Загадки и диковинки в мире чисел
Шрифт:
Календарь на часах
Знание этих маленьких секретов может не только пригодиться нам для выполнения фокусов, но и сослужить службу в повседневной жизни. Мы легко можем превратить свои карманные часы в «вечный календарь», с помощью которого сможем определить дни недели любых дат какого угодно года. Для этого понадобится только, осторожно сняв стеклышко с часов, нанести на циферблате тушью [36] точки возле цифр, в числе, соответствующем таблице, стр. 136. Как пользоваться этими точками, мы уже знаем.
Календарь на часах
Особенно просто это для дат XX столетия: к числу точек прибавляют число месяца, последние две цифры года и частное от деления их на 4, а еще лучше – остатки от деления этих чисел на 7. Остаток от деления суммы этих 4 слагаемых на 7 показывает день недели, а именно:
0 – суббота,
1 – воскресенье,
2 – понедельник,
3 – вторник и т. д.Еще
Само собою разумеется, что «вечный календарь» указанного типа возможно устроить не только на карманных часах. Вы можете просто приклеить к карандашу, линейке, к краю записной книжки, вообще к любому предмету, часто бывающему у вас под руками, узенькую полоску бумаги с соответствующей табличкой характерных для каждого месяца чисел, как указано здесь, – и маленький вездесущий вечный календарь готов.
1-1
II-4
III-4
IV-0
V– 2
VI -5
VII-0
VIII-3
IX-6
X– 1
XI-4
XII-6Глава IX Числовые исполины
Как велик миллион?
Величественная внушительность числовых великанов – миллиона, миллиарда, даже триллиона – заметно померкла в наших глазах за последнее время, с тех пор, как числа эти вместе с потоком бумажных денег проникли в нашу повседневную жизнь. Если месячные расходы в хозяйстве небольшой семьи достигают миллиардов, а бюджет второстепенного учреждения выражается триллионами, то мы естественно начинаем думать, что эти некогда недоступные воображению числа вовсе не так уж огромны, как нам твердили до сих пор. Трудно поражаться громадности семизначного числа рублей, за которое не дадут и полной крынки молока. Не подавляет нашего ума миллиард, на который не купишь костюма.
Но было бы большим заблуждением думать, что благодаря проникновению числовых великанов из своих недоступных высот в прозу житейского обихода мы сейчас знакомы с ними лучше, чем раньше. Миллион по-прежнему остается для большинства людей тем, чем и был – знакомым незнакомцем. Скорее даже наоборот: ходячее представление о миллионе сделалось еще превратнее. Мы и раньше склонны были преуменьшать величину этого числа, превышающего силу нашего воображения; когда же миллионными числами стали выражаться весьма скромные, в сущности, ценности, миллион сжался в нашем воображении до размера самого обыкновенного, легко доступного числа. Мы впадаем при этом в курьезную психологическую ошибку: то, что миллион рублей сделался сравнительно небольшой суммой, мы относим не за счет уменьшения денежной единицы, а за счет уменьшения миллиона. Благодаря привычке и постоянству рубля и смутности нашего представления о миллионе, мы безотчетно продолжаем считать величину рубля как бы неизменной и воображаем, что нам довелось наконец постичь величину миллиона, который оказался вовсе не так огромен, как трубит его будто бы незаслуженная слава. Я слышал, как человек, узнав впервые, что от Земли до Солнца 150 миллионов километров, простодушно воскликнул:
– Только всего?
Другой, прочтя, что от Петрограда до Москвы миллион шагов, заметил:
– Только один миллион шагов до Москвы? А мы-то платим за билет двести миллионов!..
Вопреки общему мнению, опыт последнего времени ничем не облегчил нашему воображению работу отчетливого представления больших чисел. Большинство людей, так свободно обращающихся с миллионами при денежных расчетах, все-таки не отдают себе ясного отчета в том, насколько эти числа огромны. Для этого следовало бы упражняться в миллионном счете не таких изменчивых единиц, как рубль, а предметов, всегда сохраняющих в нашем воображении одну и ту же постоянную величину. Если вы хотите ощутить истинные размеры миллиона – попробуйте хотя бы проставить в чистой тетради миллион точек. Я не предлагаю доводить такую работу непременно до конца (на это едва ли у кого достанет терпения); уже только начало работы, его медленный ход даст вам почувствовать, что такое «настоящий» миллион.
