Сборник "Лучшее". Компиляция. Книги 1-9

— Я понял и не забыл. Что же Паскаль, отец?

— Он знал мое давнишнее увлечение суммой двух величин, возведенной в какую-то степень (x + y)ⁿ, где n любое целое число. И он прислал мне замечательную таблицу коэффициентов для членов многочлена, получающегося при возведении в степень бинома при всевозрастающих степенях. Ты только вглядись, какой непостижимой красоты эти расположенные в виде треугольника числа. Я назвал их «треугольник Паскаля»! [64] Эта таблица напомнила мне мою давнюю работу в Египте, подаренную замечательному арабскому ученому Мохаммеду эль Кашти, который, оказывается, трагически погиб от руки невежд. В треугольнике Паскаля, как и в моей таблице пифагоровых чисел, можно заметить математические закономерности, прогрессии рядов. Смотри: первый косой ряд, состоящий из одних единиц, имеет показатель арифметической прогрессии, равный нулю, второй — последовательный ряд чисел — единице. Третий — величине степени «n». Четвертый сложнее: каждый последующий член больше предыдущего на сумму степеней от нуля до рассматриваемой степени. Дальше еще сложнее.

64

Примечание автора для особо интересующихся. Рассмотренный Паскалем «бином», впоследствии названный «биномом Ньютона», известен ныне как: (x + y)⁰ = 1; (x + y)¹ = z; (x + y)² = x² + 2xy + y²; (x + y)³ = x³ + 3x²у + 3xy² + y³; (x + y)⁴ = x⁴ + 4x³y² + 6x²y² + 4xy³ + y⁴ и т. д.

ЗНАЧЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ для порядковых членов

— Это действительно увлекает.

— Что ты! Это пустяк по сравнению с истинной вершиной красоты. Зачем все эти сложные математические зависимости, если все определяет единственная, но всеобъемлющая? Всмотрись внимательнее в таблицу и, пожалуйста, не разочаровывай меня. Ищи!

Самуэль с интересом вглядывался в письмо Паскаля.

— Отец! Это непостижимо, я просто случайно наткнулся на удивительное свойство! Ведь каждое число в таблице равно сумме двух, расположенных над ним в предыдущем горизонтальном ряду!

— Браво, мой мальчик! Ты будешь ученым! Если искать подлинную математическую красоту, то вот она! Удивительное свидетельство существования таких математических тайн, о которых мы и не подозреваем. [65]

— Да, отец, я понимаю тебя. Есть от чего прийти в восторг! Мне это представляется пределом достижимого.

— Как ты сказал? — сощурился Пьер Ферма. — Пределом достижимого? Пусть никогда эта повязка не закрывает твоих глаз ученого. Никогда воображаемый или даже увиденный «предел достижимого» не должен останавливать тебя в будущем как ученого.

65

В своем 42-м замечании на полях книги «Арифметика» Диофанта Пьер Ферма записал по-латыни: «…наука о целых числах, которая, без сомнения, является прекраснейшей и наиболее изящной, не была до сих пор известна ни Боше, ни кому-либо другому, чьи труды дошли до меня (Боше де Мазариак — математик, издавший в переводе на латынь с древнегреческого «Арифметику» Диофанта, снабдив ее своими комментариями и дополнениями, ставшую настольной книгой Ферма). (Примеч. авт.)

— Я понимаю тебя, отец, и не понимаю.

— Я признаюсь тебе, Самуэль. Красота математической зависимости в таблице — это лишь сочетание граней частных случаев. А подлинная, всеобъемлющая красота — в обобщении. Ты понял меня?

— В обобщении? Ты хочешь сказать, что можно представить бином в какой-то степени в общем виде?

— Именно эту задачу я и поставил перед собой.

— Ты восхищаешь и поражаешь меня, отец. Придя в такой восторг от открытия Паскаля, ты пытаешься уйти вперед, возвыситься над таблицей частных значений!

— То, что может быть вычислено, должно и может быть представлено в виде универсальной формулы.

— Неужели ты нашел ее, отец?

— Да. Я еще никому не показывал ее, но подготовил письмо Каркави, заменившему почившего беднягу аббата Мерсенна, чтобы тот разослал копии европейским ученым. Журнала у нас все еще нет.

— Но, отец, не требуй от близких больше того, что они способны дать.

— Ты учишь меня разумному. Я всю жизнь стараюсь руководствоваться этим принципом.

— Так покажи мне формулу и вывод ее.

— Ты хочешь, чтобы я нарушил свой принцип? Нет, друг мой и сын мой! Даже для тебя я не сделаю исключения. Хочешь видеть мой БИНОМ — пожалуйста. Но получить его с помощью математических преобразований попробуй сам. Я хочу убедиться, что ты станешь подлинным ученым.

