Удивительные числа Фибоначчи
Шрифт:
Давайте попробуем преобразовать эту задачу и изложить ее, хотя бы, так.
Ранним утром, Сергей выехал из своего родного поселка Верхнереченска в областной центр. Было раннее утро, и на трассе было не очень много машин. Проехав немного, Сергей заметил автомобиль, такой же модели, как и у него.
Сергей немного прибавил газу. Поравнявшись, Сергей узнал машину Олега, своего знакомого, который проживал в поселке Нижнереченске. Они познакомились в автосалоне, когда покупали свои автомобили. Сергей посигналил, Олег тоже узнал приятеля и остановился у обочины. Они вышли, чтобы немного передохнуть и поговорить. Заметив придорожный знак, который показывал, что до областного центра осталось ровно восемьдесят километров, Сергей, с улыбкой, сказал, что Олег проехал в десять раз больше его. Примерно через сорок минут
Ну, а мы попытаемся, используя полученную информацию, чтобы выяснить протяженность дороги от Нижнереченска до Верхнереченска.
Сначала вспомним, что когда приятели доехали до областного центра, Олег сказал, что проехал в два раза больше, чем Сергей. Это может означать только то, что от Нижнереченска до Верхнереченска такое же расстояние, как от Верхнереченска до областного центра. Разумеется, что имеется ввиду расстояние по трассе!
Но что нам это даст? Пока мы только можем утверждать, что это расстояние больше восьмидесяти километров. На несколько километров, но больше! Но насколько? Давайте рассуждать. Олег выехал из своего Нижнереченска, проехал восемьдесят километров и еще несколько километров. Итак, он проехал Верхнереченск, откуда, примерно в это же время выехал Сергей. Проехав еще те же несколько километров, приятели встретились. Значит, к моменту их встречи Олег проехал восемьдесят километров, еще несколько, да еще несколько. А Сергей проехал только несколько. Но, как он сам сказал, это в десять раз меньше, чем проехал Олег. Иными словами, если бы Сергей проехал десять раз эти несколько километров, то это было бы ровно столько, сколько проехал Олег.
Теперь, давайте превратим километры в граммы. Дистанцию в восемьдесят километров мы превратим в гирьку весом восемьдесят грамм, а эти несколько километров в монетки, вес которых нам пока неизвестен.
Итак, на одной чаше весов находится гирька с двумя монетками, а на другой чаше десять таких же монет. Но нам нужно узнать точный вес. Поэтому, нужно убрать две монетки с чаши, где находится гирька. А для того, чтобы сохранить равновесие, нужно убрать две монетки и с другой чаши. Вот теперь, ясно, что восемь монет весят восемьдесят грамм. А значит одна монетка весит десять грамм.
Теперь, снова превратим граммы в километры, и убедимся, что Сергей, до встречи с Олегом, проехал десять километров. А его приятель Олег проехал восемьдесят километров, затем десять, затем еще десять. То есть сто километров, что в десять раз больше, чем десять.
И вот, теперь, можно с уверенностью ответить, что протяженность дороги от Нижнереченска до Верхнереченска составляет девяносто километров, как и от Верхнереченска до областного центра, как и расстояние, которое преодолел объект альфа к моменту времени Т0.
Вот так, даже не составляя систему уравнений, мы решили эту задачу. Для этого нам потребовалось, всего-навсего, наполнить задачу образами, и провести пошаговые рассуждения.
Некоторые могут сказать, что мы слишком долго "жевали". Но мы ответим, что длительное жевание, и в прямом, и в переносном смысле, способствует более легкому усвоению.
Эту же задачу можно превратить в загадку о возрасте. Например, брат старше своей сестры в два раза, хотя восемь лет назад он был в десять раз старше ее. Насколько лет брат старше сестры?
И при этом мы можем просто отгадывать эту загадку. Иными словами, решать задачу методом «проб и ошибок».
Некоторые возмутятся, и скажут, что это вообще антинаучно!
Ах, если бы, эти некоторые, только знали, сколько научных открытий было совершено именно этим методом!
