Великий треугольник, или Странствия, приключения и беседы двух филоматиков

— Давайте разберемся, — предлагает Асмодей. — Только будем уж называть не Луи и лилия, а орел и решка. Где ваш блокнот, мсье Мате? Надеюсь, света из двери нам будет достаточно.

— Прибегнем к буквенным обозначениям, — предлагает тот, пристраивая блокнот на острых атласных коленках. — Орел — О, решка — Р. Думаю, всем ясно, что при одном броске вероятности выпадения О и Р совершенно одинаковы, то есть равны половине. Таковы же вероятности выпадения О и Р при каждом последующем, отдельно взятом броске, независимо от результатов предыдущих.

— Разумеется, мсье, — поддакивает бес. — Недаром французский математик девятнадцатого века Жозеф Бертран когда-нибудь остроумно заметит, что монета не имеет ни совести, ни памяти. Ей наплевать… пардон, я хотел сказать, ей все равно, какой стороной она соизволила шлепнуться в предыдущие разы, и это обстоятельство имеет немаловажное значение в теории вероятностей.

— Если же, — продолжает Мате, — при двух бросках учитывать результаты обоих, то возможны четыре случая: ОО, ОР, РО и PP. И если, сверх того, по условию игры очередность выпадения О и Р безразлична, то в имеющемся у нас ряде случаев элементы ОР и РО можно заменить их суммой: 2ОР. Ибо ОР + РО = 2ОР. Так ведь? С другой стороны, (О + Р)² = О² + 2ОР + Р², а это и есть ОО + 2ОР + РР.

— Само собой! — важно кивает Фило.

— Посмотрим теперь, что происходит при трех бросках. Здесь уже возможны восемь случаев:

ООО, ОРО, РОО, РРО,

РРР, OOP, OPP, POP.

— Преобразуем это хозяйство тем же способом: ООО, 3ООР, 3ОРР, РРР. И снова (О + Р)³ = О³ + 3 О²Р + 3 ОР² + Р³. При четырех бросках в нашем распоряжении уже 16 случаев. Стало быть, (О + Р)⁴ = О⁴ + 4О³Р + 6 О²Р² + 4 ОР³ + Р⁴. Взглянув на все это вместе, мы увидим, что все время имеем дело с двучленом, иначе говоря, биномом О + Р, возводимым каждый раз в иную степень. Причем показатель степени бинома соответствует числу бросков. При двух бросках перед нами бином в квадрате, при трех — в кубе и так далее. Затем, обратив внимание на правые части наших равенств, увидим, что показатели степени при О и Р всякий раз указывают на заранее условленное число выпадений О или Р, а числовые коэффициенты при этих слагаемых — на число благоприятных случаев. Сумма же всех этих коэффициентов представляет собой общее число всех возможных случаев. И так как вероятность события есть отношение благоприятных случаев к числу всех возможных, то вероятность выигрыша (р) в данном случае равна отношению коэффициента соответствующего слагаемого к сумме всех коэффициентов.

— Все это очень хорошо, — мнется Фило, — но весь вопрос в том, как вычислить коэффициенты заранее? Тем более — их сумму. Допустим, игроки условились бросать монету не по восьми, а по двадцати восьми раз, — что тогда?

— Хороший вопрос, — одобряет Асмодей. — Из него следует, что нам необходимо вывести общее правило вычисления коэффициентов для любого количества бросков, иначе говоря — для любой степени бинома: О плюс Р в степени n.

— Начнем с того, что выпишем биномы для каждой степени в отдельности, — предлагает Мате. — Ну, в нулевой степени бином, естественно, превращается в единицу.

(О + Р)⁰ = 1,

(О + Р)¹ = О + Р,

(О + Р)² = О² + 2ОР + Р²,

(О + Р)³ = О³ + 3 О²Р + 3 ОР² + Р³

(О + Р)⁴ = О⁴ + 4О³Р + 6 О²Р² + 4 ОР³ + Р⁴.

— Остается выписать отдельно все коэффициенты:

— Ой, — изумляется Фило, — ведь это же треугольник Паскаля! Прекрасно помню, что по наклонным линиям числа там расположены симметрично.

