·е. Распределение Максвелла — Больцмана выражается с помощью экспоненциальной функции следующим образом:

где m — масса молекул газа, k — постоянная Больцмана, Т — температура газа и v — скорость молекулы. Экспонента быстро растет при росте v — поскольку 2¹⁰ намного больше, чем 2². Это означает, что вероятность найти молекулы с очень высокими скоростями должна быть очень маленькой. С другой стороны, когда v равна нулю, вероятность равна ему же, и это означает, что невозможно найти молекулу, которая находилась бы в состоянии покоя.

* * *

ЧИСЛО ЭЙЛЕРА

Число Эйлера — одно из самых важных в математике. Кроме того, что это иррациональное число, у него есть ряд поистине волшебных свойств. Возможно, самое интересное из них то, что экспоненциальная функция, е^x равна своему угловому коэффициенту. Возьмем следующий график.

Угловой коэффициент функции — это точка, которая определяется как отношение между возрастанием функции по высоте и возрастанием по горизонтали. На этом графике мы можем вычислить угловой коэффициент в каждой точке. Итак, если мы представим угловой коэффициент функции х, то получим тот же график.

Число Эйлера связано и с другим известным числом, . Существует уравнение, связывающее е с и мнимой единицей i, которая определяется как квадратный корень из -1:

eⁱ– 1 = 0

Многие математики считают это уравнение одним из самых элегантных в истории науки, поскольку в нем самые важные числа собраны в простом тождестве.

* * *

Другие виды статистики

До сих пор мы считали, что частицы газа подобны бильярдным шарам. Даже если они очень похожи, мы можем каким-то образом различить их. Например, мы можем снять их на видео и следить за их изменением или пометить их фломастером. Однако это предположение, которое, кажется, соответствует здравому смыслу, не работает для очень маленьких частиц, таких как атомы или молекулы. Не существует способа отличить два атома водорода, дело выглядит так, будто это одна и та же частица, которая одновременно находится в двух разных местах. Это справедливо для любой элементарной частицы — электрона, протона или фотона.