Том 12. Числа-основа гармонии. Музыка и математика

Вертикальный перенос и отражение относительно вертикальной оси: ракоходный перенос

При такой комбинации преобразований исходная мелодия транспонируется, а затем заменяется ракоходом.

Вертикальный перенос и отражение относительно горизонтальной оси: инвертированная транспозиция

Для выполнения этой комбинации преобразований необходима транспозиция мелодии на новую начальную ноту с последующим инвертированием мелодии. Однако эти два преобразования можно свести к одному путем правильного выбора оси симметрии.

На этом примере показана комбинация вертикального переноса со смещением относительно горизонтальной оси (соответствует линии ноты си).

Тот же результат, что и на предыдущей иллюстрации, но полученный одним преобразованием — отражением относительно оси, соответствующей ноте соль.

В хорале «Агнец» (The Lamb) современного английского композитора Джона Тавенера, написавшего его для своего трехлетнего племянника, сочетаются некоторые из вышеописанных преобразований. Это произведение обладает множественной симметрией: исходная мелодия первого такта повторяется во втором (горизонтальный перенос), одновременно с этим вступает второй голос, который представляет собой инверсию исходной мелодии, полученную симметричным отображением относительно горизонтальной оси. Ось симметрии соответствует ноте соль. Третий такт содержит новую мелодию, в четвертом такте происходит ракоход этой мелодии (ее симметричное отражение относительно вертикальной оси). В пятом и шестом тактах повторяется мелодия третьего и четвертого тактов, которую дополняет второй голос — симметрично отображенная относительно горизонтальной оси мелодия пятого и шестого тактов. Следовательно, мелодия шестого такта для второго голоса — это поворот четвертого такта основного голоса на 180°.

Хотя интервалы между любыми двумя нотами мелодии строго соблюдаются, из эстетических соображений композитор изменил длительность последней ноты каждой музыкальной фразы. Однако это не нарушает симметрию, так как мелодическая линия, которую мысленно рисует композитор, зависит от порядка исполнения звуков, а не от диезов и бемолей.

* * *

ПЕЧАТЬ БАХА

Иоганн Себастьян Бах создал собственную идеально симметричную печать. В ней сочетаются три символа: корона, символизирующая Бога, инициалы композитора — JSB, и их зеркальное отображение. Сочетание симметрично отраженной J и исходной буквы S образует греческую букву 

. Эта буква обозначает крест и является первой буквой в имени Христа, записанном по-гречески. Аналогичная симметрия затем используется еще два раза.

* * *

В Canon Concordia Discors, BWV 1086 Иоганна Себастьяна Баха имитация основной мелодии является инверсией, ось симметрии проходит по линии ноты ми. Если бы мы захотели «классифицировать» это произведение, то сказали бы, что в нем используется отражение относительно горизонтальной оси в сочетании с переносом (канон).

Еще одной особенностью некоторых сочинений Баха является использование шифров в их музыкальной записи. В каноне, имеющем номер 1073 по каталогу BWV, Бах записал на нотном стане всего одну мелодию, однако поместил в начало партитуры не один, а четыре ключа. Каждый ключ определяет записанные ноты по-разному; таким образом, мелодия переобозначается для каждого ключа. По порядку записи ключей мелодия начинается с ноты до, затем с ноты соль, далее с ре и, наконец, с ля. Именно на эти четыре ноты настроены струны виолы — одного из любимых инструментов Баха.

Переписав партитуру для стандартных ключей соль и фа и начав каждый голос с позиции, указанной композитором, можно восстановить полную нотную запись канона.

