Закат Европы. Том 1. Образ и действительность

123

изображении отрицательных чисел (+3-,+2-,+1-,0-,-1-,-2-,-3,),

начиная с нуля расстояния вдруг становятся положительными символами чего-то отрицательного. Они обозначают

что-то, но уже не существуют реально. Отрицательные числа не величины, но что-то такое, на что величины только намекают. Осуществление этого акта отклоняется от линий направления античного числового мышления.

Все родившееся из античного духа становится действительностью только путем пластического отграничения. То, что нельзя нарисовать, — не «число». Платон, Архит и Эвдокс говорят о плоскостных и телесных числах, имея в виду нашу вторую или третью степень, и, само собой разумеется, что понятие высших целых степеней для них не существует. Четвертая степень для являющегося по существу своему пластическим чувства, которое тотчас же истолкует ее как протяженность в четырех измерениях, становится бессмыслицей. Постоянно встречающееся в наших формулах выражение е-ix, или даже применявшиеся уже в XIV столетие Оресмом обозначение 51/2 показалось бы античному чувству полным абсурдом. Эвклид называет множители произведения сторонами (???????). В древности оперируют с дробями — конечными само собою разумеется — прибегая к исследованию отношения двух отрезков прямой линии, выражающихся в целых числах. Именно поэтому идея числа нуль тут совершенно не может проявиться, так как графически она бессмысленна. Пусть не возражают, исходя из привычного способа мышления, что это только "первоначальная ступень" в развитии математики. Внутри того мира, который античность создала вокруг себя, античная математика есть нечто законченное. Незаконченной она представляется только нам. Вавилонская и индийская математики давно уже усвоили в качестве существенных элементов своего мира чисел многое из того, что с

точки зрения античного числового чувства являлось бы бессмысленным, и многие греческие мыслители знали об этом. Единая математика, повторяем это еще раз, есть иллюзия. Действительно только то, что адекватно ей, символически значительно для собственной душевной жизни. Только это представляется логически необходимым, все остальное невозможным, ошибочным, бессмысленным, или, как мы привыкли, руководясь гордостью исторического ума, называть «примитивным». Современная математика, одно из высших достижений западного духа — и во всяком случае «истинная» только для нас — показалась бы Платону смешным и бесплодным заблуждением и уклонением на пути к достижению «истинной», конечно, в античном смысле математики, и

124

трудно себе даже представить, сколько великих концепций чуждых культур погибло по нашей вине, так как мы, исходя из нашего способа мышления и заключенные в его границы, не могли их усвоить или, что то же, считали их ложными, излишними и бессмысленными.

6

В качестве ученья о наглядных величинах античная математика ставит себе целью исключительно истолкование наличных фактов и ограничивает, следовательно, свое исследование и пределы применимости предметами близлежащими и малыми. В противоположность этой последовательности, в практических приемах западной математики вскрывается нечто в высшей степени нелогическое; это обстоятельство, однако, стало известным только после открытия неэвклидовых геометрий. Числа суть чистые формы познающего духа. Их точная применимость к реально созерцаемому является, следовательно, самостоятельной проблемой. Совпадение математических систем с эмпирикой далеко не есть нечто само собой понятное. В противоположность предрассудку непосвященных (встречающемуся также у Шопенгауэра) о непосредственной математической очевидности созерцания, эвклидова геометрия, имеющая с популярной геометрией всех времен только самую поверхностную тождественность, в самых только узких пределах ("на бумаге") приблизительным образом согласуется с созерцаемым. Как дело обстоит при больших расстояниях, видно из простого факта, что параллельные линии пересекаются на горизонте. Вся живописная перспектива основана на этом. Тем не менее Кант, беря исходной точкой наивное сравнение величин, совершенно непростительным для западного мыслителя образом уклонялся от "математики далеких пространств" и постоянно, совершенно по-античному, ссылался на маленькие фигуры, на примере которых, вследствие именно их незначительной величины, специфически западная проблема бесконечных как раз не находила себе никакого применения. Эвклид также избегал ссылаться для доказательства справедливости своих аксиом на пример такого треугольника, три вершины которого определялись бы местонахождением наблюдателя и двумя неподвижными звездами, и который, следовательно, не мог быть ни нарисован, "ни созерцаем"; это является, однако, вполне обоснованным для античного мыслителя. В нем действовало то же самое чувство, которое испытывало страх перед иррациональным и не дерзало понять ничто как нуль, как число, то чувство, которое при