— Умница! — одобрительно зыркает на него Мате. — Теперь вам легко понять, что любой коэффициент при возведении бинома в степень есть не что иное, как некое число сочетаний. А сумма всех коэффициентов данной строки равна двум в степени бинома, то есть номера строки.

Некоторое время Фило сидит молча. Ему необходимо переварить все эти неожиданные для него совпадения. До чего все связано! То-то он никак не мог уразуметь, почему это Ферма и Паскаль, занимаясь теорией вероятностей, обратились вдруг к фигурным числам и формуле сочетаний? А сочетания, оказывается, имеют для теории вероятностей немалое значение.

— Вообще, как я погляжу, — продолжает он уже вслух, — в науке одно постоянно вытекает из другого. Это похоже на разветвленную водную систему, состоящую из тысяч ручейков, речушек и рек…

— …которые в конце концов вливаются в одно большое озеро или море, — развивает его мысль Асмодей. — Нечто подобное как раз произойдет и в науке семнадцатого века. Все ее, иногда разрозненные, а иногда и связанные между собой, течения в конце концов объединятся в научном творчестве двух величайших ученых: англичанина Исаака Ньютона и немца Готфрида Лейбница.

— Бесспорно, — поддерживает его Мате. — Возьмем механику. Все, сделанное ранее Коперником, Галилеем и Кеплером в области движения небесных тел, найдет блистательное подтверждение и завершение в законе всемирного тяготения Ньютона.

— А математика, мсье? — перебивает Асмодей. — Весь этот пристальный интерес к неделимым, к наибольшим и наименьшим величинам, над которыми ломали головы и Декарт, и Роберваль, и Ферма, и, разумеется, Паскаль, — разве не приведет это в конце концов к открытию дифференциального и интегрального исчисления, которое почти одновременно и независимо друг от друга совершат Ньютон и Лейбниц?

— Не забудьте про комбинаторику, — суетится Мате, — науку о всевозможных группировках, к которым как раз относятся сочетания. Комбинаторикой усердно занимались и Ферма, и Паскаль, и Гюйгенс [28] , который, кстати сказать, тоже внес свою лепту в разработку теории вероятностей. Ньютон же, в свою очередь, использовал сочетания в разложении степени бинома, широко известном под названием бинома Ньютона.

Фило озабоченно хмурится.

— Бином Ньютона… Все это уж было когда-то, но только не помню, когда, — декламирует он себе под нос. — Кажется, в десятом классе…

28

Гюйгенс Христиан (1629–1699) — выдающийся нидерландский физик, математик, астроном. Изобретатель маятниковых часов, автор многочисленных научных трудов.

— С вашего разрешения, не далее чем несколько минут назад, — ехидничает Мате. — Потому что рассмотренные нами степени бинома имеют самое прямое отношение к формуле бинома Ньютона. Остается лишь записать ее в общем виде. — Он снова хватается за свой неизбежный блокнот. — Однако прежде всего запомните, что число сочетаний принято обозначать латинской буквой С…

— От французского «комбинезон» — «сочетание», — поясняет Асмодей.

— При этом справа от С ставятся два индекса, — продолжает Мате, — пониже и повыше. Нижний обозначает число предметов, из которых составляются сочетания. Верхний — число предметов в каждом отдельном сочетании. Например, число сочетаний из пяти по два — C²₅. А в общем виде число сочетаний из п предметов по k — C^k_n. Вот теперь можно и записать формулу бинома Ньютона для О и Р, — чтоб уж не отвлекаться от нашей задачи:

(О+P)ⁿ = Оⁿ + C¹_nО^n-1Р + C²_nО^n-2Р² + C³_nО^n-3Р³ +…+C^k_nО^n-kР^k +… +Рⁿ.

— А как же все-таки вычислить вероятность выигрыша при любом числе бросков? — недоумевает Фило.

— Могли бы и не спрашивать! Вы ведь уже знаете, что вероятность события есть отношение числа благоприятных случаев к числу всех возможных. И стало быть,