Стратегические игры. Доступный учебник по теории игр

c) Красавица Белла получила 100 ответов на свой профиль на сайте онлайн-знакомств и должна определиться, отвечать на каждое предложение или нет.

d) Канал NBC решает, как распределить свои телевизионные шоу в интернете в текущем сезоне. Руководство канала рассматривает такие варианты: Amazon.com, iTunes и/или NBC. Комиссионные, которые могут быть выплачены Amazon или iTunes, открыты для обсуждения.

e) Китай выбирает уровень тарифных ставок на импорт из США.

U2. Проанализируйте описанные ниже стратегические игры. В каждом случае укажите, к какой категории вы бы отнесли данную игру по шести параметрам, перечисленным в тексте. (i) Ходы в игре последовательные или одновременные? (ii) Это игра с нулевой суммой или нет? (iii) Это повторяющаяся игра? (iv) Присутствует ли в игре несовершенная информации и если да, то имеет ли место неполная (асимметричная) информация? (v) Правила игры фиксированные или нет? (vi) Возможны ли соглашения о сотрудничестве или нет? Если вам не хватает информации, чтобы отнести игру к какой-то определенной категории, объясните причины.

a) Гарри и Росс – торговые представители одной и той же компании. Менеджер сообщает им, что тот из них, кто обеспечит более высокий объем продаж, получит «кадиллак».

b) В игровом шоу «Правильная цена» четыре участника угадывают цену телевизора. Игра начинается с крайнего левого игрока, а сумма, которую называет каждый очередной игрок, должна отличаться от догадок предыдущих игроков. Участник шоу, который назовет максимально близкую к реальной цену, но не превысит ее, выиграет телевизор.

c) Шесть тысяч игроков выплачивают по 10 000 долларов каждый, чтобы принять участие в Мировой серии покера. Каждый игрок начинает турнир с фишек на сумму 10 000 долларов, после чего разыгрывается серия No-Limit Texas Hold ’Em (разновидность покера), которая продолжается до тех пор, пока кто-то не выиграет все фишки. Первые 600 игроков получают денежные призы согласно порядку окончания ими игры, при этом победителю достаются 8 миллионов долларов.

d) За пассажирами Desert Airlines не закрепляются места в самолетах; они выбирают их только после того, как окажутся на борту. Авиакомпания устанавливает очередность посадки пассажиров в соответствии со временем их регистрации либо на сайте не более чем за 24 часа до вылета, либо лично в аэропорту.

U3. «Любая выгода для победителя должна вредить проигравшему». Это утверждение истинно или ложно? Обоснуйте свой вывод посредством одного-двух предложений.

U4. Алисе, Бобу и Конфуцию становится скучно во время каникул, и они решают сыграть в новую игру. Каждый вносит в общий фонд 1 доллар, а затем подбрасывает монету. Алиса выиграет, если выпадут три орла или три решки. Боб выиграет, если выпадут два орла и одна решка, а Конфуций – если выпадет один орел и две решки. Все монеты правильные, и победитель получит чистый выигрыш в размере 2 доллара (3–1 = 2 доллара), а каждый проигравший потеряет 1 доллар.

a) Какова вероятность того, что Алиса победит или проиграет?

b) Чему равен ожидаемый выигрыш Алисы?

c) Какова вероятность того, что Конфуций победит или проиграет?

d) Чему равен ожидаемый выигрыш Конфуция?

e) Это игра с нулевой суммой? Обоснуйте ответ.

U5. «Когда один игрок застает другого игрока врасплох, это говорит о том, что у них нет общего понимания правил игры». Приведите пример, который иллюстрирует это утверждение, и контрпример, показывающий, что оно не всегда верно.

