Журнал "Компьютерра" №739

Кто из них выше всех?".

Несмотря на простоту такого рода примеров ("Петя, Толя, Боря", с одной стороны, и "камень, ножницы, бумага" - с другой), транзитивность и нетранзитивность превосходства вызывают дискуссии самых разных специалистов, ведущиеся на самых разных уровнях.

Причем часть из этих специалистов убеждена в том, что на самом деле, если глубоко разобраться и тонко учесть все факторы ("taking all considered"), нетранзитивность превосходства окажется иллюзией, следствием ошибочных рассуждений и неправильно интерпретированных наблюдений. Другие, напротив, считают, что как раз транзитивность превосходства - это всего лишь результат выдергивания и искусственной изоляции короткой цепочки превосходств из более общего цикла взаимодействий, в котором они реально существуют. Причем и те и другие рассуждают достаточно строго, и их не упрекнешь в очевидных логических ошибках - например, в попытках поставить и решить задачу типа "Петя выше Толи, Толя толще Бори. Кто из них директор?".

Не стану скрывать своих пристрастий - ситуации нетранзитивности превосходства мне представляются более увлекательными. О них и расскажу, выбрав самые, на мой взгляд, интересные.

Нетранзитивные кости, или бойцовский клуб игральных кубиков

Брэдли Эфрон (Bradley Efron), специалист по статистике из Стэнфордского университета, предложил комплекты игральных костей, обладающих парадоксальными свойствами [Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике. М.:Мир, 1990.].

(Психолог В. А. Петровский удачно назвал эти комплекты "бойцовским клубом игральных кубиков".) Все кубики любого такого набора одинаковы и "честны" в отношении своей геометрической формы, веса и т. д.

Единственная разница между ними - в числах, нанесенных на их грани. Числа подобраны так, что на верхней грани первого кубика при бросках чаще выпадает большее число, чем на втором; на втором чаще выпадает большее число, чем на третьем, и т. д., но последний кубик чаще показывает большее число, чем первый (!). Благодаря этому первый систематически выигрывает у второго, второй - у третьего и т. д., но последний кубик - казалось бы, аутсайдер!
– систематически выигрывает у первого - казалось бы, безусловного фаворита.

Кто не верит в этот факт нетранзитивности превосходства "чаще показывать большее число" (сразу поверить трудно), может поэкспериментировать в Интернете на странице edp.org/dice.htm с симуляцией соревнований или самостоятельно решить приведенную ниже задачку [Roberts T. S. A ham san d - wich is better than no thing: Some thoughts about transitivity // Australian Senior Ma thematics Journal. 2004.18 (2). P. 60–64].

Есть четыре игральных кубика со следующими числами на гранях.

Кубик A: 7, 7, 7, 7, 1, 1

Кубик B: 6, 6, 5, 5, 4, 4

Кубик C: 9, 9, 3, 3, 3, 3

Кубик D: 8, 8, 8, 2, 2, 2

Каково соотношение побед и поражений в парах A-B, B-C, C-D и D-A?

(Ответ: каждый предшествующий кубик в среднем выигрывает у последующего вдвое больше партий, чем проигрывает. Но последний кубик D выигрывает вдвое больше партий у кубика А, чем проигрывает ему.)

Поэтому при возможности выбора из пары кубиков А и В надо выбрать А, оставив сопернику более "проигрышный" кубик В; при выборе между В и С надо выбирать В; при выборе между С и D надо выбирать C; но при выборе между D и А надо выбирать D.

Известный популяризатор математики Мартин Гарднер, который в течение многих лет вел математическую рубрику в журнале Scientific American, писал, что нетранзитивные кости "позволяют глубже осознать значение…

открытий, связанных с общим классом вероятностных парадоксов, в которых нарушается правило транзитивности. С помощью любого из этих наборов игральных костей вы можете держать пари в условиях, настолько противоречащих интуиции, что опытные игроки почти не в состоянии разобраться в них, даже если они полностью проанализируют ход игры"[Гарднер М. Крестикино лики. М.: Мир, 1988. С.63–66.].

