Тени разума. В поисках науки о сознании

Для того чтобы выяснить, каким образом ограничения (I) или (II) могут повлиять на наши гёделевские рассуждения, пройдемся еще раз по соответствующим частям доказательства. В соответствии с ограничением (I), вместо бесконечного ряда вычислений, мы располагаем рядом конечным:

C ₀, C ₁, C ₂, C ₃, …, C _Q,

где предполагается, что число Qзадает наиболее громоздкое вычисление, какое способен выполнить наш компьютер или человек. В случае с человеком вышеприведенное утверждение можно счесть несколько туманным. Впрочем, в настоящий момент нас не особенно заботит точное определение числа Q. (Вопрос о туманности утверждений, касающихся человеческих способностей, будет рассмотрен ниже, в комментарии к возражению Q13в §2.10 .) Кроме того, можно предположить, что, попытавшись применить упомянутые вычисления к какому-то конкретному натуральному числу n, мы обнаружим, что значение nограничено некоторой фиксированной величиной N, поскольку наш компьютер (или человек) оказывается не способен работать с числами, превышающими N. (Строго говоря, следует учесть и возможность того, что число Nне является фиксированным, но зависит от того или иного конкретного вычисления C _q, т.е. Nможет зависеть от q. Однако этот факт не влияет на наши рассуждения сколько-нибудь существенным образом.)

Как и ранее, мы рассматриваем некий обоснованный алгоритм A( q, n), завершение выполнения которого равносильно доказательству того, что вычисление C _q( n) не завершается. Несмотря на то, что, в соответствии с ограничением (I), рассмотрению подлежат только значения q, не превышающие Q, и только значения n, не превышающие N, мы, говоря об «обоснованности», в действительности имеем в виду, что алгоритм Aдолжен быть обоснованным для всехзначений qи n, независимо от их величины. (Таким образом, можно видеть, что правила, реализуемые в алгоритме A, являются точными математическими правилами, в отличие от правил приближенных, работающих только в силу того или иного практического ограничения, налагаемого на «реально осуществимые» вычисления.) Более того, утверждая, что «вычисление C _q( n) не завершается», мы имеем в виду, что это вычисление действительноне завершается, а не то, что это вычисление просто-напросто оказывается слишком громоздким для того, чтобы его мог выполнить наш компьютер или человек, как предусматривает ограничение (II).

Вспомним, что утверждение (H)гласит:

Если завершается вычисление A( q, n), то вычисление C _q( n) не завершается.

Принимая во внимание ограничение (II), можно было бы предположить, что алгоритм А оказывается не слишком эффективен при установлении факта незавершаемости очередного вычисления, поскольку сам он состоит из большего количества шагов, чем способен выполнить компьютер или человек. Однако, как выясняется, для нашего доказательства этот факт не имеет никакого значения. Мы намерены отыскать некое вычисление A( k, k), которое не завершается вообще. Для нас абсолютно неважно, что в некоторых других случаях, когда вычисление A действительнозавершается, мы не можем об этом узнать, так как не в состоянии дождаться этого самого завершения.

Далее, как и в равенстве (J), мы вводим натуральное число к, при котором вычисление A( n, n) совпадает с вычислением C _k( n) для всех n:

A( n, n) = C _k( n).

Следует, впрочем, рассмотреть еще предусматриваемую ограничением (I) возможность того, что упомянутое число kокажется больше Q. В случае какого-нибудь невообразимо сложного вычисления Aтакая ситуация вполне возможна, однако только при условии, что это А уже начинает приближаться к верхней границе допустимой сложности (в смысле количества двоичных знаков в его описании в формате машины Тьюринга), с которой может работать наш компьютер или человек. Это обусловлено тем, что вычисление, получающее значение kиз описания вычисления A(например, в формате машины Тьюринга), — вещь достаточно простая и может быть задана в явном виде (как уже было показано в комментарии к Q6).

