Волшебный двурог

— 332 —

математикам в руки способ (метод) для рассмотрения и решения труднейших задач, где геометрия и алгебра помогают друг другу. Именно метод координат и аналитическая геометрия помогли решить одну замысловатую задачу, над которой математики бились с давних пор.

— А какая это задача? — спросил Илюша.

— Это была знаменитая задача о проведении касательной. А построить касательную к окружности нетрудно.

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу.

— Конечно, — отвечал Илюша, — потому что эта касательная перпендикулярна к радиусу.

— Правильно. Ну, а как ты проведешь касательную к любой другой кривой? Ну, например, к той же параболе? Или к кривой обратных величин, то есть к гиперболе? У параболы, например, нет радиуса.

Илюша задумался.

— А что, если сделать так. Например, надо провести касательную к данной точке параболы. Я начерчу окружность, очень похожую на параболу на этом ее кусочке, вроде тех кругов, которыми Коникос мерил кривизну. А к окружности касательную провести ничего не стоит.

— Представь себе, что и мысль Декарта шла примерно таким же образом. Нужно тебе сказать, что и до Декарта мате—

Кривая сначала поднимается (ордината ее растет), и касательная образует с положительным направлением оси абсцисс острый угол

Кривая затем опускаетсся (ордината ее убывает), и касательная образует с полжительным направлением оси абсцисс тупой угол

— 333 —

матики проводили касательные к различным кривым, но только у них не было общего правила для этого. Перпендикуляр к касательной, как мы уже говорили в Схолии Четырнадцатой, называется нормалью кривой в данной точке. Так вот Декарт и нашел общее правило для построения нормалей. А отсюда уже не так-то трудно перейти и к самим касательным.

— Это интересно, — сказал Илюша. — Но разве это так важно — уметь провести касательную к любой кривой?

В точке, соответствующей х, кривая достигает максимума и касательная становится параллельной оси абсцисс.

Чем скорее растет ордината кривой, тем больше угол и его тангенс.

— Сперва казалось, что это просто одна из трудных геометрических задач. Однако Декарт во второй книге своей «Геометрии» писал:

«Я готов даже сказать, что эта задача является самой полезной и обладает наибольшей общностью не только из тех задач, которые мне известны, но даже изо всех тех, которые мне хотелось когда бы то ни было узнать». Кеплер в своем сочинении о стереометрии винных бочек отметил некоторые особые свойства кривых, которые тесно связаны с касательными их. Мы вот сейчас говорили о том, что у кубической параболы есть максимум и минимум. Если ты внимательно посмотришь на график этой кривой, то заметишь, что ордината этой параболы сперва растет очень скоро, а потом все медленнее и медленнее. В точке максимума ее рост прекращается, а потом начинает падать.

— Так, — сказал Илюша. — А с минимумом наоборот: падает, падает, потом останавливается в точке минимума, а потом снова начинает расти.

— Молодец! — похвалил Радикс. — Кое-как соображаешь.

— 334 —

— Кое-как могу, когда не очень трудно, — отвечал мальчик, — да и то потому, что ты помогаешь.

— Отчего же и не помочь человеку, если он старается разобраться в том, что ему объясняют! Ну, а теперь пораскинь-ка мозгами и ответь мне на такой вопрос: что будет делать касательная к этой кривой, если я буду строить ее для различных точек кубической параболы и на чертеже брать эти точки одну за другой слева направо до максимума и после него?

Как будет наклонена касательная по отношению к положительному направлению оси абсцисс?

— По-моему, — сказал Илюша, — она до максимума будет наклонена в одну сторону, а после максимума — в другую.

— Это верно, — сказал Радикс, — а поточнее? Какой угол будет образовывать касательная с положительным направлением оси абсцисс, если мы продолжим касательную до пересечения с этой осью- до максимума и после него?

— До максимума, — ответил Илюша, — кривая поднимается, значит, верхняя часть касательной будет образовывать с положительным направлением оси абсцисс острый угол, а после максимума кривая опускается, зна—

График параболы четвертого порядка.

У этой кривой два максимума и один минимум (или наоборот); она пересекает ось абсцисс дважды…

… или четырежды.

— 335 —

чит, верхняя часть касательной образует с положительным направлением оси абсцисс тупой угол.

— Круглая пятерочка! — воскликнул Радикс. — Отвечай, юноша, что же будет с касательной в точке максимума?

— Не знаю!.. Ах да! Очень просто. Она будет параллельна оси абсцисс. Она ведь скользит по кривой и поворачивается, а в точке максимума станет совершенно горизонтально.