125

созерцании космических отношений закрывало глаза на неизмеримое, чтобы сохранить символ меры.

Идеи Аристарха Самосского, около 270 г. начертавшего систему вселенной, при вторичном открытии Коперником так

глубоко взволновавшую метафизические страсти Запада -

стоит только вспомнить Джордано Бруно — и ставшую осуществлением огромных ожиданий и подтверждением того фаустовского, готического мироощущения, которое уже в архитектуре соборов принесло свою жертву идее бесконечного пространства, эти идеи были встречены античностью с полным равнодушием и вскоре — хочется сказать намеренно — были забыты. И действительно, Аристархова система вселенной для этой культуры в душевном смысле лишена значения. Она могла даже стать опасной для ее основной идеи. И все-таки, в отличие от Коперниковой — и этот основной факт оставлялся всегда без внимания — своей особой формулировкой она была точно приноровлена к античному мироощущению. Аристарх в качестве внешней границы космоса принимал телесно вполне ограниченный, оптически усвояемый пустой шар, в середине которого находится мыслимая в Коперниковом смысле планетная система. Таким образом был устранен принцип бесконечного, могший стать опасным для чувственно-античного понимания предела. Мы не встречаем в античности ни одного намека на мысль о бесконечности мирового пространства, каковая мысль, по-видимому, кажется в данном случае неизбежной и давно сделалась доступной вавилонскому мышлению. Даже мы видим обратное. Архимед в своем сочинении о "числе песка" — уже само слово указывает, что здесь мы имеем дело с опровержением всяких тенденций в сторону бесконечного, несмотря на что его все еще считают первым шагом на пути к современному интегральному счислению — доказывает, что это стереометрическое тело (так как Аристархов космос является именно таковым), будучи наполнено атомами (песком), приводит нас к очень большим, однако не бесконечным числовым результатам. Это равносильно отрицанию всего того, что мы называем анализом. Вселенная нашей физики зиждется на строгом отрицании всякой материальной ограниченности, как это доказывают постоянно опровергаемые и вновь навязчиво проникающие в умы теории материального, т. е. условно наглядного мирового эфира. Платон, Аполлоний и Архимед, несомненно самые проницательные и смелые математики древности, создали на основании пластически-античного понятия предела совершенную систему чисто оптического анализа ставшего. Они пользуются глубоко продуманными и малодоступными для

126

нас методами особого интегрального исчисления, имеющими

лишь кажущееся сходство с методом определенного интеграла

Лейбница, и применяют геометрические места точек и координаты, являющиеся определенными именованными размерами и протяженностями, в противоположность неименованным пространственным отношениям и значимости точек в зависимости от их положения в пространстве, как это мы встречаем у Ферма и в особенности у Декарта. Сюда относится в первую очередь метод истощения величин Архимеда, изложенный в недавно открытом его сочинении, обращенном к Эратосфену, в котором он выводит квадратуру сегмента параболы, прибегая к исчислению вписанных прямоугольников (а не к исчислению подобных многоугольников). Но как раз тот остроумный, бесконечно запутанный прием, при помощи которого он, следуя некоторым идеям Платона, достигает результата, осязательным образом вскрывает огромную разницу между этой интуицией и по внешности сходной с ней Паскалевой. Если не считать Риманова понятия интеграла, наиболее резкую противоположность его приему представляют собой наши современные (к сожалению, так до сих пор именуемые) квадратуры, причем в последнем случае значится, что «поверхность» ограничена функцией, и нет никакого намека на применение начертательного приема. Нигде обе математики не соприкасаются более близко и нигде не ощущается с большей очевидностью непреодолимая пропасть, разделяющая две души, выражением которых они являются.

