Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Один из недостатков описанного метода, не имеющий отношения к анализу Хедрика и Вайсмана, связан с ограничениями современной техники: нынешним компьютерам просто не хватает мощности, чтобы рассчитать подробную метрику для шестимерных многообразий Калаби-Яу. Вычисление в шести измерениях требуют неимоверно больше операций, чем решение четырехмерной задачи. Несомненно, компьютеры продолжают совершенствоваться, и, возможно, они вскоре станут достаточно мощными, чтобы выполнять вычисления и для шести измерений.

Между тем, существует другой метод, который меньше зависит от вычислительных ограничений. Его начало было положено еще в 1980-е годы, когда я предположил, что риччи-плоскую метрику всегда можно аппроксимировать, поместив (или, говоря техническим языком, – «вложив») многообразие Калаби-Яу в опорное пространство очень высокой размерности. Такое опорное пространство называется проективным пространством, и оно напоминает комплексный вариант плоского евклидова пространства, за исключением того, что оно компактно. При размещении, например, многообразия в большем пространстве, подпространство автоматически наследует метрику (которая называется индуцированной метрикой)из опорного пространства. Аналогичная ситуация наблюдается, если поместить сферу в обычное евклидово пространство – сфера примет метрику опорного пространства. Если следовать похожей аналогии, то можно также считать, что дырка в швейцарском сыре встроена в более крупное пространство.

Рис. 9.5.С помощью процесса дискретизацииможно аппроксимировать одномерную кривую и двухмерную поверхность конечным числом точек. Такая аппроксимация, естественно, будет точнее при увеличении количества точек

Если мы знаем, как измерить расстояние в более крупном пространстве (большом сыре), то мы также будем знать, как измерить размер дырки. В этом смысле вложенное пространство, или дыра, наследует метрику из «сырного» опорного пространства, в котором она находится. В 1950-е годы Джон Нэш доказал, что если поместить римановы многообразия в пространство с достаточно большим количеством измерений, то можно получить любую желаемую индуцированную метрику. Но теорема Нэша о вложении, являющаяся одной из самых великих работ этого знаменитого математика, применима к действительным многообразиям, помещенным в действительное пространство. В общем случае, комплексный вариант теоремы Нэша неверен. Но я считал, что комплексная версия этой теоремы может быть верной при определенных обстоятельствах. Например, я аргументировал, что большой класс кэлеровых многообразий может быть вложен в проективное пространство высокой размерности таким образом, что индуцированная метрика будет сколь угодно близка к исходной метрике при условии, что индуцированная метрика соответствующим образом масштабирована или «нормализована», то есть все ее векторы умножены на константу. Будучи специальным случаем кэлеровых многообразий, многообразия Калаби-Яу с риччи-плоской метрикой удовлетворяют этому топологическому условию. Это означает, что можно всегда индуцировать риччи-плоскую метрику, и ее можно всегда аппроксимировать путем вложения многообразия в опорное или проективное пространство со значительно большей размерностью.

Рис. 9.6.В геометрии часто говорят о «вложении» объекта или пространства в «опорное пространство» высокой размерности. В данном случае мы вложили квадрат, то есть одномерный объект, поскольку он состоит из изогнутого несколько раз отрезка прямой, в двухмерное опорное пространство – сферу

Ганг Тиан, будучи в то время моим аспирантом, доказал это в статье, вышедшей в 1990 году, которая фактически была его диссертационной работой. С тех пор к моему исходному утверждению было добавлено несколько важных уточнений, включая диссертацию еще одного моего аспиранта Вей-Донг Руана о том, что возможна более точная аппроксимация риччи-плоской метрики. Главное уточнение было посвящено способу вложения многообразия Калаби-Яу в опорное пространство. Нельзя сделать это бессистемно. Идея состоит в том, чтобы выбрать соответствующее вложение так, чтобы индуцированная метрика была наиболее близка к риччи-плоской метрике. Для этого следует поместить многообразие Калаби-Яу на возможно лучшее место, так называемую сбалансированную позицию, которая является той позицией среди всех возможных, где наследуемая метрика приближается вплотную к риччи-плоской.

