Теория струн и скрытые измерения вселенной

Окажись гипотеза SYZ верной, это стало бы аргументом в пользу существования подструктуры многообразий Калаби-Яу, что привело бы к более глубокому пониманию их геометрии. Согласно этой гипотезе, многообразие Калаби-Яу можно представить в виде двух трехмерных многообразий, переплетенных друг с другом. Одним из этих пространств является трехмерный тор. Отделив этот тор от другой части, «обратив» его (заменив радиус r обратной величиной 1/r) и вновь соединив части в одно целое, вы получите многообразие, являющееся зеркальным по отношению к исходному. Как утверждает Строминджер, SYZ «позволяет получить простую физическую и геометрическую картину того, чему соответствует зеркальная симметрия»[110].

Согласно гипотезе SYZ, ключ к пониманию зеркальной симметрии лежит в подмногообразиях пространств Калаби-Яу и в способе их организации. Вы, наверное, помните приведенное ранее сравнение поверхности, содержащей в себе множество подповерхностей или подмногообразий, с куском швейцарского сыра. Подмногообразия в данном случае являются не участками поверхности, а отдельными объектами с размерностью меньше размерности многообразия, представляющими собой отдельные дырки в «сыре», каждую из которых можно по отдельности покрыть чем-либо или пропустить что-либо сквозь нее. Точно так же, согласно гипотезе SYZ, и подмногообразия в пространствах Калаби-Яу обернуты D-бранами. Не хотелось бы вносить в дальнейший рассказ путаницу, но не могу не упомянуть, что существует и другое мнение, согласно которому D-браны сами являются подмногообразиями, а не просто их «упаковками». Физики предпочитают рассуждать в терминах бран, тогда как математикам удобнее пользоваться собственной терминологией. Подпространства такого типа, удовлетворяющие условию суперсимметрии, носят название лагранжевых подмногообразий и, как следует из их названия, обладают особыми свойствами: их размерность ровно вдвое меньше размерности пространств, в которых они находятся, а их мера (то есть длина, площадь, объем и т. д. — в зависимости от размерности) является минимальной.

Рассмотрим в качестве примера простейшее из возможных пространств Калаби-Яу — двухмерный тор, или бублик. В роли лагранжева подмногообразия в данном случае будет выступать одномерное пространство — объект, представляющий собой петлю, пропущенную через дырку бублика. Поскольку длина петли должна быть минимальна, петля должна точно совпадать с наименьшей из окружностей, проходящих через дырку, — варианты с петлями произвольного размера, а также с волнистыми и искривленными петлями не подходят. «Все многообразие Калаби-Яу в этом случае представляет собой объединение окружностей, — объясняет Марк Гросс, человек, сделавший больше всех остальных для развития гипотезы SYZ с того момента, как она была сформулирована. — Пусть существует некое вспомогательное пространство, назовем его В, несущее в себе информацию обо всех этих окружностях и само по себе являющееся окружностью».[111] Говорят, что В параметризирует этот набор окружностей, то есть каждой точке на В соответствует определенная окружность, а каждой окружности, проходящей через дырку бублика, — определенная точка пространства В. Можно представить это и по-другому, сказав, что пространство В, называемое пространством модулей, является в определенном смысле каталогом подпространств, из которых состоит многообразие. При этом В — не просто список: помимо «перечня подпространств» оно содержит и информацию об их расположении. По словам Гросса, пространство модулей В может стать ключом ко всей гипотезе SYZ. Поэтому стоит потратить еще немного времени, чтобы разобраться поподробнее со вспомогательными пространствами.

Если добавить еще одно комплексное измерение, перейдя таким образом от двух вещественных измерений к четырем, многообразие Калаби-Яу превратится в K3-поверхность. Подмногообразия, в свою очередь, в этом случае являются уже не окружностями, а двухмерными торами, соединенными в единое целое в рамках многообразия. «Изобразить четырехмерное пространство мне не под силу, — говорит Гросс. — Но я могу описать пространство В, указывающее на то, в каком порядке расположены составляющие его подмногообразия (бублики)».[112] В этом случае пространство В представляет собой просто двухмерную сферу. Каждая точка этой сферы соответствует отдельному бублику, за исключением двадцати четырех «плохих» точек, соответствующих «сжатым бубликам», имеющим сингулярности, смысл которых будет вкратце объяснен далее.

Добавим еще одно комплексное измерение, превратив рассматриваемое многообразие в трехмерное многообразие Калаби-Яу. Пространство В теперь превратится в трехмерную сферу (трехмерную поверхность мы изобразить не в состоянии), а ее подпространства — в трехмерные бублики. В этом случае набор «плохих» точек, соответствующих сингулярным бубликам, приходится на линейные сегменты, связанные друг с другом подобием сети. «Все точки линейного сегмента являются “плохими” [или сингулярными], однако те из них, которые лежат в вершинах сети, в местах пересечения сразу трех линейных сегментов, являются совсем плохими», — говорит Гросс. Эти точки, в свою очередь, соответствуют наиболее искаженным бубликам.[113]

Рис. 7.9. Гипотеза SYZ, названная в честь ее авторов, Эндрю Строминджера, автора данной книги (Шинтана Яу) и Эрика Заслоу, предлагает способ разложения сложного пространства, такого как многообразие Калаби-Яу, на составные части, или подмногообразия. Хотя мы не в силах изобразить шестимерное многообразие Калаби-Яу, вместо этого мы можем нарисовать двухмерное (имеющее два вещественных измерения) пространство Калаби-Яу, представляющее собой бублик с плоской метрикой. Подмногообразия, образующие бублик, являются окружностями, и их порядок определяется вспомогательным пространством В, также представляющим собой окружность. Каждая точка на В соответствует определенной окружности; и все многообразие — или бублик — состоит из набора подобных окружностей

Рис. 7.10. Гипотеза SYZ предоставляет новый взгляд на K3-поверхности, являющиеся классом четырехмерных многообразий Калаби-Яу. Согласно гипотезе SYZ, мы можем создать K3-поверхность, взяв двухмерную сферу, являющуюся вспомогательным пространством в данном примере, и прикрепив к каждой ее точке двухмерный бублик

Именно здесь и проявляется зеркальная симметрия. Работая над первоначальной идеей SYZ, оксфордский геометр Найджел Хитчин, Марк Гросс и некоторые из моих бывших студентов (Найчанг Линг, Вейдонг Руан и другие) построили следующую картину. Рассмотрим многообразие X, состоящее из набора подмногообразий, перечисленных в пространстве модулей В. Теперь возьмем подмногообразия, имеющие радиус r, и заменим его на обратную величину 1/r. Одной из неожиданных, хотя и прекрасных особенностей теории струн, не присущей классической механике, является возможность провести подобную замену, а именно перевернуть радиус цилиндра, сферы или пространства, не изменив при этом их физические характеристики. Движение точечной частицы по окружности радиуса r можно описать при помощи ее момента импульса, который при этом квантуется — принимает строго определенные значения, кратные постоянной Планка — h. Струна, движущаяся по окружности, также обладает моментом импульса, но, в отличие от точечной частицы, она может наматываться на окружность один или более раз. Число оборотов струны вокруг окружности называется ее топологическим числом. Итак, движение струны, в отличие от движения частицы, характеризуется двумя квантующимися величинами: ее моментом импульса и ее топологическим числом. Рассмотрим струну с топологическим числом, равным двум, и моментом импульса, равным нулю, движущуюся по окружности радиуса r, и струну с топологическим числом, равным нулю, и моментом импульса, равным двум (то есть 2h), движущуюся по окружности радиуса 1/r. Хотя описания этих двух случаев звучат по-разному и вызывают в воображении разные картины, с математической точки зрения оба случая идентичны и приводят к одним и тем же физическим характеристикам. Это свойство известно как T-дуальность. «Эта эквивалентность переходит с окружностей на их [декартовы] произведения — торы», — говорит Заслоу.[114] Буква T в названии «T-дуальность» и означает «торы». Строминджер, Заслоу и я сочли эту дуальность столь важной для зеркальной симметрии, что назвали нашу первую статью, посвященную гипотезе SYZ, «T-дуальность — это зеркальная симметрия».