Часть II. Концепции и методы

Глава 3. Игры с последовательными ходами

Игры с последовательными ходами предполагают стратегические ситуации, в которых существует строгий порядок ведения игры. Игроки ходят поочередно и осведомлены о действиях соперников, сделавших свои ходы до них. Для того чтобы хорошо играть в такую игру, ее участникам необходимо использовать определенный тип интерактивного мышления. Каждый игрок должен просчитать возможную реакцию противника на тот или иной ход. Всякий раз при выполнении действий игрокам следует думать о том, как их текущие действия повлияют на будущие действия как самого игрока, так и его соперников. Следовательно, игроки выбирают ходы на основании расчета вероятных последствий.

Большинство реальных игр сочетают в себе аспекты игр как с последовательными, так и с одновременными ходами. Но концепции и методы анализа легче понять, если вводить их сначала отдельно для двух чистых типов игр. Исходя из этого, в данной главе рассматриваются только игры с последовательными ходами. Глава 4 и глава 5 целиком и полностью посвящены играм с одновременными ходами, а в главе 6 и нескольких разделах главы 7 показано, как объединить оба типа анализа в более реалистичных смешанных ситуациях. Представленный здесь анализ можно использовать всякий раз, когда игра включает в себя последовательное принятие решений. Кроме того, изучение игр с последовательными ходами позволяет определить, когда игроку выгоднее ходить первым, а когда вторым. Затем игроки могут разработать способы, так называемые стратегические ходы, манипулирования порядком игры в свою пользу. Подробно они рассматриваются в главе 9 .

1. Дерево игры

Начнем с описания графического метода отображения и анализа игр с последовательными ходами, именуемого дерево игры. На таком дереве, также называемом экстенсивной формой игры, представлены все ее элементы, о которых шла речь в главе 2 : игроки, действия и выигрыши.

Скорее всего, вы уже сталкивались с деревьями решений в других контекстах. Такие деревья демонстрируют всю последовательность точек принятия решений (или узлов) одним игроком в нейтральной среде. Дерево решений также включает в себя ветви, которые соответствуют имеющимся вариантам выбора и исходят из каждого узла. Дерево игры – это просто совокупность деревьев решений всех ее участников. Такое дерево отображает все возможные действия, которые могут предпринять все игроки, а также все возможные исходы игры.

А. Узлы, ветви и пути игры

На рис. 3.1 изображено дерево конкретной игры с последовательными ходами. Мы не будем здесь описывать ее историю, поскольку хотим опустить многочисленные детали, чтобы вы могли сфокусироваться на общих концепциях. В игре участвуют четыре человека: Энн, Боб, Крис и Деб. Согласно правилам игры, первый ход делает Энн; это показано в крайней левой точке дерева, или узле под названием начальный узел или корень дерева игры. В этом узле, который еще можно называть узлом действия или узлом принятия решений, у Энн есть два доступных варианта выбора. Они обозначены как «стоп» и «вперед» (не забывайте, что это абстрактные обозначения и они не обязательно должны иметь какой-то смысл) и показаны на рисунке в виде ветвей, исходящих из начального узла.

.

Рис. 3.1. Иллюстративное дерево игры

Если Энн выберет «стоп», наступит очередь Боба делать ход. У него в узле действия есть три варианта выбора, обозначенные как 1, 2 и 3. Если Энн выбирает «вперед», то следующий ход делает Крис с вариантами выбора «рискованно» и «безопасно». Другие узлы и ветви следуют друг за другом, но вместо того чтобы их перечислять, мы просто обратим ваше внимание на некоторые характерные особенности данного дерева.

Если Энн выберет «стоп», после чего Боб выберет 1, Энн получит право на следующий ход с новыми вариантами выбора – «вверх» и «вниз». В реальных играх с последовательными ходами достаточно типична ситуация, когда игрок делает несколько ходов, причем они могут быть разными в разных узлах. В шахматах, например, два игрока ходят по очереди; каждый такой ход меняет ситуацию на доске, а значит, меняются и ходы, доступные для игрока, который будет ходить следующим.

Б. Неопределенность и «ходы природы»