Юный техник, 2003 № 11

4. Два грузовика одновременно вышли из А в В. Первый грузовик половину времени, затраченного им на весь путь, шел со скоростью 50 км/ч, а остальную часть времени шел со скоростью 40 км/ч. Второй грузовик первую половину пути шел со скоростью 40 км/ч, а вторую — со скоростью 50 км/ч. Какой из этих грузовиков раньше прибыл в В.

5. Дан угол А и точка В на одной из сторон угла. Найдите на другой стороне угла точку С такую, что сумма отрезков ВА и ВС равна заданному отрезку а.

6. Найдите все значения параметра а, при которых система уравнений

не имеет решений.

7. В треугольнике ABC (с тупым углом В) проведены высоты AD и BE. Найдите углы треугольника DEC, если известно, что LBAD = 15°, LАВЕ = 20°.

8. Числа a_1' a_2' a_3' образуют арифметическую прогрессию, а квадраты этих чисел составляют геометрическую прогрессию. Найдите a_1' a_2' a_3' если известно, что a₁ + a₂ + a₃ = 21.

9. В вазе лежат конфеты двух сортов, причем число конфет первого сорта более чем на 20 штук превышает число конфет второго сорта. Одна конфета первого сорта весит 2 г, а конфета второго сорта — 3 г. Из вазы взяли 15 конфет одного сорта, вес которых составил ¹/₅ часть от веса всех конфет, лежавших в вазе. Затем было взято еще 20 конфет другого сорта; их вес оказался равным весу оставшихся в вазе конфет. Сколько конфет каждого сорта лежало первоначально в вазе?

10. В трапеции MNPQ (MQIINP) угол NPM в два раза больше угла NQM. NP = MP = 13/2, MQ = 12. Найдите площадь трапеции.

11. Для каждого значения параметра о решите неравенство

Найдите все значения параметра а, при которых данное неравенство равносильно неравенству

х⁴ + 3 > 4х(1 — х + х²).

12. Длина медианы остроугольного треугольника ABC, которая проведена к его стороне длиной 6 см, равна 5 см. Найдите площадь треугольника ABC, если величины его углов А и В связаны соотношением

13. Для каждого значения параметра а решите систему уравнений

14. Решите уравнение

ВСТУПИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО ФИЗИКЕ

1. Две дороги пересекаются перпендикулярно одна другой. По первой дороге по направлению к перекрестку едет машина со скоростью 60 км/ч, а по второй — трактор со скоростью 25 км/ч. Через какое время после встречи на перекрестке расстояние между машиной и трактором станет равным 6,5 км?

2. По дороге в горку трамвай ехал со скоростью 40 км/ч, а возвращаясь обратно по той же дороге с горки — 60 км/ч. Чему была равна средняя скорость трамвая? Указание: здесь речь идет о средней скорости, равной отношению пройденного пути ко времени.

3. В высокой узкой U-образной вертикальной пробирке с постоянным поперечным сечением находится вода. В левое колено аккуратно наливают керосин. На какую величину различаются уровни свободной поверхности жидкостей в коленах? Высота столба керосина в левом колене равна 10 см. Плотность воды 1000 кг/м³, керосина — 800 кг/м³.

4. К воздушному шарику объемом 2 л привязаны такие грузы, что окруженный со всех сторон водой шарик свободно плавает в воде на некоторой глубине, находясь в неустойчивом равновесии. Через некоторое время часть воздуха вышла, и объем шарика уменьшился вдвое. Груз какой массы нужно снять с шарика, чтобы он остался плавать на той же глубине, что и раньше? Массой воздуха в шарике пренебречь, массой оболочки не пренебрегать. Плотность материала грузов в три раза больше плотности воды.

5. Деревянная деталь плавает в воде, погрузившись в воду на 2/3 своего объема. Как изменится архимедова сила, действующая на деталь, если ее поместить в керосин? Какую минимальную силу нужно будет приложить, чтобы полностью «утопить» деталь в керосине? Плотность воды 1000 кг/м³, керосина — 800 кг/м³, масса детали 400 г.

6. По горизонтальной поверхности, прикладывая постоянную силу F, равномерно тащат два одинаковых бруска, скрепленных легкой нерастяжимой нитью. На второй брусок кладут с нулевой скоростью относительно брусков еще один такой же брусок. В результате к некоторому моменту времени скорость брусков уменьшается вдвое при прежней силе F. Во сколько раз в этот момент сила натяжения нити больше силы натяжения нити, когда два бруска скользили равномерно?

7. По наклонной плоскости с углом наклона к горизонту = 30° вверх толкнули небольшое тело. Тело поднялось на высоту h = 1 м, после чего вернулось обратно. Во сколько раз импульс тела в момент прохождения через точку толкания меньше начального импульса? Коэффициент трения тела о плоскость  = 0,2.

8. При некоторых условиях чистую воду без посторонних примесей можно охладить до температуры —5 °C. Если после этого какой-либо предмет, например песчинка, попадет в переохлажденную воду, то мгновенно начинается кристаллизация. Какая часть воды замерзнет? Потерями тепла пренебречь. Удельная теплоемкость воды с = 4200 Дж/(кгК), удельная теплота плавления льда = 330 кДж/кг.

9. График зависимости температуры воды в чайнике от времени показан на рисунке. Оцените массу воды в чайнике. Сколько времени вода будет кипеть? Мощность чайника 2,1 кВт. Удельная теплоемкость воды с = 4200 Дж/(кг-К), удельная теплота парообразования L = 2,3 МДж/кг. Потерями тепла пренебречь.

10. В античные века для погружения под воду использовали колокол. Естествоиспытатель помещался под колокол, после чего вся конструкция медленно погружалась в воду. Оценить объем воды, которая зальется в колокол без естествоиспытателя после погружения на глубину 30 м? Объем колокола принять равным 1,6 м³. Температуру считать постоянной.

11. К городской электрической сети напряжением V = 220 В подключена лампочка мощностью 100 Вт. Лампочку какой мощности нужно подключить последовательно к первой лампочке, чтобы количество теплоты, выделяемое первой лампочкой, уменьшилось вчетверо? Сопротивление лампочек считать постоянным.

12. На высоте Н над закрепленным шариком с зарядом Q находится шарик, заряд которого равен q = Q/З, а масса — m. Верхний шарик отпускают, и он начинает падать в направлении нижнего шарика. На какое минимальное расстояние h сблизятся шарики? Считать, что радиусы шариков много меньше h и верхний шарик движется вдоль вертикали.