Понятие сбалансированной позиции ввели в 1982 году Петер Ли и я для случая подмногообразия (или подповерхностей) на сфере, находящейся в действительном пространстве. Затем мы пошли дальше – к общему случаю подмногообразия в сложном опорном (или проективном) пространстве со множеством измерений. В те годы Жан-Пьер Бургиньон, являющийся в настоящее время директором Института высших научных исследований, начал с нами сотрудничество, которое вылилось в 1994 году в совместную статью по этой теме.

Ранее на конференции по геометрии в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе я предположил, что каждое кэлерово многообразие, допускающее риччи-плоскую метрику, включая Калаби-Яу, является устойчивым, но такое понятие устойчивостисложно определить. На последующих семинарах по геометрии я продолжал подчеркивать важность работы Бургиньона-Ли-Яу, как теперь ее называют, в отношении идеи устойчивости. Наконец, несколько лет спустя мой аспирант Вей Луо из Массачусетского технологического института установил связь между устойчивостью Калаби-Яу и условием равновесия. Благодаря работе Луо я смог видоизменить свою гипотезу, придя к заключению, что если вложить Калаби-Яу в многомерное пространство, то можно всегда найти положение, в котором позиция будет равновесной.

Саймон Дональдсон доказал, что эта гипотеза является верной. Его доказательство также подтвердило суть этой новой схемы аппроксимации: если вложить Калаби-Яу в высокоразмерное опорное пространство и выполнить условие равновесия, то метрика будет значительно ближе к риччи-плоской. Дональдсон доказал это, показав, что индуцированные метрики образуют последовательность в опорных пространствах увеличивающейся размерности и что эта последовательность сходится, стремясь к идеальной риччи-плоской метрике при стремлении числа измерений к бесконечности. Однако это заявление справедливо лишь постольку, поскольку верна гипотеза Калаби: когда Дональдсон продемонстрировал, что эта метрика сходится к риччи-плоской метрике, его доказательство опиралось на существование риччи-плоской метрики.

Доказательство Дональдсона имело также и практические результаты, поскольку он показал, что существует лучший способ выполнения встраивания – равновесный метод. Разрешение проблемы таким способом дает средства ее решения и возможную стратегию для вычислений. В 2005 году Дональдсон применил этот метод, численно получив метрику для K3-поверхности, а также показав, что не существует фундаментальных препятствий для использования этого метода в случае увеличения числа измерений.[173] В 2008 году Майкл Дуглас с сотрудниками в своей статье, основанной на работе Дональдсона, получили численными методами метрику для семейства шестимерных многообразий Калаби-Яу – вышеупомянутой квинтики.

В настоящее время Дуглас сотрудничает с Брауном и Оврутом в вопросах вычисления метрики для многообразия Калаби-Яу в их модели. Пока никто не смог вычислить константы связи или массы. Но Оврута привлекает перспектива вычисления масс частиц. «Не существует способа выведения этих величин из самой Стандартной модели, – говорит он, – но теория струн, по крайней мере, предлагает возможность, которой никогда не было ранее». Не все физики согласны с тем, что эта цель достижима, однако Оврут считает, «что дьявол кроется в деталях. Нам еще предстоит вычислить константы взаимодействия Юкавы и массы, которые могут оказаться полностью неверными».[174]

Канделас считает маловероятным, что современные модели окажутся конечной моделью Вселенной. Он придерживается мнения, что при попытке создать такую модель можно получить «много верных подтверждений. Но если углубиться в эти модели, то рано или поздно окажется, что в них что-то не работает».[175] Не стоит считать современные модели последним словом, лучше рассматривать их как часть общего процесса изучения природы, в ходе которого разрабатываются важные инструментальные средства. Все сказанное относится и к работам по реализации Стандартной модели, включающей браны, орбиобразия или торы, ни одна из которых не доведена до конца.

Но Строминджер считает, что прогресс налицо. «Люди находят все больше и больше моделей, а некоторые из этих моделей подходят все ближе к тому, что мы наблюдаем вокруг нас. Но мы еще не видели как “баскетбольный мяч летит через всю площадку”. Именно этого мы ждем с нетерпением».[176] Используя еще одну аналогию со спортом, Строминджер сравнил статью 1985 года о компактификации Калаби-Яу, написанную им совместно с Канделасом, Горовицом и Виттеном, с попаданием мяча для гольфа в лунку, находящуюся на расстоянии двух сотен ярдов. «Было чувство, что необходим еще только один удар, чтобы попасть в лунку. Но прошло уже два десятилетия, а физики все еще пытаются это сделать», – говорит он.[177]