Вообще говоря, для того чтобы поставить в тупик алгоритм A, нам необходимо лишь вычисление C _k( k) — подставляя в (Н)равенство n= k, получаем утверждение (L):

Если завершается вычисление A( k, k), то вычисление C _k( k) не завершается.

Поскольку A( k, k) совпадает с C _k( k), наше доказательство показывает, что, хотя данное конкретное вычисление C _k( k) никогда не завершается, посредством алгоритма Aмы этот факт установить не в состоянии, даже если бы упомянутый алгоритм мог выполняться гораздо дольше любого предела, налагаемого на него в соответствии с ограничением (II). Вычисление C _k( k) задается только введенным ранее числом k, и, при условии, что к не превышает ни Q, ни N, это вычисление и в самом деле в состоянии выполнить наш компьютер или человек — то есть в состоянии начать. Довести его до завершения невозможно в любом случае, поскольку это вычисление просто-напросто не завершается!

А может ли число kоказаться больше Qили N? Такое возможно лишь в том случае, когда для описания Aтребуется так много знаков, что даже совсем небольшое увеличение их количества выводит задачу за пределы возможностей нашего компьютера или человека. При этом, поскольку мы знаем об обоснованности алгоритма A, мы знаем и о том, что рассматриваемое вычисление C _k( k) не завершается, даже если реальное выполнение этого вычисления представляет для нас проблему. Соображение (I), однако, предполагает и возможность того, что вычисление Aокажется столь колоссально сложным, что одно лишь его описание вплотную приблизится к доступному воображению человека пределу сложности, а сравнительно малое увеличение количества составляющих его знаков даст в результате вычисление, превосходящее всякое человеческое понимание. Что бы мы о подобной возможности ни думали, я все же считаю, что любой столь впечатляющий набор реализуемых в нашем гипотетическом алгоритме А вычислительных правил окажется, вне всякого сомнения, настолько сложным, что мы не в состоянии будем знатьнаверняка, является ли он обоснованным, даже если нам будут точно известны все эти правила по отдельности. Таким образом, наше прежнее заключение остается в силе: при установлении математических истин мы неприменяем познаваемо обоснованныенаборы алгоритмических правил.

Не помешает несколько более подробно остановиться на сравнительно незначительном увеличении сложности, сопровождающем переход от Aк C _k( k). Помимо прочего, это существенно поможет нам в нашем дальнейшем исследовании (в §§3.19 и 3.20 ). В Приложении А предложено явное описание вычисления C _k( k) в виде предписаний для машины Тьюринга, рассмотренных в НРК ( глава 2 ). Согласно этим предписаниям, под обозначением T _mпонимается « m– я машина Тьюринга». Для большего удобства и упрощения рассуждений здесь мы также будем пользоваться этим обозначением вместо « C _m», в частности, для определения степени сложностивычислительной процедуры или отдельного вычисления. В соответствии с вышесказанным, определим степень сложности машины Тьюринга T _mкак количество знаков в двоичном представлении числа m(см. НРК, с. 39); при этом степень сложности некоторого вычисления T _m( n) определяется как большее из двух чисел и , где — количество двоичных знаков в представлении числа n. Рассмотрим далее приведенное в Приложении А явное предписание для составления вычисления C _k( k) на основании алгоритма A, заданного в упомянутых спецификациях машины Тьюринга. Полагая степень сложности Aравной , находим, что степень сложности явного вычисления C _k( k) не превышает числа + 210 log ₂( + 336) — а это число, в свою очередь, оказывается лишь очень ненамного больше собственно , да и то только тогда, когда число а очень велико.

