Журнал «Компьютерра» № 31 от 29 августа 2006 года
Шрифт:
Кроме собственно N в открытый ключ входит также число e, которое должно быть меньше числа φ (N)=(p-1)(q-1) и взаимно просто с ним.[ φ(N) — это функция Эйлера, играющая очень важную роль в теории чисел; здесь, правда, используется ограниченный частный случай; в общем случае функция Эйлера от n равна количеству чисел, меньших n и взаимно простых с ним. ] Секретный же ключ — такое число d, что de ≡ 1 mod φ (N). Алиса может с легкостью вычислить d, но никто другой на это не способен — ведь если трудно разложить N на множители, то трудно и подсчитать функцию Эйлера. Боб теперь, желая зашифровать свое сообщение m, вычисляет y ≡ m e mod N и передает его Алисе (и всем желающим). Алиса может расшифровать его, вычислив y d ≡ m ed ≡ m mod N (последнее сравнение выполняется благодаря малой теореме Ферма —
Было бы наивно ожидать, что криптосистемы на эллиптических кривых, столь похожие на дискретное логарифмирование, не поддадутся квантовому компьютеру. И действительно, алгоритм Шора можно без особого труда модифицировать так, чтобы он взламывал описанный выше протокол, а равно и другие аналоги классических криптосистем, основанные на эллиптических кривых.
Но бояться этого, по моему личному мнению, не следует. Квантовые компьютеры сейчас находятся в самом начале своего пути. Пока никто не может предсказать, удастся ли построить квантовый компьютер хоть сколько-нибудь интересного с практической точки зрения размера (текущие рекорды — семь кубитов, одиннадцать кубитов — как-то не впечатляют). А для работы алгоритма Шора, например, нужен квантовый компьютер на стольких кубитах, сколько классических битов в раскладываемом простом числе; на меньшем числе просто ничего не получится. Скорее всего, в ближайшие десятилетия квантовые компьютеры, способные взломать даже сегодняшние шифры, не появятся. А если и появятся — уже существует и активно развивается так называемая квантовая криптография.
Суть криптосистемы Диффи-Хеллмана в том, чтобы перед началом коммуникации с секретным ключом об этом самом ключе договориться (этот процесс в криптографии называют «протоколом key agreement»; кстати, в реальных приложениях криптография с открытым ключом очень часто используется именно для этой цели). Иными словами, цель не в том, чтобы передать сообщение от одного участника к другому, а в том, чтобы у обоих участников в конце концов обнаружилось одно и то же число, которое можно будет использовать как секретный ключ [Есть и «настоящая» криптосистема с открытым ключом, основанная на той же идее — так называемая система ElGamal; она немногим сложнее Диффи-Хеллмана, но описание ее более громоздко, и поэтому для иллюстрации Диффи-Хеллман подходит лучше]. Делается это так: Алиса и Боб выбирают простое число p, по модулю которого будут проводиться все вычисления, и основание g, которое они потом будут возводить в степень. Затем Алиса выбирает число a (никому его не показывая) и передает Бобу (g^a mod p), а Боб выбирает число b и передает Алисе (g^b mod p). Теперь Алисе достаточно возвести полученное число в степень a, а Бобу — в степень b, и у них обоих будет один и тот же ключ, так как, разумеется, g^ab mod p = g^ba mod p. Как видите, ничего сложного. Почему же этот шифр трудно разгадать? Стойкость этой криптосистемы тесно связана с вычислительной трудностью операции дискретного логарифмирования — зная g^a mod p, g и p (все эти числа в принципе доступны противнику), вычислить a. Отметим, что взлом Диффи-Хеллмана вовсе не обязательно решит задачу дискретного логарифмирования — этот вопрос еще остается открытым, но если научатся эффективно вычислять искать дискретные логарифмы, то и Диффи-Хеллман падет тут же.
Редакция благодарит профессора Колледжа Лафайет (Lafayette College) Клиффорда Рейтера (Clifford Reiter) за предоставленные изображения множеств Жюлиа.
ПИСЬМОНОСЕЦ: Прикол в пространстве Лобачевского!
Автор: Леонид Левкович-Маслюк
Живу в глуши, Интернет через дайлап, качаю да читаю «Компьютерру»! Красота! Да, о чем это я? Ах, да! Жил был один англичанин и состряпал сайт на миллион!!! Долларов почему-то, а не фунтов. Ну да ладно, это мелочи, я о своем. О сайте в смысле. Состряпал я сайт www.historyinternet.ru , и вот сижу и думаю, будет у меня миллион рублей или нет? Ну там рублем больше, рублем меньше. Ну почему больше — ответ на сайте. В общем там больше чем 1 000 000. Думаю, программисты меня поймут. Ну вот и все!
Вывод: читай «КТ» — разбогатеешь! Как разбогатеешь — подели… э-э-э… напиши в «КТ»! Ждите.
