Журнал «Компьютерра» №47-48 от 20 декабря 2005 года
Шрифт:
Алгебраическую геометрию, как и многие другие области математики, невозможно причислить ни к древним, ни к современным разделам науки. С одной стороны, ничто не ново под луной: еще древних греков, заложивших основы самого метода математического познания, интересовали проблемы, которые и сегодня исследует алгебраическая геометрия. С другой же – о глубине современных методов и задач этой науки древние греки не могли даже догадываться (как зачастую и нынешние математики, работающие в других областях).
Ключевые задачи алгебраической геометрии сформулировать и понять совсем не трудно. Вот, например, общее направление, к которому относится и гипотеза Берча-Свиннертон-Дайера: выяснить, сколько у данного полиномиального уравнения решений в рациональных[Имеющих вид p/q, где p, q – целые. – Л.Л.-М.] числах. Но чтобы сформулировать саму гипотезу, требуется изрядная подготовка.
Как
Первым, кто поставил проблему поиска рациональных решений в ее современном смысле, был великий французский математик Анри Пуанкаре. Пуанкаре сделал для развития математики (в том числе алгебраической геометрии) и физики очень многое. О других его достижениях у нас еще будет повод поговорить, ведь именно он сформулировал одну из «задач на миллион», в его честь и названную гипотезой Пуанкаре.
Брайан Берч (Bryan Birch) и Питер Свиннертон-Дайер (Peter Swinnerton-Dyer) (да-да, Берч-Свиннертон-Дайер – это два человека, а не три) занимались этой проблемой в начале шестидесятых. Примечательно, что у истоков гипотезы стоит один из ранних компьютеров – кембриджский EDSAC, с помощью которого Берч и Свиннертон-Дайер исследовали поведение так называемых эллиптических кривых (что это такое, поясним чуть позже).
Итак, в чем же суть проблемы, о которой мы сегодня рассказываем? Рассмотрим кривую, заданную полиномиальным уравнением с двумя переменными. Одна из важнейших характеристик такой кривой – ее род (genus). Дать здесь классическое определение рода кривой будет трудно, но мы приблизимся к нему с другой стороны. Начнем с поверхностей. Наверное, каждый в детстве читал о топологах, которые не могут отличить кружку от бублика – ведь обе поверхности топологически эквивалентны тору. Так вот, у поверхностей тоже есть род; род бублика, например, равен единице. А вообще род поверхности (если быть точным, род «ориентируемой поверхности») – это количество замкнутых кривых, по которым ее можно разрезать так, чтобы она не распалась на отдельные части. Можете сами попробовать: сферу или плоскость так разрезать нельзя, у них род 0, тор (он же бублик[]) можно разрезать один раз, хоть вдоль, хоть поперек, но после этого останется либо цилиндр, либо кусок плоскости, и второго разреза уже не получится. Все ориентируемые поверхности похожи на сферу с ручками (термин из алгебраической геометрии): сколько у сферы ручек, столько и разрезов можно сделать.
Теперь представьте, что уравнение, которое нас интересует, нужно решать в комплексных числах. Тогда множество его решений – это двухмерная поверхность. Ее род в данном случае и называется родом кривой.
Итак, род представляет собой целое неотрицательное число; кривые рода 1 – это и есть эллиптические кривые, которые сейчас находят применение в криптографии. О них и идет речь в гипотезе Берча-Свиннертон-Дайера. Кстати, если ограничиться вещественными числами, эллиптические кривые определяются совсем просто: это кривые, заданные одним из уравнений Вейерштрасса y
Как уже упоминалось, гипотеза касается множества рациональных решений данного уравнения. Берч и Свиннертон-Дайер рассматривали функцию L, вычисляемую через количество рациональных решений по модулю простого числа p (в вещественном случае – количество решений уравнения y2 ? x3 + ax +b по модулю p). Функция эта строится аналогично дзета-функции Римана, о которой мы уже рассказывали, и свойства имеет соответствующие: L, если рассмотреть ее как функцию комплексного переменного, сходится на полуплоскости, но при этом аналитически продолжается и на другую половину. Вычислить значения L и ее аналитического продолжения для каждой конкретной кривой не очень просто, но вполне возможно; в частности, это можно сделать автоматически, на компьютере.