— Но я не решусь соперничать с тобой.

— Это не соперничество. Труднее всего достигнуть конечной цели, не зная ее, а если она известна, то дорогу к ней найти легче.

— Но ко многим указанным тобой целям ученые так и не могут найти дороги. Потому так и ждут твоего собрания сочинений.

— Ты опять об этом. Лучше я тебе покажу свою формулу: (x + y)ⁿ = (Mx + y)ⁿ + (x + My)ⁿ! — Он написал ее тростью сына на песке.

— Но как же мне найти дорогу к этой вершине?

— Я чуть-чуть помогу тебе, из отцовских чувств, конечно! Видишь ли, когда-то я предложил систему координат, которой воспользовался, в частности, мой друг Рене Декарт.

— Ему нужно было бы при этом больше сослаться на тебя.

— Я предложил систему координат, чтобы ею могли пользоваться все математики, которые найдут ее удобной, и не требую от них специальных поклонов в мою сторону.

— Ты остаешься самим собой, отец! Право, хотелось бы позаимствовать у тебя такие примечательные черты характера, которые поднимают тебя и надо мной, и над всеми. Итак, система координат?

— Теперь я пошел дальше. Ведь никогда не надо останавливаться на достигнутом. Я решил воспользоваться сразу двумя системами координат — прямой и перевернутой. Это позволило мне создать метод совмещенных парабол.

— Очень интересно! Но как это понять?

И Пьер Ферма стал объяснять сыну суть своего метода, снова взяв у него трость, чтобы чертить на песке. [66]

66

Примечание автора для особо интересующихся. Метод совмещенных парабол Пьера Ферма сводится к тому, что в системе прямоугольных координат (декартовых!) с горизонтальной осью x и вертикальной q — (xO₁q) — вычерчивается парабола по уравнению q = xⁿ. Чертеж поворачивается на 180°, и на нем наносится (см. рис.) еще одна система прямоугольных координат (yO₁l) с горизонтальной осью «у» и вертикальной «l». Вертикальные оси двух систем координат отстоят одна от другой на величину z, а горизонтальные на zⁿ. В перевернутой системе координат тоже вычерчивается точно такая же парабола по уравнению l = yⁿ. Две совмещенные таким способом параболы образуют полусимметричную геометрическую фигуру, ограниченную ими. Выбирая точку x₁ на оси x, строим от нее вертикальный отрезок (до пересечения с первой построенной параболой) с длиной g₁ = x₁ⁿ. Проведя теперь горизонтальную линию от пересечения вертикального отрезка с параболой через фигуру до второй параболы, получим точку, вертикальный отрезок от которой до оси у перевернутой координатной системы отметим на оси y точку y₁. Длина же этого отрезка, равная ординате перевернутой параболы, будет l = yⁿ. Из построения следует: q + l₁ = x₁ⁿ + y₁ⁿ = z₁ⁿ. Диофантово уравнение, положенное Ферма в основу его Великой теоремы. Все это восстановлено А. Н. Кожевниковым.

Ферма закончил формулой xⁿ + yⁿ = zⁿ и вернул сыну трость.

— Но ведь это же Диофантово уравнение! — воскликнул Самуэль.

— Ты прав. Мне еще придется заняться им. Примечательно, что оно получается из геометрического построения. Этим же построением можешь воспользоваться и ты, если не раздумал еще доказать формулу моего «бинома».

— Я попробую, отец, но ты, вероятно, переоцениваешь мои силы.

— Напротив, я надеюсь на тебя! Передаю тебе факел, как написал в своем письме.

— Сестричка! — воскликнул Самуэль.

На аллее показалась Сюзанна, худая и прямая, с холодным красивым лицом, так гордо несущая голову, что взгляд ее серых глаз казался едва ли не надменным.

— Мама просит к столу. Обед подан, — пригласила она.

Отец и сын поднялись и зашагали следом за девушкой, невольно любуясь ее осанкой. Она только раз обернулась, чтобы бросить на брата оценивающий взгляд. Тот, сняв шляпу, шутливо раскланялся.

За столом собралась вся семья, все семеро Ферма.

Жанна, строгая и заботливая, опекала четырехлетнюю Эдит; Жорж не вымыл руки, за что получил от нее выговор; Сюзанна не обращала на младших никакого внимания. Луиза сидела с красными глазами, так и не оправившись от недавнего разговора с мужем.

— А к нам, к садовой калитке, приезжал сегодня верхом молодой Массандр. И совсем даже не ко мне, — заявил Жорж. — К нему бегала Сюзанна. Вот!

— Замолчи за столом! — прикрикнула на него Жанна, заметив, как презрительно улыбнулась Сюзанна.