* * *

КОРОЛЕВСКАЯ ТЕМА

В 1740 году Карл Филипп Эммануил Бах (1714–1788), второй из пяти сыновей Иоганна Себастьяна Баха, стал членом королевского двора Фридриха II Великого, короля Пруссии. Во дворце ежедневно давались концерты камерной музыки. Король был меломаном, композитором и играл на флейте. Ему стало известно об искусстве Баха, и он захотел познакомиться с ним. После долгих уговоров Карлу удалось добиться согласия отца. Он посетил Потсдам, где располагался королевский дворец, и по просьбе короля попробовал сыграть на всех фортепиано Зильбермана, которые находились в залах дворца. Желая показать свои способности, Бах попросил короля сымпровизировать и сыграть мелодию, на основе которой хотел написать фугу. Бах уехал в Лейпциг и в благодарность за радушный прием сочинил «Музыкальное приношение», взяв за основу мелодию, придуманную королем. Этот цикл произведений, в котором композитор демонстрирует свои удивительные способности, был завершен спустя два месяца после встречи с королем и состоит из двух ричеркаров (старинное название фуги), десяти канонов и одной сонаты. В рукописи Бах озаглавил первый ричеркар Regis lussu Cantio Et Reliqua Canonica Arte Resoluta, что означает «Данная повелением короля тема и прочее, исполненное в каноническом роде». Эта фраза содержит игру слов — акростих: если записать слова фразы одно под другим, первые буквы образуют слово RICERCAR — «РИЧЕРКАР».

Портрет Карла Филиппа Эммануила Баха. Внизу — партитура темы короля Фридриха II Великого.

* * *

Преобразования, изменяющие размеры

Три вида преобразований, которые мы рассмотрели (перенос, отражение и поворот), являются изометрическими, то есть сохраняют исходные размеры музыкальных фигур и расстояния между ними.

Также существует неизометрическое преобразование, которое применяется в музыке. Оно называется масштабирование. Масштабирование увеличивает или уменьшает один из линейных размеров фигуры. При этом преобразовании соотношение сторон фигуры может как сохраняться неизменным, так и изменяться. Если мы хотим применить это преобразование в музыкальной нотации, необходимо четко различать два «измерения» музыкальной плоскости.

Горизонтальное масштабирование

Наиболее наглядными примерами этого преобразования являются сжатие и растяжение вдоль временной оси. Чтобы произвести такое преобразование и, следовательно, изменить скорость, с которой исполняется произведение, необходимо изменить темп метронома:

Изменение скорости путем изменения темпа метронома.

Однако порой интереснее изменить скорость исполнения мелодии, сохраняя темп метронома неизменным. Для этого ноты заменяются эквивалентными нотами меньшей длительности:

«Немецкий реквием» Иоганнеса Брамса

Немецкий композитор Иоганнес Брамс (1833–1897), представитель романтизма, использовал масштабирование в своем знаменитом «Немецком реквиеме». В первых тактах соло (линия партитуры с подписью soprano solo) мелодия сопрано образована восьмыми нотами. Теноры повторяют эту же мелодию, но длительность нот удваивается: восьмые ноты заменяются четвертными, четвертные — половинными и так далее. В результате сопрано исполняет мелодию в два раза быстрее, чем теноры (tenors на партитуре):

Puttin' on the Ritz

Автором этой известной мелодии является американский композитор Ирвинг Берлин (1888–1989) — «величайший песенный композитор всех времен», по словам его соотечественника Джорджа Гершвина. Эту песню, которая впервые прозвучала в 1929 году, впоследствии исполняли Бенни Гудмен, Фред Астер и другие известные певцы. Текст песни довольно прост, но, несмотря на это, она отличается запутанной ритмикой. В мелодии четыре раза повторяется очень простая фигура из четырех нот, но эти четыре повторения занимают не четыре такта, а чуть больше трех, за счет чего образуется неравномерный ритм:

Берлину удалось достичь этого удивительного эффекта за счет «сжатия» нот. На следующей иллюстрации можно видеть, как четыре ноты, сгруппированные в фигуры и обозначенные кругами под номерами от 1 до 4, следуют друг за другом. Стрелкой обозначена граница такта.

Вертикальное масштабирование

Что происходит при вертикальном масштабировании? Это преобразование — самое необычное из рассмотренных нами. Его сложнее всего выполнить и весьма непросто услышать в музыкальной композиции. При вертикальном масштабировании все интервалы пропорционально расширяются. В первом примере интервалами мелодии являются две терции. Во втором примере терции преобразуются в квинты.