Гипотеза Берча-Свиннертон-Дайера утверждает, что количество и структура множества рациональных решений эллиптической кривой тесно связаны с поведением L-функции
в единице[Если быть точным, то по этой гипотезе ранг группы рациональных решений есть степень первого ненулевого члена разложения L в ряд Тейлора в единице; иными словами, L(z) около единицы похожа на (z—1)r, где r – ранг.]. В частности, количество рациональных точек бесконечно тогда и только тогда, когда L(1)=0.Благодаря работам отечественного математика Виктора Александровича Колывагина, а также доказательству теоремы Ферма Эндрю Уайлсом это утверждение уже доказано в одну сторону: если L(1) ? 0, то количество рациональных точек конечно. Доказательство в другую сторону – предмет долгих и безуспешных поисков. Кроме того, открыт путь для обобщений гипотезы – в частности, к изучению рациональных точек не только кривых, но и поверхностей более высокой размерности (то есть уравнений с бульшим количеством переменных). Например, Леонард Эйлер еще в 1769 году выдвинул гипотезу, что уравнение x4 + y4 + z4 = t4 не имеет ненулевых решений. Эту гипотезу, как и похожую на нее гипотезу Ферма, долгое время не могли доказать, но результат в данном случае оказался иным: в 1988 году обнаружился контрпример (точнее, бесконечно много контрпримеров). Вот минимальный из них (проверить легко – но представьте, как трудно было бы его найти без развитой теории): 2682440 4 + 15365639 4 + 18796760 4 = 20615673 4
Алгебраическая геометрия – наука, приложения которой, как правило, отнюдь не очевидны. Математикам, чтобы годами биться над интересной задачей, приложения и вовсе не нужны: да, великая теорема Ферма имеет некоторый криптографический смысл, но попытки ее доказательства привели к созданию и развитию нескольких важных разделов современной математики задолго до того, как криптография оформилась как математическая дисциплина.
Вот и в случае гипотезы Берча-Свиннертон-Дайера непосредственных приложений, о которых можно было бы здесь рассказать, сразу не видно. Разумеется, в своей области гипотеза занимает центральное место: мы пока не умеем искать рациональные точки алгебраических многообразий (заданных полиномиальными уравнениями множеств), и доказательство гипотезы Берча-Свиннертон-Дайера могло бы доставить математикам новые методы и подходы к этому поиску.
Однако история не раз подтверждала, что творения математика переживают столетия лишь тогда, когда он работает без практических применений, а для удовлетворения собственного любопытства. А ориентированные на практику исследования очень редко приносят глубокие, фундаментальные результаты. Кто знает, возможно, гипотеза Берча-Свиннертон-Дайера станет основой теории, которая в очередной раз изменит мир.
ПИСЬМОНОСЕЦ: Happy New Year, бэби!
Доброе время суток, дорогие компьюпилы. Знаете, мне все больше и больше становится жалко Козловского. Мужику все труднее и труднее писать про какие-то новенькие фенечки, это чувствуется… Долго пытался понять почему, и до меня дошло. Когда вы в последний раз с восторгом отзывались о телевизоре? Да-да, о том самом ящике, который стоит в каждом доме. К чему это я? Да к тому, что в последнее время компьютер (проектор, монитор, модем и бла-бла-бла) стали такими же «телевизорами» – незаметными, но незаменимыми (для некоторых) предметами обихода. А писать про то, что есть почти у каждого, неинтересно; трудно привнести в эту среду что-либо новое, оригинальное. Поэтому, как бы мне ни хотелось обратного, но похоже, что года через два «Огород» умрет, зарастет травой. А жаль, будет нехватать…
А «Село» было, есть и будет! А вот что будет с Голубицким – загадка. Возможно, на ниве софта «Голубятня» также загнется, но вот повидло… Его будут «есть» всегда.
Спасибо за возвращенную в конец статей дискетку.
В отличие от своих первых писем, если дадите приз – не откажусь.
ОТ РЕДАКЦИИ: Козловский – это кибернетический организм, отправленный в прошлое, чтобы изменить будущее. Так что я бы на вашем месте был поосторожнее с прогнозами: огородник еще первый аккумулятор только наполовину израсходовал, а у него и второй имеется, с удвоенной емкостью. И не удивляйтесь, если под Новый год на пороге вашей квартиры появится некто с горящими глазами, бородой и пультом управления в ухе и с характерной интонацией поинтересуется: «Паша Кабаев?»
Я являлся читателем «Компьютерры» с 1997 по 2000 год, потом перестал читать, потому что стиль изменился настолько, что мне просто стало неприятно читать. Сначала журнал был замечательный, потом все хуже и хуже. Вот сейчас зашел на сайт, где-то полгода не был, это же ужас! Ребят, вы бы определились с языком, наконец, – если пишете кириллицей, то пишите по-русски, если пишете латинским алфавитом, то по-английски. Когда в одном предложении пять слов антитранслитом, пять – транслитом, пять – по-английски и пять – по-русски, – это просто нереально сложно прочитать, несмотря на то что я одинаково свободно владею русским и английским.