Удивительная логика
Шрифт:
Как нестрогая, так и строгая дизъюнкции могут состоять не только из двух, но и из большего числа простых суждений. Например: Он изучает английский, или он изучает немецкий, или он изучает французский (a b с); Он учится в 9 классе, или он учится в 10 классе, или он учится в 11 классе (a _ b _ c).
Импликативное суждение (импликация) – это сложное суждение с условным союзом ЕСЛИ…ТО, который обозначается знаком «=>». С помощью этого знака импликативное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: а => в (читается «если а, то b»), где а и b – это два простых суждения. Например, сложное суждение Если вещество является металлом, то оно электропроводно представляет собой импликативное суждение (причинно-следственную связь) двух простых суждений: Вещество является металлом и Вещество
Первая часть импликации называется основанием, а вторая – следствием; из основания вытекает следствие, но из следствия не вытекает основание. Формулу импликации: а => b, можно прочитать так: «если а, то обязательно b, но если b, то не обязательно а».
Эквивалентное суждение (эквиваленция) – это сложное суждение с союзом ЕСЛИ…ТО не в его условном значении (как в случае с импликацией), а в тождественном (эквивалентном). В данном случае этот союз обозначается знаком «<=>», с помощью которого эквивалентное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы: а <=> b (читается «если а, то b, и если b, то а»), где а и b – это два простых суждения. Например, сложное суждение Если число является четным, то оно делится без остатка на 2 представляет собой эквивалентное суждение (равенство, тождество) двух простых суждений: Число является четным и Число делится без остатка на 2. Нетрудно заметить, что в данном случае два суждения связаны так, что из первого вытекает второе, а из второго – первое: если число четное, то оно обязательно делится без остатка на 2, а если число делится без остатка на 2, то оно обязательно четное.
Понятно, что в эквиваленции (в отличие от импликации) не может быть ни основания, ни следствия, так как две ее части являются равнозначными суждениями.
Отрицательное суждение (отрицание) – это сложное суждение с союзом НЕВЕРНО, ЧТО, который обозначается знаком «¬». С помощью этого знака отрицательное суждение можно представить в виде формулы: ¬ а (читается «неверно, что а»), где а – это простое суждение. Здесь может возникнуть вопрос: где же вторая часть сложного суждения, которую мы обычно обозначали символом b? В записи ¬ а, уже присутствуют два простых суждения: а – это какое-то утверждение, а знак «¬» – его отрицание. Перед нами как бы два простых суждения – одно утвердительное, другое отрицательное. Пример отрицательного суждения: Неверно, что все мухи являются птицами.
Союзов в естественном языке много, но все они по смыслу сводятся к рассмотренным пяти видам, и любое сложное суждение относится к одному из них. Например, сложное суждение Уж полночь близится, а Германна все нет является конъюнкцией, потому что в нем союз А употребляется в роли соединительного союза И. Сложное суждение Посеешь ветер, пожнешь бурю, в котором вообще нет союза, является импликацией, так как два простых суждения в нем связаны условным союзом ЕСЛИ…ТО.
Приведем еще несколько примеров сложных суждений с различными союзами естественного языка, которые выступают в роли нескольких рассмотренных нами логических союзов.
Живое существо является человеком только тогда, когда оно обладает мышлением (эквиваленция).
• Человечество может погибнуть то ли от истощения земных ресурсов, то ли от экологической катастрофы, то ли в результате третьей мировой войны (нестрогая дизъюнкция).
• Вчера он получил двойку не только по математике, но еще и по русскому (конъюнкция).
• Проводник нагревается, когда через него проходит электрический ток (импликация).
• Окружающий нас мир либо познаваем, либо нет (строгая дизъюнкция).
• Либо же он совершенно бездарен, либо же полный лентяй (нестрогая дизъюнкция).
• Когда человек льстит, он лжет (импликация).
• Вода превращается в лед лишь при температуре от нуля градусов по Цельсию и ниже (эквиваленция).
Две прямые, лежащие в одной плоскости, не имеют общих точек только тогда, когда они параллельны (эквиваленция).
Вместо того, чтобы пойти в школу, он пошел гулять (конъюнкция).
Английский язык можно изучать либо в школе, либо на курсах, либо с репетитором, либо самостоятельно (нестрогая дизъюнкция).
То ли в мире действует всеобщая закономерность, то ли всеобщая случайность (строгая дизъюнкция).
Он не готовился к занятиям или систематически прогуливал их (нестрогая дизъюнкция).
Чем дальше в лес, тем больше дров (импликация).
Деревья качаются, потому что дует ветер (импликация).
Хотя на море разыгрался шторм, корабль неуклонно двигался своим курсом (конъюнкция).
• Глаза боятся, а руки делают (конъюнкция).
• Бели с утра шел дождь, то к полудню прояснилось (конъюнкция).
• Кончил дело, гуляй смело (импликация).
• Треугольник является равносторонним только тогда, когда все его углы равны (эквиваленция).
Любое сложное суждение является истинным или ложным в зависимости от истинности или ложности входящих в него простых суждений. Ниже приведена таблица истинности всех видов сложных суждений в зависимости от всех возможных наборов истинностных
значений двух входящих в них простых суждений. Таких наборов всего четыре:• оба простых суждения истинные;
• первое суждение истинное, а второе ложное;
• первое суждение ложное, а второе истинное;
• оба суждения ложные.
Таблица
Как видим, конъюнкция (а b) истинна только тогда, когда истинны оба простых суждения, входящих в нее. Надо отметить, что конъюнкция, состоящая не из двух, а из большего количества простых суждений, также истинна только в том случае, когда истинны все входящие в нее суждения. Во всех остальных случаях она является ложной.
Нестрогая дизъюнкция (a b), наоборот, истинна во всех случаях за исключением того, когда оба входящих в нее простых суждения ложны. Нестрогая дизъюнкция, состоящая не из двух, а из большего количества простых суждений, также ложна только тогда, когда ложны все входящие в нее простые суждения. Строгая дизъюнкция (а _ b) истинна только тогда, когда одно входящее в нее простое суждение истинно, а другое ложно. Строгая дизъюнкция, состоящая не из двух, а из большего количества простых суждений, истинна только в том случае, если истинно только одно из входящих в нее простых суждений, а все остальные ложны.
Импликация (а => b) ложна только в одном случае, – когда ее основание является истинным, а следствие ложным. Во всех остальных случаях она истинна.
Эквиваленция (а <=> b) истинна тогда, когда два составляющих ее простых суждения истинны или же когда они оба являются ложными. Если одна часть эквиваленции истинна, а другая ложна, то эквиваленция ложна.
Проще всего определяется истинность отрицания: когда утверждение (а) истинно, его отрицание (¬ а) ложно; когда утверждение (а) ложно, его отрицание (¬ а) истинно.
Есть ли жизнь на Марсе? (Виды и правила вопросов)
Вопрос весьма близок к суждению. Это проявляется в том, что любое суждение можно рассматривать как ответ на некий вопрос. Поэтому вопрос – это логическая форма (конструкция), которая направлена на получение ответа в виде некоторого суждения.
Вопросы делятся на исследовательские и информационные.
Исследовательские вопросы направлены на получение нового знания. Это вопросы, на которые пока нет ответов, например: Как родилась Вселенная?
Информационные вопросы имеют своей целью приобретение (передачу от одного лица другому) уже имеющихся знаний (информации), например: Какова температура плавления свинца?
Вопросы также делятся на категориальные и пропозициональные.
Категориальные (восполняющие, специальные) вопросы включают в себя вопросительные слова кто, что, где, когда, почему, как и т. п., указывающие направление поиска ответов и, соответственно, категорию объектов, свойств или явлений, в которой следует искать нужные ответы. Категориальным, например, является вопрос Кто создал Периодическую систему химических элементов?
Пропозициональные (уточняющие, общие) вопросы направлены на подтверждение или отрицание некоей уже имеющейся информации. В этих вопросах ответ как бы уже заложен в виде готового суждения, которое надо лишь подтвердить или отвергнуть. Вопрос Полезно ли изучение математики? является пропозициональным.
Понятно, что и исследовательские, и информационные вопросы могут быть как категориальными, так и пропозициональными. Например: Как создать универсальное доказательство теоремы Ферма? – исследовательский категориальный вопрос; Есть ли во Вселенной планеты, населенные, как и Земля, разумными существами? – исследовательский пропозициональный вопрос; Когда появилась логика? – информационный категориальный вопрос; Верно ли, что число – это отношение длины окружности к ее диаметру? – информационный пропозициональный вопрос.
Приведем еще несколько примеров вопросов.
• Когда был открыт закон Всемирного тяготения? (информационный категориальный вопрос).
• Смогут ли жители Земли расселиться на других планетах Солнечной системы? (исследовательский пропозициональный вопрос).
• В каком году родился Наполеон? (информационный категориальный вопрос).
• Каково будущее человечества? (исследовательский категориальный вопрос).
• Возможно ли предотвратить третью мировую войну? (исследовательский пропозициональный вопрос).
• Что такое тригонометрия? (информационный категориальный вопрос).
• Можно ли измерить расстояние от Земли до Луны? (информационный пропозициональный вопрос).
• Кто является создателем квантовой теории? (информационный категориальный вопрос).
• Чем отличаются естественные науки от гуманитарных? (информационный категориальный вопрос).
• Вел ли Древний Рим продолжительные завоевательные войны? (информационный пропозициональный вопрос).
• В чем смысл человеческой жизни? (исследовательский категориальный вопрос).
• Где находится самое высокое место земного шара? (информационный категориальный вопрос).
• Чему равна скорость света? (информационный категориальный вопрос).
• Что такое любовь? (исследовательский категориальный вопрос).
• Верно ли, что геоцентрическая картина мира появилась еще в древности? (информационный пропозициональный вопрос).
• Как зародилась жизнь во Вселенной? (исследовательский категориальный вопрос).
Достигнут ли люди когда-нибудь всеобщего процветания? (исследовательский пропозициональный вопрос).
• Как доказывается теорема Пифагора? (информационный категориальный вопрос).
• Возможно ли полное преодоление социальной несправедливости? (исследовательский пропозициональный вопрос).
• Кто считается создателем формальной логики? (информационный категориальный вопрос).