А потом уже повернется в другую сторону.

— А почему она поворачивается?

— Потому что ордината кривой, приближаясь к максимуму, растет все медленнее, а потом, после максимума, сейчас же начинает уменьшаться.

— Молодчага! — сказал Радикс. — Вот тебе и ясно, какая польза от касательной. Она показывает, как изменяется скорость роста ординат кривой, указывает, где находится максимум или минимум. При ее помощи можно решать задачи на нахождение максимумов, имеющих очень большое значение в технике. Как сделать из данного куска железа цилиндр наибольшей вместимости? Как сделать брус, который обладал бы наибольшей прочностью? Все эти задачи решаются при помощи метода касательных. А чтобы все было проще и ясней, мы просто будем рассматривать угол, который касательная образует с положительным направлением оси абсцисс, и характеризовать его при помощи его тангенса. Мы всегда можем построить прямоугольный треугольник, где отрезки, параллельные осям координат, будут катетами и гипотенуза будет направлена по касательной. Этот треугольник впервые был построен Архимедом при изучении спиралей, а затем после Паскаля и Барроу (ко времени Ньютона) он стал важным орудием анализа и сыграл немалую роль в развитии математики. Отношение катетов этого треугольника и будет искомым тангенсом угла наклона касательной к положительному направлению оси абсцисс.

— Вот уж не подумаешь сразу, что касательная такая полезная линия! — сказал Илюша. — А греки знали об этом?

— И Архимед и Аполлоний Пергейский, вероятно, понимали это. Но раскрылось в подробностях все гораздо позже.

Теперь припомним, как шло дело дальше. Греческая наука замирает. После падения Рима ей не только не помогают, а с ней борются. Монахи уверяют, что надо жить не рассудком, а верой, и в силу этого добираться до тайн природы грешно. Надо смотреть на природу и удивляться ее могуществу — и все! А затем начетчики Византии — люди начитанные, но плохо

— 336 —

умеющие критиковать свои собственные знания, постепенно договорились до того, что греческие математики и философы были просто говоруны, а не ученые. Этим начетчикам трудно было пользоваться научными завоеваниями Древней Греции: они не знали, что с ними делать. Древние рукописи еще переписывались, по на этом дело, по-видимому, и кончалось. Затем у арабов все как бы начинается заново. Они изучают древних греков, а также первоначальную алгебру Индии. Арабы понемногу продвигаются вперед в том деле, которое начал Архимед. Если Архимед сумел вычислить площадь параболы, то один из арабских ученых, математик и астроном Ибн-Альхайтам, живший в начале одиннадцатого века нашей эры, нашел площадь кубической параболы и параболы четвертого порядка, с которой ты немного знаком по биквадратным уравнениям. Кое-что из арабских математических сочинений постепенно просачивается в Европу. Некоторые предприимчивые европейцы даже ухитряются попадать в арабские университеты, как, например, А Кордову в Испании, хотя это была опасная штука и студент-христианин рисковал головой в мавританском университете. Во время крестовых походов влияние арабской науки, стоявшей значительно выше европейской, еще усиливается. Народы Европы начали сомневаться в могуществе церкви, которая подняла все их страны на бесполезные войны. Некоторые люди открыто говорили, что если арабы сильнее европейцев, то, значит, и культура их выше. А так как культурными людьми в то время были преимущественно клирики, то есть люди из духовенства, то в Европе начали раздаваться голоса, утверждавшие, что, может быть, и религия арабов лучше христианской. Это привело церковников в ужас, и они всеми возможными средствами стали бороться с арабской культурой. И тормозить всякую научную работу. Дошло до того, что Парижский университет однажды постановил, что тот, кто публично противопоставляет Аристотеля, переделанного католическим духовенством на свой лад, арабским ученым и соглашается с ними, достоин смертной казни. Просто и ясно! Но все-таки люди думали и понемножку работали. А затем арабские халифаты пали под ударами новых завоевателей — монголов и турок. И вот, когда пала Византия, то беженцы-греки, как мы уже тебе говорили, привезли в Италию целый ряд драгоценных сочинений греческих математиков и философов. Сочинения эти стали переводить, изучать и печатать. А это оказалось мощным толчком для всей европейской науки. И, преодолевая чудовищные препятствия схоластических и церковных бредней, к семнадцатому веку наконец появились замечательные работы великого Галилея. Его современник Кеплер изучал по методу Архимеда площади и объемы криволинейных фигур.