Поэтому, можно, без всякого смущения, пробовать и проверять. Понятно, что возраст сестры более восьми полных лет. Иначе, задачка была бы бессмысленной! Предположим, что сестренке сейчас десять лет. Значит ее брату двадцать. Теперь, следует проверить, во сколько раз брат был старше сестры восемь лет назад? Ему было двенадцать лет , а ей два годика. При этом, выходит, что брат был старше сестры только в шесть раз. Значит, первое предположение оказалось ошибочным. А значит, нужно сделать следующее предположение! Но теперь, стоит немного призадуматься, в какую
же сторону двигаться? Ну, поскольку, это пока непонятно, попробуем в сторону увеличения. Предположим, что сестре двенадцать лет, а брату соответственно двадцать четыре. Но, при таком раскладе, восемь лет назад брату было шестнадцать, а сестре четыре. Значит, второе предположение не только неправильное, но, даже, более неправильное, чем первое! А это значит, что двигаться нужно было в сторону уменьшения! А в сторону уменьшения остается один единственный вариант: сестренке девять лет. Теперь, проверив это предположение, можно убедиться, что оно правильное!Да! Потребовалось целых три попытки! Но, при этом не потребовалось мучительно вспоминать сложные формулы или составлять систему уравнений!
Давайте убедимся, что метод проб и ошибок является, хотя и длительным, зато универсальным, то есть применимым для любых задач.
На одной из многочисленных рек, протекающих в нашей необъятной стране, по обоим берегам расположены два поселка. А вот моста в этом месте реки нет. Для того, чтобы жители каждого из поселков могли общаться друг с другом, налажена паромная переправа. Это, когда некоторая плавучая платформа, на которой могут разместиться и пассажиры и автомобили, пересекает реку то в одном направлении, то в обратном. Разумеется, что у многих жителей имелись свои лодки, как моторные, так и весельные.
Представим себе, что однажды майским утром одновременно от левого берега отчалили и паром и весельная лодка. Известно, что паром движется в два раза быстрее, чем весельная лодка. Когда паром достиг правого берега, лодка еще, разумеется, продолжала путь. А если быть точным, то доплыла до середины реки. Время на высадку и посадку пассажиров мы учитывать не будем, так как для решения нашей задачи оно не существенно. А наша задача состоит в том, чтобы узнать, какое расстояние проплыла лодка к моменту встречи с паромом, когда тот уже совершал обратный рейс. Ширина реки в этом месте составляет шестьсот метров.
Ответ почти готов! Немного больше, чем триста метров! Это правильно, но нам нужно узнать точно! Как будем рассуждать?
Паром отправился в обратный рейс, а лодка пересекла середину реки. С этого момента они двигались навстречу друг другу. В момент, когда они встретились они вместе проплыли триста метров. Но паром плыл в в два раза быстрее, и поэтому преодолел расстояние в два раза большее, чем преодолела лодка. То есть две части пути проделал паром и еще одну часть пути проделала лодка. Чтобы узнать длину этой части пути нам осталось разделить весь путь (половину ширины реки) на три. И мы получим сто метров. Осталось добавить длину половину реки и, уже точный, ответ готов! Четыресто метров.
Некоторые, с усмешкой, скажут, что эту задачу можно решить применяя формулу: R * (V1 * V2) / (V1 + V2)
А если бы нам было известно расстояние, которое проплыла лодка, а надо было бы узнать ширину реки? Нам потребовалась бы формула: (L2 + L2 * V1 / V2) / 2
Но неужели держать в памяти огромное количество формул, да при этом помнить какая формула к какой ситуации подходит, легче, чем научится просто рассуждать?
Мы можем переложить эту задачу в другую. Например, папа с сыном копают грядку. Папа копает в два раза быстрее, а конкретно метр за пять минут. Длина грядки шесть метров. За сколько времени они вскопают грядку, если начнут копать с разных концов. Для этого нам необходимо и достаточно узнать сколько вскопает сын, к моменту встречи. А к моменту встречи, они вскопают всю грядку. Причем отец вскопает две части грядки, а сын только одну часть. А эта часть составит треть от всей грядки. То есть два метра. А если папа копает метр за пять минут, то сын за десять. А два метра за двадцать. Ответ готов! Через двадцать минут мама с дочкой уже могут сажать в грядку семена.
А вот математик Леонардо, сын купца Гильермо из итальянского города Пиза, по прозвищу (которое ему не нравилось) «Фибоначчи» поставил для себя очень интересную задачу: Если купить пару крольчат (мальчика и девочку), которые через месяц станут взрослыми. А еще через месяц у них родится пара крольчат (мальчик и девочка). Которые через месяц тоже повзрослеют. А к тому времени у их родителей снова родится пара крольчат (мальчик и девочка). И вот так будет со всеми кроликами постоянно! Все кролики будут всегда здоровы и никогда не умрут.