Тайны чисел: Математическая одиссея

Интересно, что, как и у вавилонян, у майя был специальный символ для обозначения отсутствия определенных степеней 20. Каждый разряд в их числовой системе был связан с тем или иным богом, и оттого считалось непочтительным, что богу ничего не дано. Поэтому «ничто» обозначалось изображением ракушки. Создание этого символа было в равной мере обусловлено математическими и религиозными соображениями. Но, как и вавилоняне, майя не считали ноль самостоятельным числом.

Майя была нужна числовая система, способная считать очень большие числа, потому что их астрономические вычисления охватывали огромные временные циклы. Один цикл времени, измеряемый так называемым «длинным счетом», начался 11 августа 3114 г. до н. э., в нем пять разрядов, и он длится 20 x 20 x 20 x 18 x 20 дней. Это составляет 7890 лет. Значимой датой в календаре майя будет считаться 21 декабря 2012 г., которое соответствует 13.0.0.0.0. Подобно тому как дети на задних сиденьях машины ждут, когда одометр совершит полный круг, жители Гватемалы полны предвкушения наступающего события. Однако некоторые пророки конца света утверждают, что он придется на этот день.

Рис. 1.14

Хотя это скорее буквы, чем числа, именно так записывается число 13 на иврите. В еврейской традиции гематрии буквам алфавита даны числовые значения. Так, гимел – третья буква алфавита, а йод – десятая. Поэтому эта комбинация букв представляет число 13. В таблице 1.01 приведены числовые значения всех букв.

Люди, сведущие в каббале, любят игры с числовыми значениями различных слов и их интерпретациями. Например, числовое значение моего имени

такое же, как и у «славного человека», либо, альтернативно, у «ослов». Одно из объяснений того, что 666 считается числом зверя, состоит в том, что таково числовое значение имени Нерон, который был одним из самых жестоких римских императоров.

Таблица 1.01

Хотя простым числам не придавалось особого значения в еврейской культуре, таким значением обладали родственные им числа. Возьмите какое-либо число и найдите все числа (за исключением самого числа), на которые оно делится без остатка. В случае, когда сумма всех найденных делителей равна самому числу, оно называется совершенным. Первое совершенное число – это 6. Помимо самого числа 6 его делителями являются 1, 2 и 3. Сложите их вместе, и вы снова получите 6. Следующее совершенное число – это 28. Сумма его делителей 1, 2, 4, 7 и 14 опять-таки равна 28. Согласно иудаизму, мир был создан за 6 дней, а в лунном месяце еврейского календаря было 28 дней. Это привело к сложившемуся в еврейской культуре убеждению, что у совершенных чисел должно быть особое значение.

Вы можете найти число, отвечающее вашему имени, сложив значения, приведенные в таблице 1.01. Чтобы найти другие слова, отвечающие тому же числовому значению, что и ваше имя, посетите http://bit.ly/Heidrick.

Математические и религиозные свойства совершенных чисел также отмечались христианскими комментаторами. Святой Августин (354–430) написал в своем знаменитом труде «О граде Божьем»: «Шесть – совершенное число само по себе, а не потому, что Бог сотворил все сущее за шесть дней; скорее наоборот. Бог сотворил все сущее за шесть дней, потому что это число совершенно».

Весьма интригует то, что за совершенными числами скрываются простые. Каждое совершенное число соответствует простому числу специального вида, так называемому числу Мерсенна (подробнее о них далее в этой главе). К настоящему времени нам известны лишь 47 совершенных чисел. В самом большом из них 25 956 377 цифр. Четные совершенные числа всегда имеют вид 2^N – 1(2^N – 1). Всякий раз, когда 2^N – 1(2^N – 1) совершенно, 2^N – 1 является простым числом и наоборот. Мы до сих пор не знаем, существуют ли нечетные совершенные числа.

Какое это простое число?

Рис. 1.15

Вы могли бы подумать, что это 5, ведь рисунок определенно походит на 2 + 3. Тем не менее это вовсе не знак плюс, а китайский символ 10. Рисунок соответствует записи двух десятков и трех единиц, то есть 23.

В традиционном китайском письме не использовалась позиционная система, а был свой иероглиф для различных степеней 10. Но имелась и альтернативная система со счетными палочками. Эта система эволюционировала из счетной доски, в которой использовались бамбуковые палочки, и была позиционной. Каждый раз при достижении десяти начиналась новая колонка. Вот так записываются числа от 1 до 9 на счетных палочках:

Рис. 1.16

Во избежание путаницы через разряд (а именно для десятков, тысяч, сотен тысяч…) числа поворачивались, и палочки укладывались вертикально:

Рис. 1.17

В Древнем Китае даже было понятие отрицательного числа, оно представлялось счетными палочками другого цвета. Полагают, что использование черных и красных чернил в европейском бухгалтерском учете восходит к китайской практике использования черных и красных палочек. Любопытно, впрочем, что китайцы пользовались черными палочками для обозначения отрицательных чисел.

По-видимому, впервые простые числа получили свою важную роль именно в китайской культуре. В ней полагалось, что у каждого числа был свой род – у четных чисел женский, а у нечетных мужской. У некоторых нечетных чисел были замечены особенности. Например, если у вас 15 камней, то их можно выложить в аккуратный прямоугольник 3 на 5. Но 17 камней нельзя представить прямоугольником, а лишь выложить в прямую линию. Поэтому для китайцев простые числа были настоящими мачо. А у нечетных чисел, которые не были простыми, был ощутимый налет женственности.

Точка зрения древних китайцев была обусловлена тем важным свойством простых чисел, что кучку из простого числа камней нельзя разложить в аккуратный прямоугольник.

Ранее мы видели, что египтяне рисовали жаб для представления чисел, майя использовали точки и черточки, вавилоняне занимались клинописью, китайцы располагали палочки, а в еврейской культуре числа находились в соответствии с буквами алфавита. Хотя особую роль простых чисел поняли китайцы, первые шаги по раскрытию тайн этих загадочных чисел были сделаны в другой культуре – в древнегреческой.

Как древние греки использовали решето для приготовления простых чисел?

Древние греки открыли следующую систематическую процедуру, весьма эффективную для нахождения небольших простых чисел. Задача состоит в том, чтобы найти действенный метод по отбрасыванию всех чисел, не являющихся простыми. Запишем числа от 1 до 100. Начнем с вычеркивания числа 1. (Как я упоминал, хотя греки считали 1 простым числом, современная математика так не поступает.) Перейдем к следующему числу, к 2. Это первое простое число. Затем зачеркнем каждое второе число после 2. Это, по существу, устраняет все числа, кратные 2, то есть все четные числа за исключением 2. Математики любят шутить, что 2 – странное простое число, потому что лишь оно четное… Но, возможно, юмор – не самая сильная сторона математиков.

Рис. 1.18. Зачеркните каждое второе число после 2

Теперь перейдем к минимальному незачеркнутому числу, в нашем случае к 3, и систематически отбросим все остальные числа, кратные 3:

Рис. 1.19. Теперь зачеркните каждое третье число после 3

Поскольку 4 уже было отброшено, далее мы переходим к 5 и зачеркиваем каждое пятое число после 5. Мы повторяем далее эту процедуру и переходим к минимальному числу n, которое еще не было устранено, и вычеркиваем все числа, расположенные через n после него: