У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.

Коэн внес значительный вклад в различные области математики, такие как теория чисел, математический анализ и логика. В1966 году на Международном математическом конгрессе в Москве он получил Филдсовскую премию — самую престижную математическую награду — за работу над континуум-гипотезой. Пол Коэн скончался в Калифорнии в марте 2007 года.

Кантор безуспешно пытался доказать ее в течение многих лет. К 1900 году решения все еще не было, и Гильберт поставил эту гипотезу на первое место в списке проблем в своем знаменитом докладе на конгрессе в Париже.

Решение проблемы в том виде, в каком мы знаем его сейчас, было получено в два этапа. Первый был завершен Гёделем в конце 1930-х годов. В 1938 и 1940 годах Гёдель опубликовал две статьи, где вкратце изложил различные аспекты первой части решения, которое детально изложено в курсе, прочитанном в Институте перспективных исследований. Конспекты курса были изданы в форме книги в 1940 году.

Вторую часть решения получил в 1963 году Пол Коэн — американский математик, который также работал в Институте перспективных исследований. Говорят, Коэн первым показал свое решение Гёделю, но когда он пришел к знаменитому коллеге, тот как раз переживал пик маниакально-депрессивного кризиса и не захотел впускать гостя, поэтому ему пришлось просовывать бумаги под дверь. Через несколько дней Гёдель позвонил коллеге и пригласил выпить чаю, из чего Коэн сделал вывод, что его решение верно. И действительно, за эту работу ученый в итоге получил Филдсовскую премию — для математиков она эквивалентна Нобелевской.

РЕШЕНИЕ ГЁДЕЛЯ И КОЭНА

Верна ли континуум-гипотеза? Это до сих пор неизвестно, поскольку ответ, найденный Гёделем и Коэном, состоит в том, что ни подтвердить континуум-гипотезу, ни опровергнуть ее невозможно на основе аксиом теории множеств. Если обозначить СН высказывание, в котором говорится, что "не существует множества с кардинальным числом, промежуточным между N и R", то СН для теории множеств — это идеальный пример первой теоремы Гёделя о неполноте: ни оно, ни его отрицание недоказуемы.

Как Гёдель и Коэн доказали это? Обозначим • абстрактную числовую операцию и предположим, что она удовлетворяет двум аксиомам:

— аксиома 1: операция коммутативна, то есть a • b = b • а;

— аксиома 2: у операции есть нейтральный элемент, то есть такой, что при операции с ним не происходит никаких изменений (если этот нейтральный элемент назвать е, то а • е = а).

Моделью назовем любой конкретный пример, любую специфическую операцию, выполняющую эти аксиомы. Например, сумма целых чисел — это модель, поскольку сумма коммутативна и имеет нейтральный элемент (то есть 0). Произведение целых чисел — также модель, поскольку эта операция также коммутативна и имеет нейтральный элемент (то есть 1). Вычитание целых чисел, наоборот, не является моделью, поскольку оно некоммутативно (например, 2 - 3 — не то же самое, что 3-2).

На основе этих аксиом можно синтаксически (согласно терминологии из предыдущей главы) доказать, что не может быть двух различных нейтральных элементов. То есть если е и е' — элементы, удовлетворяющие аксиоме 2, то обязательно е = е'. Доказательство состоит в следующем: предположим, что для e и e' верна аксиома 2. Тогда, так как е — нейтральный элемент, е • е' = е' (при операциях с е не происходит никаких изменений). Но е также нейтральный элемент, тогда e' • е = е (при операциях с е' не происходит никаких изменений). Получается, что:

е = е' • е = е • e' = е', следовательно, е = е'.

Любое утверждение, выводимое из аксиом, обязательно будет справедливо во всех моделях, потому что это же самое доказательство воспроизводимо на каждом конкретном примере. Следовательно, в любом примере, выполняющем аксиомы 1 и 2, окажется, что нейтральный элемент операции является единственным. Это происходит, конечно же, в случае суммы (где нет другого нейтрального элемента, кроме 0) и произведения (где единственный нейтральный элемент — 1).

Теперь назовем поглощающим такое число f, что при операциях с ним результат вновь дает f(то есть а • f = f), и рассмотрим утверждение Р "у операции есть поглощающий элемент". Вопрос: можно ли вывести Р из аксиом 1 и 2? Можно ли вывести отрицание Р? Из того факта, что операция коммутативна и имеет нейтральный элемент, можем ли мы вывести, обладает она поглощающим элементом или нет?

Сверху — аксиомы коммутативной операции с нейтральным элементом. Слева внизу — пример, выполняющий эти аксиомы, но не имеющий поглощающего элемента. Справа внизу — пример, в котором имеется поглощающий элемент. Следовательно, существование или отсутствие поглощающего элемента не может быть выведено из аксиом из верхней части схемы.

Если бы существование поглощающего элемента было доказуемым на основе аксиом, то любая коммутативная операция с нейтральным элементом обладала бы поглощающим элементом. Однако это не так, поскольку у суммы, коммутативной операции с нейтральным элементом, нет поглощающих элементов. Следовательно, утверждение Р недоказуемо на основе аксиом 1 и 2.

А если бы отсутствие поглощающего элемента было доказуемым, то ни одна операция, выполняющая аксиомы 1 и 2, не имела бы поглощающих элементов. Однако у произведения целых чисел он есть, поскольку 0 — поглощающий элемент, так что отрицание Р также недоказуемо на основе аксиом. Существование или отсутствие поглощающего элемента не может быть ни доказано, ни опровергнуто на основе аксиом 1 и 2 (см. схему на этой странице).

Гёдель приводит подобные рассуждения в своей второй статье по теории относительности, чтобы опровергнуть факт, утверждаемый Джеймсом Джинсом, о том, что в рамках теории относительности можно определить понятие абсолютного времени. Гёдель отвечает ему, что поскольку он нашел модели теории, в которых этого понятия не существует, невозможно вывести из уравнений Эйнштейна обязательного существования абсолютного времени.

Вернемся к проблеме Кантора. Способ, которым Гёдель и Коэн доказали, что континуум-гипотеза неразрешима на основе аксиом теории множеств, подобен способу, которым мы воспользовались для доказательства неразрешимости Р относительно аксиом 1 и 2. В статьях 1938 и 1939 годов, а также более детально в книге 1940 года Гёдель демонстрирует модель, выполняющую аксиомы теории множеств, для которой континуум-гипотеза верна. В этой модели нет множеств с промежуточными кардинальными числами между N и R — подобно тому, как мы нашли модель, в которой нет поглощающих элементов. Это доказывает, что СН не может быть опровергнута (если бы ее можно было опровергнуть на основе аксиом, она была бы ложной во всех моделях).

Изменение — это иллюзия видимости, вызванная особенностями нашего восприятия.

Курт Гёдель, 1949 год

В 1963 году Коэн нашел модель аксиом теории множеств, в которой существует множество с промежуточным кардинальным числом между N и К, то есть модель, в которой СН ложна, и таким образом доказал, что СН не может быть доказана на основе аксиом теории множеств.

Но в стандартной модели, которую мы имеем в виду, формулируя аксиомы теории множеств, континуум-гипотеза истинна или ложна? На этот вопрос еще нет ответа. Многие специалисты считают, что надо найти еще одну аксиому, которую будут согласны принять как верную все заинтересованные лица, и она позволит в конце концов доказать или опровергнуть СН в стандартной модели. Общее мнение, основанное на философских аргументах (Гёдель и Коэн его разделяли), состоит в том, что континуум-гипотеза на самом деле ложна.

ГЛАВА 5 Следствия из работы Гёделя

Теоремы Гёделя о неполноте обозначили поворотную точку в исследованиях, связанных с философией математики. Современные тексты по философии математики обязательно учитывают теоремы Гёделя, анализируют и делают из них выводы, которые часто становятся причиной споров. Изучение следствий из теорем о неполноте едва лишь началось и, возможно, будет длиться еще десятки или сотни лет.

В Принстоне Гёдель нашел спокойный и однообразный социальный климат, идеально подходящий его образу жизни. Однако даже благоприятное окружение не смягчило ни ипохондрию ученого, ни его чудачества. Напротив, с течением времени его странности усилились до такой степени, что в 1941 году директор Института перспективных исследований Франк Эйделотт был вынужден спросить у личного врача Гёделя, существует ли опасность того, что его начинающаяся паранойя станет опасной для него и окружающих. Хотя врач ответил, что такой опасности нет, сам факт возникновения этого вопроса говорит о многом.