Стрелы Времени

Умножение в данной системе не обладает свойством коммутативности: a x b, вообще говоря, не совпадает с b x a.

Каждому ненулевому вектору v соответствует обратный вектор, обозначаемый v^{– 1}, и удовлетворяющий следующему соотношению:

v x v^{– 1} = v^{– 1} x v = Будущее

Так, Восток^{– 1} = Запад, Север^{– 1} = Юг, Верх^{– 1} = Низ, а Будущее^{– 1} = Будущее. В первых трех случаях обратный вектор совпадает с противоположным, но в общем случае это неверно.

Векторное частное w / v определяется как результат умножения (справа) на v^{– 1} :

Поскольку умножение не обладает свойством коммутативности, при вычислении обратного вектора или частного двух векторов необходимо внимательно следить за порядком аргументов. Обращение произведения двух векторов меняет их порядок на противоположный:

(v x w)^{– 1} = w^{– 1}x v^{– 1}

Перемена мест сомножителей гарантирует, что исходные векторы будут взяты в надлежащем порядке и дадут в итоге результат, равный Будущему.

(v x w)^{– 1} x (w^{– 1}x v^{– 1}) = v x Будущееx v^{– 1} = Будущее

(w^{– 1}x v^{– 1})x (v x w)^{– 1} = w^{– 1} x Будущееx w = Будущее

Аналогичным образом порядок меняется и при делении на произведение векторов:

u / (v x w)= u x (v x w)^{– 1} = u x w^{– 1}x v^{– 1} = (u / w)/ v

Хотя в таблицах умножения и деления приведены только результаты для четырех главных векторов, эти операции применимы к любым векторам (исключение составляет деление на нулевой вектор). В общем случае произвольный вектор можно представить в виде суммы векторов, кратных четырем главным направлениям:

v = a • Восток + b • Север + c • Верх + d • Будущее

Здесь a, b, c, d – вещественные числа, которые могут быть положительными, отрицательными или равными нулю. Определим теперь еще один вектор w, используя другой набор вещественных чисел A, B, C, D:

w = A • Восток + B • Север + C • Верх + D • Будущее

Для умножения v и w мы можем воспользоваться правилами обычной алгебры, принимая во внимание порядок сомножителей:

v x w =

= (a • Восток + b • Север + c • Верх + d • Будущее)x (A • Восток + B • Север + C • Верх + D • Будущее) =

x

= aA• Восток x Восток + aB• Восток x Север +

+ aC• Восток x Верх + aD• Восток x Будущее +

+ bA• Север x Восток + bB• Север x Север +

+ bC• Север x Верх + bD• Север x Будущее +

+ cA• Верх x Восток + cB• Верх x Север +

+ cC• Верх x Верх + cD• Верх x Будущее +

+ dA• Будущее x Восток + dB• Будущее x Север +

+ dC• Будущее x Верх + dD• Будущее x Будущее =

= (aD + bC – cB + dA) • Восток +

+ (–aC + bD + cA + dB) • Север +

+ (aB – bA + cD + dC) • Верх +

+ (–aA — bB – cC + dD) • Будущее

Длину вектора можно определить с помощью четырехмерного аналога теоремы Пифагора. Для обозначения длины вектора v мы будем использовать запись |v|. Через компоненты четырех главных направлений она выражается следующим образом:

|v|² = a² + b² + c² + d²

При умножении двух векторов длина их произведения совпадает с произведением длин сомножителей:

|v x w| = |v||w|

Для заданного вектора v часто полезным оказывается понятие сопряженного вектора, который мы будем обозначать v^* и определять как вектор, компоненты которого по трем пространственным направлениям противоположны соответствующим компонентам v, а временная компонента совпадает с временной компонентой v:

v^* = – a • Восток – b • Север – c • Верх + d • Будущее

Умножение исходного вектора на сопряженный к нему дает очень простой результат:

v x v^* = (a² + b² + c² + d²) • Будущее = |v|² • Будущее