P.S. Я, конечно, понимаю, что это
здорово смахивает на ПИАР (или как там это называется?), но если опубликуете, представляете, сколько народу придет… [на сайт в смысле, а не ко мне за деньгами]). Заранее спасибо, приза не надо.Алексей Ефанов aka LevaSoft
ОТ РЕДАКЦИИ: Глушь, природа, дайлап — вот это жизнь! Как там у Есенина — «Дайлап мне, Джим, на счастье мне…», что-то путаю, но неважно. Насчет денег — Алексей, если честно, шансов мало. Народ у нас прожженный, он хочет никогда не отдавать деньги, а всегда их получать, поэтому наш с вами ПИАР приведет только к массовому размножению аналогичных проектов.
Мощно звучит: Microsoft FEAR Play. Уж не знаю — шутите вы или нет. А эта приписка в «Письмоносце»: «Из отпуска вернулся…» Рад, что из отпуска люди возвращаются довольными, веселыми, отдохнувшими.
Желаю успехов.
С уважением,Сергей
ОТ РЕДАКЦИИ: С «Майкрософтом» мы никогда не шутим, ибо, как учил еще Козьма Прутков, «эти шутки глупы и неприличны». То, что вы обнаружили, — обычная опечатка. Имели в виду ПЕАР — ну, как в предыдущем письме.
Сделайте тему номера не о редакторах и проч. А о самой редакции. То есть о самом помещении (такого на моей памяти еще не было). Например — вот здесь вот у нас то-то, вот здесь то-то.
С уважением Алексей .
ОТ РЕДАКЦИИ: Алексей, никакого «то-то» у нас нет. При входе всегда сидит охрана (за железной дверью с огромным замком). Сразу налево — длинный коридор, кое-где переходящий в холл. Заканчивается тупиком, других входов нет. По бокам — двери в комнаты. Когда-то, в разгар пузыря доткомов, на верстке стояла веб-камера — в духе времени. Но потом верстальщики постепенно вытеснили ее из зоны видимости, и теперь заглянуть извне в редакцию стало совсем трудно. На всех окнах, Алексей, — сигнализация, и охрана ночью не спит!
Конничива, «Компьютерра».
В статье Ваннаха «Младший хирург с “Гремучей змеи”» автор пишет, что определить пол ежа может только другой еж, — в принципе это именно так, поскольку редкий колючий не сворачивается, если его взять на руки, однако есть весьма остроумный альтернативный способ: положить ежа на горизонтально лежащее стекло и выбрать для наблюдения позицию снизу — все становится очевидно…
Гоменнасаюсь, что пишу непосредственно в редакцию, хотя куда же еще — демиург статьи адреса для виртуальной корреспонденции не указывает…
Ответ Михаила Ваннаха: Ура!!! Впервые отзыв по делу!!! И остроумный!!! Есть же квалифицированные природоведы! А ежа еще можно на сканер посадить — так удобнее! Не лил бы ливень, доехал бы до леса и ежа поймал…
ОТ РЕДАКЦИИ: Дзя на, господа! Что в переводе означает «японский — это стильно».
Из переписки на форуме «КТ» по статье Сергея Николенко «Проблемы 2000 года: гипотеза Пуанкаре».
— Объясните, пожалуйста, как можно практически применить это открытие, то есть как оно повлияет на развитие науки и техники.
— Решение Перельманом этой гипотезы подводит жирную черту под проблемой создания антигравитационной тяги, а также прокола пространства Лобачевского и отрицания мира Минковского.
doctor
ОТ РЕДАКЦИИ: В последние дни сенсационный отказ Григория Перельмана, доказавшего гипотезу Пуанкаре, приехать за присужденной ему Филдсовской медалью (см. новость «Потерянный гений» в этом номере), привлек внимание широкой публики не только к личности сорокалетнего питерского математика, но и к самой этой гипотезе. Неожиданно выяснилось — из наблюдений за ссылками в блогах, из переписки с коллегами, — что онлайновый вариант статьи Сергея Николенко в «КТ» #621 стал едва ли не самым востребованным ресурсом по этой теме в Рунете — из серьезных, конечно. А вот обсуждение статьи на форуме самой «КТ» как-то незаслуженно осталось в тени. Приведенный выше отрывок показывает, что там обнаружились пассажи, по непостижимости далеко превосходящие саму свежедоказанную гипотезу. Единственная гипотеза, которую редакция может выдвинуть по поводу «прокола пространства Лобачевского», — может, это все-таки прикол? Заметим, что тайну слова «прикол» раскрыл в «Письмоносце» «КТ» #636 читатель под псевдонимом СЛОН.
USB-адаптер Planet получает Алексей — за живой интерес к нашему скромному прибежищу. Приз предоставлен Торговым Домом «Бурый Медведь».