Теория струн и скрытые измерения вселенной

Пространства, которые представил себе Калаби, были не только комплексными, но также имели особое свойство, называемое кэлеровой метрикой. Римановы поверхности являются кэлеровым автоматически, поэтому данное понятие обретает смысл только для комплексных многообразий двух и более комплексных измерений. В кэлеровом многообразии пространство имеет вид евклидового в определенной точке и остается близким к нему при небольшом смещении, хотя и отклоняется от евклидовости определенным образом. Для того чтобы пояснить последнее утверждение, необходимо отметить, что это многообразие имеет вид не привычного плоского евклидового пространства, а так называемого «комплексного евклидового пространства», то есть оно имеет четную размерность и некоторые из координат, определяющие положение точек на данном многообразии, являются комплексными числами. Этот отличительный признак очень важен, поскольку только комплексные многообразия могут иметь кэлерову метрику. Данная метрика в свою очередь дает нам возможность помимо всего прочего измерять расстояния при помощи комплексных чисел. Условие Кэлера, названное в честь немецкого математика Эриха Кэлера, показывает степень близости заданного пространства к евклидовому на основании критериев, не связанных непосредственно с его кривизной.

Для того чтобы количественно оценить степень близости определенного многообразия к евклидовому пространству, необходимо знать его метрику. В плоском пространстве с взаимно перпендикулярными координатными осями для расчета расстояний можно использовать теорему Пифагора. В искривленных пространствах дело обстоит несколько сложнее, поскольку оси координат в этом случае могут уже не быть взаимно перпендикулярными, что приводит к необходимости использования модифицированной версии теоремы Пифагора. Для расчета расстояний в искривленных пространствах необходимо знать метрические коэффициенты — набор чисел, изменяющийся от точки к точке и зависящий от ориентации координатных осей. Выбор той или иной ориентации осей ведет к возникновению разных наборов метрических коэффициентов. При этом значение имеют не столько величины этих коэффициентов, которые во многом произвольны, сколько характер их изменения при переходе от одной точки многообразия к другой. Это дает возможность узнать положение различных точек по отношению друг к другу и таким образом свести воедино все, что касается геометрии данного многообразия. Как уже было сказано в предыдущих главах, для описания четырехмерного пространства необходимы десять метрических коэффициентов. На самом деле коэффициентов всего шестнадцать, поскольку метрический тензор в данном случае представляет собой матрицу 4x4. Однако метрический тензор всегда симметричен относительно диагонали, проходящей из левого верхнего угла матрицы в правый нижний. Таким образом, четыре числа лежат непосредственно на диагонали матрицы и еще два одинаковых набора из шести чисел каждый лежат по разные стороны от нее. За счет наличия симметрии вместо шестнадцати чисел можно рассматривать только десять: четыре на диагонали и шесть — по одну сторону от нее.

Это, впрочем, еще не объясняет механизм работы метрики. Рассмотрим весьма простой пример, имеющий место для одного комплексного или двух вещественных измерений, — метрику Пуанкаре единичного круга, центр которого находится в точке плоскости с координатами (0, 0). Этот круг представляет собой набор точек (x, y), удовлетворяющих неравенству x² + y² < 1. Формально такой круг называют «открытым», поскольку он не включает в себя свою границу — окружность, определяемую выражением x² + y² = 1. Поскольку рассматриваемый случай относится к двум измерениям, тензор метрики Пуанкаре представляет собой матрицу 2x2. В каждой из ячеек этой матрицы стоит коэффициент вида G_ij, где i — номер строки, j — номер столбца. Таким образом, матрица будет иметь вид:

G₁₁ G₁₂

G₂₁ G₂₂

За счет симметрии, о которой шла речь выше, G₁₂ будет равно G₂₁. Для метрики Пуанкаре эти два «недиагональных» элемента по определению равны нулю. Равенство двух других элементов — G₁₁ и G₂₂ не обязательно, но в случае метрики Пуанкаре оно имеет место: оба эти элемента по определению равны 4/(1-x²– y²)². Любой паре координат x и y, выбранной внутри единичного круга, метрический тензор ставит в соответствие определенный набор коэффициентов. Так, например, для x = 1/2 и y = 1/2 элементы G₁₁ и G₂₂ будут оба равны 16, оставшиеся же два коэффициента равны нулю для любой точки единичного круга.

