А ну-ка, догадайся!

_{Низ совпадает с верхом в 2 случаях из 3. Следовательно, в длинной серии игр банкомет выигрывает 2 игры из каждых трех игр.}

Эту карточную игру для демонстрационных целей придумал математик Уоррен Уивер, один из создателей теории информации. Он рассказал о ней в своей статье «Теория вероятностей», опубликованной в октябрьском номере журнала Scientific Americanза 1950 г.

Один из способов правильного подсчета шансов на выигрыш в игре Уоррена Уивера приведен выше.

А вот еще один. Масти на противоположных сторонах двух карт совпадают. Взяв наугад карту из шляпы, вы с вероятностью 2/3, то есть в 2 случаях из 3, выберете одну из этих карт (либо туза бубен — туза бубен, либо туза пик — туза пик). Следовательно, с вероятностью 2/3 картинка на нижней стороне карты совпадает с картинкой на ее верхней стороне.

Карточная игра Уоррена Уивера представляет собой вариант так называемого парадокса Бертрана с коробками. Французский математик Жозеф Бертран привел его в своей книге по теории вероятностей в 1889 г. Представим себе 3 коробки. В одной из них находятся 2 золотые монеты, в другой —2 серебряные монеты и в третьей — 1 золотая и 1 серебряная монеты. Выберем наугад 1 коробку. Ясно, что в ней с вероятностью 2/3 окажутся две одинаковые (либо золотые, либо серебряные) монеты.

Предположим, однако, что мы извлекли из выбранной нами коробки одну монету и та оказалась золотой. Это означает, что в выбранной нами коробке обе монеты не могут быть серебряными. Следовательно, в нашей коробке находятся либо 2 золотые монеты, либо 1 золотая и 1 серебряная монеты. Так как оба случая равновероятны, кажется, будто вероятность выбрать коробку с двумя одинаковыми монетами упала до 1/2. (Разумеется, все наши рассуждения остаются в силе и в том случае, если извлеченная из коробки монета оказалась серебряной.)

Могло ли на вероятности обнаружить в коробке две одинаковые монеты каким-то образом сказаться то, что мы вынули одну из монет и посмотрели, золотая она или серебряная? Ясно, что не могло.

А вот еще один парадокс, тесно связанный с парадоксом Бертрана. Предположим, что вы бросаете 3 монеты. С какой вероятностью выпадут 3 «орла» или 3 «решки»? Для того чтобы 3 монеты легли вверх «орлами» или «решками», по крайней мере 2 из них должны выпасть вверх «орлами» или «решками». Бросив третью монету, вы либо получите третий «орел» или третью «решку», либо 1 монета ляжет не так, как 2 остальные. Шансов на то, что третья монета выпадает вверх любой стороной, 50 на 50. Следовательно, имеется 50 шансов на 50 за то, что третья монета выпадает вверх той же стороной, как и 2 остальные. Следовательно, с вероятностью 1/2 вы получите 3 «орла» или 3 «решки».

В том, что приведенное выше рассуждение неверно, мы легко убедимся, выписав все возможные исходы бросания 3 монет ( О— «орел», Р— решка»):

Как вы видите, 3 «орла» или 3 «решки» выпадают только в 2 случаях из 8. Следовательно, правильно подсчитанная вероятность этого события равна 2/8 = 1/4.

Рассмотрим еще один парадокс, также связанный с тем, что при подсчете вероятности принимаются во внимание не все возможные исходы. У мальчика 1 шарик, у девочки 2 шарика. Они катают шарики по направлению к вбитому в землю колышку. Выигрывает тот, чей шарик окажется ближе к колышку.

Предполагается, что мальчик и девочка одинаково искусны в игре, а расстояния измеряются достаточно точно, и ничьих быть не может. С какой вероятностью выиграет девочка?

Рассуждение 1.Девочка катает 2 шарика, мальчик — только 1 шарик. Следовательно, вероятность выиграть у девочки в 2 раза больше, чем у мальчика, то есть равна 2/3.

Рассуждение 2.Пусть Аи В— шарики девочки, С— шарик мальчика. Могут представиться 4 случая.

1) И А, и Вближе к колышку, чем С.

2) Только Аближе к колышку, чем С.

3) Только Вближе к колышку, чем С.

4) Сближе к колышку, чем Аи В.

В 3 случаях из 4 девочка выигрывает. Следовательно, вероятность того, что она выиграет, равна 3/4.

Какое из рассуждений правильно? Для того чтобы докопаться до истины, составим исчерпывающий перечень возможных исходов бросаний 3 шариков. В него войдут не 4, а 6 возможных случаев.

Если считать, что на первом месте стоит ближайший к колышку шарик, то равновероятны следующие расположения шариков:

В 4 случаях из 6 девочка выигрывает. Это подтверждает вывод, полученный с помощью первого рассуждения: девочка выигрывает с вероятностью 2/3.

Парадокс с лифтом

_{Тем, кому приходится часто пользоваться лифтом, вероятно, доводилось не раз обращать внимание на один странный теоретико-вероятностный парадокс. Предположим, что лифты в этом здании ходят независимо и среднее время ожидания на каждом этаже одинаково.}

_{Мистер Верх работает в конторе на одном из верхних этажей. Он очень удивлен.}

_{М-р Верх.Поразительно! Первым всегда приходит лифт снизу. Я замечал это неоднократно.}

_{М-р Верх.Может быть, лифты собирают в подвале, а готовую продукцию отправляют с крыши здания на вертолетах?}

_{Мисс Низ работает в конторе на одном из нижних этажей. Каждый день она в обеденный перерыв поднимается в ресторан, расположенный на верхнем этаже здания.}

_{Мисс Низ также очень удивлена.}

_{Мисс Низ.Ничего не понимаю! Стоит мне вызвать лифт, как он обычно приходит сверху!}

_{Мисс Низ.Должно быть, лифты доставляют вертолетами на крышу здания, а оттуда спускают на склад в подвале.}

_{Загадка с лифтами решается просто. По вызову мистера Верха сверху могут прийти только лифты, находящиеся в зачерненном участке шахты. Длина этого участка мала по сравнению с длиной остальной, более светлой части шахты. Следовательно, вызванный им лифт с большей вероятностью придет снизу. Так же решается и загадка, мучившая мисс Низ.}

Парадокс с лифтом впервые появился в книге математических задач на смекалку, выпущенной физиком Джорджем Гамовым и его другом Марвином Стерном. Объясняя парадокс с одним лифтом, Гамов и Стерн допустили небольшую ошибку. Они утверждали, что вероятности, «разумеется, останутся такими же», если лифтов будет два или больше.