Чистые числа, феномен которых древние египтяне, движимые страхом перед их таинственным происхождением, таили в стиле своих храмовых зал, пирамидах и рядах статуй, были также и для эллинов ключом к смыслу всего ставшего, неподвижного и, следовательно, преходящего. Математическое число в качестве формального основного принципа протяженного мира, который получает свое существование только из бодрствующего человеческого сознания и существует только для него, находится через посредство причинной необходимости в связи со смертью так же, как хронологическое число находится в связи со становлением, с жизнью, с необходимостью судьбы. Эта связь математической формы с концом органического существования, с явлением его неорганических остатков, т. е. трупа, все с большей очевидностью вскрывает перед нами происхождение всех больших искусств. Мы уже имели случай говорить о происхождении ранней орнаментики из погребального культа. Числа — символы преходящего. Неподвижные формы отрицают жизнь. Формулы и символы вводят неподвижность в картину природы. Числа убивают.

127

Матери «Фауста», величественно царят в одиночестве "в беспорядочных областях призраков", где

Образованье, преобразованье

И вечной мысли вечное дрожанье,

Вкруг образы всех тварей, словно дым.

("Фауст", II ч. Пер. Фета).

Здесь Гёте сближается с Платоном в общем предугадывании какой-то последней тайны. Матери, недостижимое — идеи Платона — обозначают возможности духа, его не родившиеся формы, которые в видимом мире, образовавшемся с глубокой внутренней необходимостью из идеи этого духа, обрели свое проявление в виде творящей и созданной культуры, в виде искусства, мыслей, государства и религии. На этом основана родственность системы чисел известной культуры с ее идеей мира, и благодаря такому соотношению система чисел становится чем-то большим, чем только знание и познание, и приобретает значение мировоззрения, следствием чего является существование стольких же математик — миров чисел — сколько существует высоких культур. Только благодаря этому становится понятной причина и неизбежность того обстоятельства, что великие математические мыслители, художники в царстве чисел, отправляясь от религиозной интуиции, достигли открытия основных математических проблем своей культуры. Так следует рисовать себе сознание античного аполлоновского числа Пифагором, основавшим религию. То же исконное чувство руководило великим Николаем Кузанским, епископом Бриксенским, когда он около 1450 г., исходя из созерцания беспредельности Бога в природе, открыл основы исчисления бесконечных величин. Лейбниц, приведший два столетия спустя эту идею к завершению, сам исходил из чистого метафизического размышления о принципе божественного и его отношении к беспредельной протяженности и таким образом создал analysis situs, эту, пожалуй, более гениальную интерпретацию чистого, отвлеченного от всего чувственного, пространства, богатые возможности которой были использованы только в XIX в. Грассманом в его учении о протяженности и Риманном в его символике двухсторонних плоскостей, выражающих природу уравнений. Декарт, глубоко верующий христианин из кругов Пор-Руаяля, следуя внутреннему побуждению, попутно с философско-математическим преподаванием вернул в католичество пфальц-графиню Елизавету и шведскую королеву Христину, дочь Густава-Адольфа. Кеплер и Ньютон, оба строго

128

религиозные натуры, подобно Платону были вполне убеждены, что им удалось при посредстве чисел интуитивно познать сущность божественного мироустройства.