Приведу простой пример, показывающий тесную взаимосвязь T-дуальности и зеркальной симметрии. Пусть многообразие М представляет собой тор — прямое произведение двух окружностей радиуса r. Многообразие, зеркальное к нему, М', также является тором — произведением двух окружностей радиуса 1/r. Представим себе теперь, что r чрезвычайно мало. Столь крошечный размер многообразия М приводит к тому, что для понимания связанной с ним физики нужно принимать во внимание квантовые эффекты. Таким образом, сложность расчетов многократно возрастает. Извлечь же физические характеристики из зеркального многообразия М', намного легче, поскольку для очень малого r величина 1/r будет очень велика, и квантовые эффекты можно свободно проигнорировать. Итак, зеркальная симметрия под личиной T-дуальности может существенно упростить ваши расчеты и жизнь в целом.

Теперь попробуем собрать воедино все идеи, выдвинутые ранее, начиная с нашего двухмерного примера. Заменив радиусы всех подмногообразий (окружностей) на 1/r, вы обнаружите, что многообразие, состоящее из этих окружностей, изменит свой радиус, но все равно останется тором. Данный пример называют тривиальным, поскольку многообразие и его зеркальный партнер топологически идентичны. Четырехмерный пример с K3-поверхностями также является в некотором отношении тривиальным, поскольку все K3-поверхности топологически эквивалентны. Шестимерный пример с трехмерными многообразиями Калаби-Яу намного интереснее. Компонентами этого многообразия являются трехмерные торы. T-дуальность заменяет их радиусы на обратные. Для несингулярного тора изменение радиуса не приводит к изменению топологии. Однако по словам Гросса, «даже если все исходные подмногообразия принадлежали к числу “хороших” [несингулярных], изменение радиуса все же может повлечь за собой изменение топологии многообразия в целом, поскольку части… могут быть собраны вместе нетривиальным образом».[115]

Это утверждение проще всего понять при помощи аналогии. Взяв набор линейных сегментов или, например зубочисток, можно сделать из них цилиндр, втыкая их определенным образом в кружок из пробки. Вместо цилиндра, имеющего две стороны, из тех же зубочисток можно сделать и одностороннюю ленту Мёбиуса, втыкая их под небольшим углом друг к другу. Итак, из одних и тех же частей (подмногообразий) можно получить объекты с совершенно разной топологией.[116]

Дело в том, что, проведя преобразование T-дуальности и используя различные методы сборки подмногообразий, мы получим два топологически различных многообразия, идентичных с точки зрения физики. Это часть того, что мы подразумеваем под зеркальной симметрией, но это далеко не все, поскольку другая важная особенность T-дуальности состоит в том, что зеркальные пары должны иметь эйлеровы характеристики противоположных знаков. Однако все многообразия, рассмотренные здесь — особые лагранжевы многообразия, — имеют эйлеровы характеристики, равные нулю, которые не изменяются при замене радиусов на 1/r.

Все сказанное выше выполняется для «хороших» (несингулярных) подмногообразий, а для «плохих» (сингулярных) работать не будет. В таких подмногообразиях T-дуальность приведет к изменению знака эйлеровой характеристики с +1 на -1 и наоборот. Предположим, что исходное многообразие включает тридцать пять плохих подмногообразий, двадцать пять из которых имеют эйлерову характеристику, равную + 1, а десять — равную -1. Как показал Гросс, эйлерова характеристика многообразия является суммой эйлеровых характеристик входящих в него подмногообразий — в данном случае она будет равна + 15. В зеркальном многообразии все будет наоборот: двадцать пять подмногообразий будут иметь эйлерову характеристику, равную -1, а десять — +1, что даст в результате -15 — величину, противоположную эйлеровой характеристике исходного многообразия — что как раз и было нам нужно.