Что же делать дальше с полученными числами? И как эти коэффициенты соотносятся с расстоянием? Нарисуем внутри единичного круга небольшую кривую, однако рассмотрим ее не как неподвижный объект, а как траекторию частицы, движущейся из точки А в точку В. Чему же равна длина этой траектории для данной метрики Пуанкаре?

Для того чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим кривую s и разделим ее на крошечные линейные участки — настолько крошечные, насколько это только можно представить, — и сложим их длины между собой. Длину каждого из линейных участков можно найти при помощи теоремы Пифагора. Для начала определим величины x, y и s параметрически, то есть представим их как функции времени: x = X(t), y = Y(t) и s = S(t). Производные этих функций — X'(t) и Y'(t) — можно рассматривать как катеты прямоугольного треугольника; их подстановка в теорему Пифагора ([X'(t)]²+[Y'(t)]²) дает значение производной S'(t). Интегрирование от А до В позволяет определить длину всей кривой. В свою очередь каждый линейный сегмент представляет собой касательную к кривой, называемую в данном случае касательным вектором. Однако поскольку кривая находится на круге Пуанкаре, то перед интегрированием полученный результат нужно умножить на значение метрики ([X'(t)]²+[Y'(t)]²)x(4/(1-x²– y²)²), чтобы ввести поправку на кривизну.

Для дальнейшего упрощения полученной картины приравняем Y(t) к нулю и таким образом ограничимся осью x. Затем начнем движение с постоянной скоростью вдоль оси x из точки 0 в точку 1. Если время также будет изменяться от 0 до 1, то уравнение движения будет иметь вид X(t) = t, и при Y(t) = 0, что предполагалось изначально, производная X'(t) = 1, поскольку производная от X в данном случае берется по отношению ко времени, а значение X всегда равно значению времени. Если представить производную в виде отношения, то последнее уравнение станет очевидным: в этом примере производная по X — это отношение изменения переменной X к изменению переменной X, а любое отношение такого вида — с одинаковым числителем и знаменателем — всегда равно 1.

Таким образом, пугающее своим видом выражение, полученное двумя абзацами выше, которое необходимо было каким-то образом проинтегрировать, чтобы получить из него длину, свелось к выражению 2/(1 — x²). Нетрудно заметить, что когда x стремится к единице, это отношение стремится к бесконечности, и точно так же стремится к бесконечности, или, как говорят математики, расходится, и его интеграл.

Важно отметить, что из стремления к бесконечности метрических коэффициентов — в данном случае G₁₁ и G₂₂ — еще не следует, что расстояние до границы также стремится к бесконечности. Но именно это имеет место в случае метрики Пуанкаре на единичном круге. Рассмотрим внимательнее, что происходит с этими значениями при движении в направлении от центра круга с течением времени. В начальной точке, где x = 0 и y = 0, оба коэффициента, G₁₁ и G₂₂ равны 4. Однако при приближении к границе круга, где сумма квадратов x и y близка к 1, метрические коэффициенты резко возрастают, как и длины тангенциальных векторов. К примеру, когда x = 0,7 и y = 0,7, G₁₁ и G₂₂ равны 10 000. При x = 0,705 и y = 0,705 значения коэффициентов будут больше 100 000; а для x = 0,7071 и y = 0,7071 — превысят 10 миллиардов. При приближении к границе круга эти коэффициенты будут не просто возрастать, но в конце концов устремятся к бесконечности — так же, как и расстояния до границы. Если бы вы были жуком, ползущим по поверхности в направлении границы круга, то, к величайшему огорчению, вы никогда бы ее не достигли. Впрочем, вы бы ничего не потеряли, поскольку данная поверхность не имеет границы в принципе. Если поместить открытый единичный круг на плоскость, то он приобретет границу в виде единичной окружности, являющейся частью данной плоскости. Но сам единичный круг Пуанкаре границы не имеет, и любой жук, пытающийся до нее добраться, умрет, так и не осуществив своей мечты. Этот непривычный и, возможно, противоречащий интуиции факт является результатом отрицательной кривизны единичного круга, обусловленной метрикой Пуанкаре.