Разработан и алгоритм генерации чисел для такого рода объектов (причем не только кубиков, но и многогранников, рулеток и т. п.), образующих цепочку любой длины[Deshpande M. N. Intran sitive dice // Teaching statistics. 2000. 22 (1). 4–5.].

Нетранзитивность превосходства боевых систем

Что все-таки хорошо - рулетки, игральные кубики и прочие геометрические фигуры взаимодействуют лишь числовым образом и непосредственно, физически, друг на друга не бросаются, уязвимых мест друг у друга не ищут и не стараются лупить по этим местам из штатного вооружения. Так бывает не всегда. Как же проявляется нетранзитивность превосходства в "бойцовских клубах" без кавычек - в ситуациях непосредственного боевого столкновения сторон с целью физического уничтожения противника или, по крайней мере, выведения его из строя? (Здесь я на время зайду на территорию Михаила Ваннаха, но с мирными целями.)

Для наглядности вспомним что-нибудь, что видели многие телезрители: шоу "Война роботов" - на арене бьются друг с другом автоматические механизмы, напоминающие бульдозеры, танки, кувалды на колесах, самодвижущиеся дисковые пилы и т. п.

Схватка длится до выхода механизма из строя. Отталкиваясь от особенностей реально используемых в этой игре устройств, представим три условных танка следующих типов [Поддьяков А. Н. Непереходность (нетранзитивность) отношений превосходства и принятие решений // Психология. Журнал Высшей школы экономики. 2006. № 3.С. 88-111.].

Ужасный танк "Башнерез" имеет пилу для срезания башни противника, а также защищенный и неуязвимый для какого-либо оружия мотор, но слабые шасси (всего одинаково не укрепишь). Танк "Моторокрушитель" имеет устройство, выводящее из строя чужие двигатели, и защищенные шасси, но слабую башню. Танк "Шассидробитель" имеет устройство, выводящее их строя чужие шасси, и защищенную башню, но незащищенный мотор. Пусть также взаимодействие средств защиты и нападения таково, что средства защиты от определенного нападения со вполне удовлетворительной надежностью осуществляют эту защиту.

Тогда при возможности выбора оружия в дуэли первого и второго танков предпочтительнее первый (он может прорезать слабую башню второго, а сам защищен от нападения на свой мотор, которому второй мог бы причинить ущерб). Аналогично в дуэли второго и третьего танков предпочтительнее второй, но в дуэли третьего и первого - третий, что является нарушением принципа транзитивности.

Таким образом, иерархия подобных систем не выстраивается в жесткую пирамиду с указанием первого, второго и последнего места. По сумме побед и поражений все участники занимают здесь одинаковые (нулевые) места. А результат конкретного конфликта определяется в такой системе только взаимодействием с конкретным соперником. Подчеркнем, что речь идет об итоговом сравнении по некоторой одной интеграль ной характеристике, то есть о сравнении в одном, пусть и сложном, отношении, а не о раздельном сравнении в разных отношениях.

Нет нужды подробно объяснять, что модель баланса "нападение - защита - уязвимые места" применима и к спорту, и к борьбе компьютерных программ, и к психологической борьбе. Кроме того, возможно, именно такого типа механизмы взаимодействий лежат в основе активно изучаемых в биологии отношений "бойцовской силы" (combative relations) разных видов живых существ. Остановимся на этом подробнее.

Биологические системы и межвидовая борьба

В журнале Nature прошла целая серия статей по биологии со словами "камень-ножницы-бумага" (rock-paperscissors games) в заголовках; статьи с несколько другими заголовками, но на ту же тему нетранзитивности публиковались и в других журналах [Boddy L. Interspecific com bative interactions between wood-decaying basidiomycetes // FEMS Microbiology Ecology. 2000. 31. 185–94. Kerr B. et al. Local dispersal promotes biodiversity in a reallife game of rock–paperscissors // Nature. 2002. 418.P. 171-174.