В вышеприведенных общих рассуждениях имеется один потенциально спорный момент. В самом деле, какой смысл рассматривать вычисления, слишком сложные даже для того, чтобы просто их записать, или те, что, будучи записанными, возможно, потребуют на свое действительное выполнение промежуток времени, гораздо больший предполагаемого возраста нашей Вселенной, даже при условии, что каждый шаг такого вычисления будет производиться за самую малую долю секунды, какая еще допускает протекание каких бы то ни было физических процессов? Упомянутое выше вычисление — то, результатом которого является последовательность из 2 ^{2 65536}единиц и которое завершается лишь послевыполнения этой задачи, — представляет собой как раз такой пример; при этом позицию математика, позволяющего себе утверждать, что данное вычисление является незавершающимся, можно охарактеризовать как крайне нетрадиционную. Однако в математике существуют и некоторые другие точки зрения, пусть и не до такойстепени нетрадиционные, — но все же решительно презирающие всяческие условности, — согласно которым известная доля здорового скептицизма в отношении вопроса об абсолютной математической истинности идеализированных математических утверждений отнюдь не помешает. На некоторые из них, безусловно, стоит хотя бы мельком взглянуть.

Q9. Точка зрения, известная как интуиционизм, не позволяет сделать вывод о непременной завершаемое™ вычисления на определенном этапе на том лишь основании, что бесконечное продолжение этого вычисления приводит к противоречию; бытуют в математике и иные точки зрения сходного характера — например, «конструктивизм» и «финитизм». Не окажется ли гёделевское доказательство спорным, будучи рассмотрено с этих позиций?

В своем гёделевском доказательстве (в частности, в утверждении (M)) я использовал аргумент следующего вида: «Допущение о ложности Xприводит к противоречию; следовательно, утверждение Xистинно». Под « X» в данном случае следует понимать утверждение: «Вычисление C _k( k) не завершается». Это рассуждение относится к типу reductio ad absurdum; что же касается доказательства Гёделя в целом, то оно и в самом деле построено именно таким образом. Направление же в математике, называемое «интуиционизмом» (у истоков которого стоял голландский математик Л. Э. Я. Брауэр; см. [ 223 ] и НРК, с. 113-116), отрицает возможность построения обоснованного доказательства на основе reductio ad absurdum. Интуиционизм возник приблизительно в 1912 году как реакция на некоторые сформировавшиеся к концу девятнадцатого — началу двадцатого века математические тенденции, суть которых сводится к следующему: математический объект можно полагать «существующим» даже в тех случаях, когда нет никакой возможности этот объект так или иначе воплотить в действительности. А надо сказать, что слишком вольное применение крайне расплывчатой концепции математического существования и впрямь приводит порой к весьма неприятным противоречиям. Самый известный пример такого противоречия связан с парадоксальным «множеством всех множеств, не являющихся членами самих себя» Бертрана Рассела. (Если множество Рассела является членом самого себя, то оно таковым не является; если же оно членом самого себя не является, то оно им, как ни странно, является! Подробнее см. §3.4 и НРК, с. 101.) Дабы противостоять общей тенденции, в рамках которой могут считаться «существующими» весьма вольно определенные математические объекты, интуиционисты полагают необоснованным математическое рассуждение, позволяющее делать вывод о существовании того или иного математического объекта на основании одной лишь противоречивости его несуществования. Доказательство существования объекта посредством reductio ad absurdumне дает абсолютно никаких оснований полагать, что упомянутый объект действительно можно построить.

Каким же образом запрет на применение reductio ad absurdumможет повлиять на наше гёделевское доказательство? Вообще говоря, совсем не может, по той простой причине, что reductio ad absurdumмы применяем, если можно так выразиться, наоборот, то есть противоречие в нашем случае выводится из допущения, что нечто существует, а не из обратного допущения. С интуиционистской точки зрения все выглядит совершенно законно: мы заключаем, что объект несуществует, на том основании, что противоречие возникает как раз из допущения о существовании этого самого объекта. Предложенное мною гёделевское доказательство, по сути своей, является в интуиционистском смысле абсолютно приемлемым. (См. [ 223 ], с. 492.)