Принято говорить, что Диофант освободил античную

арифметику от ее чувственной связанности, расширив и раз-

вив ее, и создал алгебру, как учение о неопределенных величинах. Это во всяком случае не только обогащение, а полное преодоление античного мирочувствования, и одного этого факта достаточно, чтобы доказать, что Диофант внутренне уже не принадлежал к античной культуре. В нем действовало в отношении к действительному, ставшему новое ощущение чисел или, скажем, новое чувство предела, совершенно от личное от прежнего эллинского, из чувственно-осязательной значимости границ которого развились наряду с эвклидовой геометрией осязаемых тел также и подражавшая ей пластика нагой статуи. Подробности развития этой новой математики нам неизвестны. У Диофанта, из-за намерения следовать эвклидовскому ходу мыслей, вырастает это новое чувство предела — я буду называть его магическим, — даже еще не сознающее свою полную противоположность искомой античной формулировке. Идея числа как величины не расширяется, а незаметно упраздняется. Грек никогда не мог бы объяснить, что значат неопределенное число «а» или отвлеченное число 3, — оба не являющиеся ни величинами, ни мерами, ни протяжением. Новое воплощенное в этих родах чисел чувство предела уже лежит в основе рассуждений Диофанта; само же буквенное исчисление, в обличий которого фигурирует в настоящее время алгебра, претерпевшая за протекший промежуток времени еще одну полную переработку, было введено в употребление впервые Виетой в 1591 г. в качестве результата бессознательной, но вполне заметной оппозиции поддерживающемуся под античность счислению Ренессанса.

Диофант жил около 250 г. после Р.Х., следовательно в третьем столетии арабской культуры, исторический организм которой до сего времени скрывался под внешними формами эпохи Римской империи и "Средних веков"* и к кругу которой принадлежит все то, что возникло с начала нашего летосчисления в странах грядущего распространения ислама. Как раз в это время перед лицом нового ощущения пространства базилик, мозаик и саркофаговых рельефов

* См. табл. I–III.

129

раннехристианского-сирийского стиля померк последний признак аттической статуарной пластики. Тогда вновь образовались архаическое искусство и строго геометрический орнамент. Тогда Диоклетиан как раз заканчивал создание калифата под внешним видом римского государства. 500 лет разделяют Эвклида и Диофанта, Платона и Плотина, т. е. последнего завершающего мыслителя — Канта законченной культуры, от первого мистического гения — Данте вновь нарождающейся культуры.

Здесь в первый раз мы соприкасаемся с до сих пор остававшимся неизвестным проявлением тех великих индивидуумов, возникновение, возрастание и увядание которых под тысячеобразной спутывающей внешностью составляют собственную сущность всемирной истории. Ушедшая вместе с римским духом античная духовная стихия, «телом» которой являлась историческая действительность античной культуры с ее созданиями, мыслями, деяниями и обломками, родилась около 1100 г. до Р.Х. в местностях вокруг Эгейского моря. Пробивающаяся на востоке начиная с Августа под покровом античной цивилизации арабская культура имеет местом своего происхождения страны между Нилом и Ефратом, Каиром и Багдадом. В качестве проявлений этой новой души приходится рассматривать почти все «позднеантичное» искусство времен императоров, все охваченные юношеским пылом восточные культы, как-то: Митры, Сераписа, Гора, Исиды и Сирийских Ваалов Эмезы и Пальмиры, христианство и неоплатонизм, императорские форумы в Риме и построенный там сирийцем Пантеон, эту самую первую из всех мечетей.

То обстоятельство, что все еще продолжали писать по-гречески и полагали мыслить по-гречески, значит не больше другого аналогичного явления, а именно, что наука до Канта все еще предпочитала латинский язык, или что Карл Великий «возобновил» Римскую Империю.

У Диофанта число более не имеет значения меры или сути пластических вещей. На равеннских мозаиках человек более не тело. Постепенно греческие обозначения утратили свое первоначальное содержание. Мы покидаем сферу аттической??????????? стоической???????? и??????. Хотя Диофант и не знает еще нуля и отрицательных чисел, зато и пластические единства пифагорейских чисел ему также более уже незнакомы. С другой стороны, неопределенность арабских отвлеченных чисел представляет собою нечто совершенно отличное от закономерной изменчивости позднейшего западного числа, т. е. функции.