Знаменитый английский натуралист А.Р. Уоллес придавал весьма серьезное значение развитию правильного представления о миллионе. Он предлагал [37] «в каждой большой школе отвести одну комнату или залу, на стенах которой можно было бы наглядно показать, что такое миллион. Для этой цели нужно иметь 100 больших квадратных листов бумаги, в 4У2 фута каждый, разграфленных квадратиками в четверть дюйма, оставив равное число
белых промежутков между черными пятнами. Через каждые 10 пятен нужно оставлять двойной промежуток, чтобы отделить каждую сотню пятен (10 × 10). Таким образом на каждом листе будет по 10 тысяч черных пятен, хорошо различимых с середины комнаты, а все сто листов будут содержать миллион пятен. Такая зала была бы в высшей степени поучительна особенно в стране, где о миллионах говорят очень развязно и тратят их без смущения. Между тем никто не может оценить достижений современной науки, имеющей дело с невообразимо большими или невообразимо малыми величинами, если неспособен их представить наглядно и, суммируя в целое, вообразить себе, как велико число один миллион, когда современной астрономии и физике приходится иметь дело с сотнями, тысячами и даже миллионами таких миллионов [38] . Во всяком случае очень желательно, чтобы в каждом большом городе была устроена такая зала для наглядного показания на ее стенах величины одного миллиона. Это не помешало бы, если нужно, покрывать стены такой комнаты картами и другими висячими изображениями; их легко удалить, а изображение миллиона осталось бы постоянным наглядным уроком для всех посетителей».Я предлагаю другой, более доступный для каждого способ развить в себе возможно отчетливое представление о величине миллиона. Для этого нужно только дать себе труд поупражняться в мысленном миллионном счете и суммировании размеров мелких, но хорошо знакомых нам единиц – шагов, минут, спичек, стаканов и т. п. Результаты получаются нередко неожиданные, поразительные.
Приведем несколько примеров.
Миллион секунд
Как вы думаете, сколько времени отняла бы у вас работа – пересчитать миллион каких-либо предметов, по одному каждую секунду? Оказывается, что, считая безостановочно по 10 часов в сутки, вы закончили бы подсчет в месяц времени. Приблизительно удостовериться в этом нетрудно даже устным вычислением: в часе 3600 секунд, в 10 часах – 36000; в трое суток вы, следовательно, пересчитаете всего около 100 тысяч предметов, а так как миллион в десять раз больше, то, чтобы досчитать до него, понадобится 30 дней [39] . Если бы вам платили за месяц службы всего один миллион рублей, выдавая ваше жалование единичными рублями, то все рабочее время уходило бы только на получение жалованья.
Отсюда следует, между прочим, что предложенная ранее работа – проставить в тетради миллион точек – потребовала бы много недель самого усердного и неустанного труда [40] . Да и тетрадь для этого понадобилась бы страниц в тысячу. Тем не менее такой труд был однажды выполнен. В одном распространенном английском журнале я видел недавно воспроизведение страницы из тетради, «единственное содержание которой составляет миллион аккуратно расставленных точек, по тысяче на странице». Все 500 листов этой заботливо переплетенной тетради были предварительно разграфлены карандашом и заполнены рукой одного беспримерно терпеливого школьного учителя чистописания в середине прошлого столетия. Работа, по словам дочери покойного «автора», доставившей эту тетрадь в редакцию, отняла у добровольного труженика длинный ряд лет.
В миллион раз толще волоса
Тонкость волоса вошла чуть ли не в поговорку. Все часто видят волос и хорошо знают, насколько он тонок. Толщина его не превосходит 0,1 миллиметра. Представьте себе, однако, что волос стал в миллион раз толще – какова тогда была бы его толщина. Был ли бы он толщиной в руку? Или в бревно? Или в большую бочку? Или, может быть, ширина его достигла бы ширины комнаты средних размеров?
Если вы никогда не задумывались над такой задачей, то можно почти поручиться, что, не проделав соответствующего вычисления, – выдадите грубо ошибочный ответ. Мало того: вы будете, пожалуй, даже оспаривать правильный ответ – настолько он покажется неправдоподобным. В самом деле: оказывается, что волос, увеличенный по толщине в миллион раз, имел бы сажен 50 в поперечнике! Это кажется невероятным, но дайте себе труд сделать подсчет, и вы убедитесь, что так и есть: 0,1 миллиметра × 1000000 = 0,1 метра × 1000 = 0,1 километра = 100 метров, или 50 сажен [41] .
Иметь правильное представление о миллионе – значит уметь оценивать длину миллиона знакомых промежутков, не ошибаясь в сотни и в тысячи раз. А ведь большинство людей на вопрос нашей задачи отвечают, что волос, при увеличении по толщине в миллион раз, был бы толщиною с бочку или бревно, т. е. называют величину именно в сто или тысячу раз меньшую.
Упражнения с миллионом
Проделаем еще ряд упражнений, чтобы освоиться надлежащим образом с величиною миллиона. Вы убедились уже, вероятно, на двух предыдущих примерах, насколько обычное наше представление о нем превратно и как полезно упражняться в миллионном счете, чтобы это превратное представление исправить.
Величина обыкновенной комнатной мухи общеизвестна – около 7 миллиметров в длину. Но какова была бы ее длина при увеличении в миллион раз – скажет не всякий. Умножим 7 мм на 1000000, получим 7 километров – примерно ширина Москвы или Петрограда. С трудом верится, что муха, увеличенная по длине в миллион раз, могла бы покрыть своим телом столичный город.
Увеличьте мысленно в миллион раз (по ширине) ваши карманные часы – и получите снова поражающий результат, который едва ли вам удастся предугадать: они имели бы в ширину верст 50, а каждая цифра простиралась бы на целую географическую милю.