Мы потратили некоторое время на обсуждение понятия метрики, для того чтобы уяснить для себя сущность кэлеровой метрики и кэлерового многообразия — многообразия, оснащенного подобной метрикой. Определить, является ли та или иная метрика кэлеровой, можно, исследуя ее изменение при переходе от одной точки к другой. Кэлеровы многообразия являются подклассом комплексных многообразий, известных как эрмитовы многообразия. При помещении начала комплексной системы координат в любую точку эрмитового многообразия метрика будет совпадать со стандартной евклидовой метрикой для данной точки. Однако при смещении из этой точки метрика становится все более и более неевклидовой. Выражаясь более строго, при смещении из начала координат на расстояние (эпсилон) метрические коэффициенты сами по себе изменятся на величину порядка . Такие многообразия принято характеризовать как евклидовы многообразия первого рода. Таким образом, если составляет одну тысячную миллиметра, то при смещении на коэффициенты эрмитовой метрики останутся постоянными в пределах одной тысячной миллиметра или около того. Кэлеровы многообразия являются евклидовыми многообразиями второго рода, что означает еще большую стабильность их метрики; метрические коэффициенты на кэлеровом многообразии при смещении из начала координат на изменяются как ². Продолжая предыдущий пример, для кэлерова многообразия при смещении на = 0,001 мм метрика изменится на 0,000001 мм.

Итак, что же побудило Калаби выделить кэлеровы многообразия как одни из наиболее интересных? Для того чтобы ответить на этот вопрос, следует рассмотреть все возможные варианты. Если требовать полной строгости, можно настаивать, к примеру, на том, чтобы многообразия были совершенно плоскими. Но совершенно плоскими являются только те компактные многообразия, которые имеют форму бубликов, торов и других близких к ним объектов, — что остается верным для любых размерностей, начиная от двух и выше. Тороидальные объекты просты для изучения, но их количество ограничено. Математикам интереснее исследовать более разнообразные объекты, дающие им более широкий спектр возможностей. С другой стороны, требования для причисления многообразий к категории эрмитовых слишком слабы — следовательно, число возможных объектов чрезвычайно велико. Кэлеровы многообразия, лежащие между эрмитовыми и плоскими, имеют как раз такой набор свойств, который нужен геометрам. Их структура достаточно развита, чтобы упростить работу с ними, но не настолько, чтобы ограничить математика в выборе многообразия, удовлетворяющего его спецификациям.

Другой причиной внимания к кэлеровым многообразиям стала возможность использования для их исследования методов, введенных Риманом, которые впоследствии использовал Эйнштейн. Эти методы работают на кэлеровых многообразиях, представляющих собой ограниченный класс эрмитовых многообразий, но в целом к эрмитовым многообразиям неприменимы. Мы крайне заинтересованы в возможности использования данных методов, поскольку их надежность была проверена еще в процессе разработки самим Риманом, кроме того, математики имели более столетия на их дальнейшее усовершенствование. Все это делает кэлеровы многообразия весьма привлекательным выбором, поскольку мы по сути уже имеем на руках технологию работы с ними.

Но и это еще не все. Данные многообразия заинтересовали Калаби из-за тех типов симметрии, которыми они обладают. Кэлеровы многообразия, как и все эрмитовы многообразия, обладают вращательной симметрией при умножении векторов на их поверхности на мнимую единицу i. Для случая одного комплексного измерения точки описываются парой чисел (a, b), взятой из выражения a + bi. Допустим, что координаты (a, b) определяют тангенциальный вектор, выходящий из начала координат. При умножении вектора на i его длина сохраняется, хотя сам вектор поворачивается на 90 градусов. Чтобы посмотреть на это вращение в действии, возьмем некую точку (a, b) или a + bi. Умножение на i даст в результате ia - b или, что эквивалентно,– b + ia, что соответствует новой точке (-b, a) на комплексной плоскости, определяющей вектор, ортогональный исходному и имеющий одинаковую с ним длину.